考点13 指数与对数的运算（解析版）.docx

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1、考点13指数与对数的运算在考点详解【命题解读】学生应指数塞的含义及运算法那么，实数指数嘉的意义；理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质；【基础知识回顾】1.根式概念：式子版叫做根式,其中叫做根指数，Q叫做被开方数.a, tz0,(2)性质：(眼)=4(。使时有意义)；当为奇数时，47=4,当为偶数时，晦7 =同= _4，a0,加，0N*,且1)；正数的负分数指数累的意义上 1是。7=一(。0,m，N*,且1)； 0的正分数指数幕等于0； 0的负分数指数幕没有意义. 他(2)有理指数幕的运算性质:aras=af (优甘=幽(abY=arbr,其中。0, bQ,

2、r, sQ.对数的概念如果*=M0且存1)，那么数b叫做以。为底N的对数，记作ogaN=b,其中 W 叫做对数的底数, 一乂叫做真数.3 .对数的性质与运算法那么(1)对数的运算法那么如果0且存1, M0, N0,那么M loga(MN) = loga+ logaN； 10gaR=hg也二122；nlogoM = log/ (拉 R)； log6严 AT = 21ogQ.(2)对数的性质吗* =_7V_；且存1).L/C(3)对数的重要公式logcN换底公式：logN=iogcb (a,。均大于零且不等于1)；1log滴= loga，推广 log， log/)c logcd= logad.1、

3、设o, b, c均为不等于1的正实数，那么以下等式中恒成立的是A. log6/ b logc b = logc aB , loga b log” a = oga bC. log”(bc) = log,*Joga c D. log/? + c) = loga h + log”【答案】Blog b【解析】。，b, cwl 考察对数2个公式：log.xy = logaX + loga = ,对选项A： 10gQloglog = logc “n log,* 二 警;，显然与第二个公式不符，所以为假.对选项B： logf log blog Z?-logc a = logc h = log b =-，显然

4、与第二个公式一致，所以为真.对选项C： logc。log. Qbc) = log % log c显然与第一个公式不符，所以为假.对选项D： log/? + c) = log。log. c ,同样与第一个公式不符，所以为假.所以选B.2、(log2 9) (log3 4)=11A. - B. -C. 2 D. 442【答案】D【解析】【解析】log29xlog341g9 1g4=x=lg2 lg3-吆二4lg2 lg3t i r 2 i|a3、化简4q b3 + 13a36加结果为()2a8A. -3bB. i bD. 6abD. 6ab6aC. b【答案】C2 f n _ 26a【解析】原式=

5、6a3（一引力一一= 6乃一 =一石.4、（多项选择）+f3,在以下各选项中，其中正确的选项是（）A. q2+q 2 = 7B. a3-a 3= 18111C. a +tz2=iV5D. ayja+ = 2y/5【答案】ABD【解析】在选项A中，因为。+。-1=3,所以/+。-2 =（4+4-1）2-2 = 92 = 7,故A正确；在选项B中，因为 a+a- 1 = 3,所以 q3+-3 =（q+q-i）（q2i+q-2）= m+Q-i）.（q+Q-i）2 3 = 3*6=18,故 B 正确； i 1i 1在选项C中，因为q+q1 = 3,所以（a+。-2）2=。+。一,+2 = 5,且a0,

6、所以q+q2=小，故C错误；在选项D中，因为+。-3=8,且。0,所以=a3+q-3+2 = 20,所以= 2小,故D正确.5、1g行+ lgj而的值是.【答案】1【解析】lgV5+lgV20=lgl0 = l.6、计算：Iog54log210 （3小）71og72=.【答案】0 3 22 5【解析】原式= log521og21。_（3 ） 2 = log5（ 1032） = log55 = 1.7、（2012 北京）函数/（x） = lgx,假设/方）=1,那么/（2）+ /（/）=.【答案】2【解析】由= 得而= 10,于是/(2) + /32)=想/+怆/?2 =2(lg a + gb)

7、 = 2 lg(tzZ?) = 21gl0 = 2.在典例剖析考向一指数幕的运算例1化简以下各式（其中各字母均为正数）.2（27丫31（l）l-Tj +0.002-2-10（75-2）-1 +ttV a3b2fab(2) 1 11 1(AO, b0)(74/)2 ) , 3b32(3)(0.064“_2.5_i(22 _1 1qZ?” a 5 齐l/(3丫2110 (+2)【解析】原式=12)+5002(小_2)(小+2) +14167= 9+10V5-10V5-20+l = -9.1 21(2)原式=1 1ab2a3b33 1 1 1 1 a =42+61+361+32-3 =(3原式=(2

8、7(4)原式=1000 Ja b2 a，凉1v _二rl2) 3(3(/Og43+/Og83);32(4) 2/og32 /og3 9+/og38 3/og55；一 1 1 -【解析】(1)原式=/&25，X2105x (10-2)= /g(5X2X 102X 102)7= lglOi7=2.(2)原式=(妒)2 + (l+/g5 )/g2 + /g52 = (/g2+/g5+l)/g2+2/g5= (l + l)Zg2 + 2/g5= 2(/g2 + /g5)=2.(3) (/og32 + /og92)(/og43 + logB)俚给俚绚= Vg3+/g9； Vg4+/g87解胆？(血= V

9、g3+2/g3； l.由对数定义得 a=/og3k, b=/og4k, c=log922那么 a+b = /og3k+/og4k= 2/ogk3 + /ogk4=/ogk9 + /ogk4= /ogk36.22又 c = /og6k=2/ogk6 = /ogk36,22 a+b = c(2)由 a=/og6()3, b=/og6o5,得 1 b= 1 /og6()5 = /og6()12,于是 1-ab=l- /og6o3 Iog6o5 = /og6o4,lab /og6o4那么有 lb = log6o 12 = /ogi 24,ab1 (l-b):.n=112，/ogi24=12/ogi22

10、 = 2.1 1变式1、设2=5=加，且1+7=2,那么加等于由 2a = 5h=m 得 a = log2z, b = log5z,2 1/. ci+b=logm2 + logw5 = logml 0.1 j_2, Alogw102, *.m2 10,方法总结： 这是一道关于指数式与对数式的混合问题，求解这类问题，以下两点值得关注：1 .根据对数的定义，对数式与指数式能够相互转化，其解答过程表达了化归与转化的数学思想，其核 心是化生为熟、化难为易、化繁为简，困难之处在于将指数由“高”降“低”，便于进一步计算，这是指、 对数运算经常使用的方法.2 .不同底数的对数计算、化简与恒等证明的常用方法是

11、利用换底公式，先将底数统一，再利用同底的 对数的运算法那么进行计算和化简，求得结果.在优化提升-实战演练一A.A.D. 2怆（*）= 2lgx218y1、（2013浙江）x，y为正实数，那么C. 2lgelgy = 2lgx + 2lg，【答案】D【解析】取特殊值即可，如取x = 10,y = l,2喙3g =2,2+ 2以=3,21g（内）_ 21gli 21gmgy - 12、（2020 全国 I 文 8）设 alog34 = 2,那么 4- =（）1111A. B. -C. -D.一16986【答案】B【解析】由Qlog34 = 2可得log3 4a=2, 半=9，有4一=，应选歹 93

12、、（2017新课标I）设为正数，且2=3v=5z,贝1JA. 2x3y 5z B. 5z 2x3y c. 3yv5zv2x D. 3y 2x 1,那么x = log2 k , y = log3 k , z = log5 k ,lx 2%k lg3 lg9 ,. r所 以 =,那么2x3y ,排除a、B ；只需比拟2x与5z ,3y lg2 31g 左 lg8那么 2x2bB. ab1D. ab2【答案】B【思路导引】设/(x) = 2+log2X,利用作差法结合/(x)的单调性即可得到答案.【解析】f(x) = 2x+log2x9 那么/(%)为增函数,V 2a + log2 a = 4b +

13、 21og4b = 2b+ log2b , /()一 fQb) = r + log2 a - (22b + log2 2b) = 22b + log2 b _(22/? + log2 28) = log2- = -l0, /() /(2Z?), ：. a /(/),有当 =2 时，= 10,此时/()/(/),有，C、D错误，应选B.6、化简以下各式：1 2/ (l)(0.0645)-2-53-38-7i;15 1(1)(：、2(2)443力_2.1_3。-电.5 3 =221=0.1原式=一为-6-3+（4尔力一3）5 11 25 12=一的 6b 3+（编6 2）= 2力 25 5=一不板苏=4仍2.