线性代数线性代数线性代数 (20).pdf

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1、20 矩阵的对角化矩阵的对角化 20.1 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件 设 矩阵 有 个线性无关的特征向量 令 则 是一个对角矩阵 其对角元素是 的特征值：20.1 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件 事实上，于是 因 可逆，故 20.1 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件 若存在可逆矩阵 使 为对角矩阵，则称矩阵 是可对角化的(diagonalized).由上面的分析知，反之也成立.故有 定理：矩阵 可对角化的充要条件是 有 个线性无关的特征向量.20.1 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件 例：的特征值为 故 只有 个线性无关的特征向量，因此 不能对角化.20.1 矩阵可对角

2、化的条件矩阵可对角化的条件 定理：设 是 的互异特征值，是相应特征向量.则 线性无关.证明：设 两边左乘 得 再左乘 得 不断左乘 直到得 故有 20.1 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件 左边第二个矩阵的行列式 行列式 因此该矩阵可逆，故 由于特征向量 均为非零向量，故 所以 线性无关.20.1 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件 推论：具有 个两两互异特征值的 矩阵可以对角化.但若矩阵有相同特征值，其也可能对角化.例：有重特征值 任何可逆矩阵 都使 是对角阵.这反映了所有非零向量都是单位矩阵的特征向量.20.2 特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数 定义：设 其中 称

3、 为特征值 的代数重数(algebraic multiplicity)，记作 称 为特征值 的几何重数(geometric multiplicity)，记作 例：20.2 特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数 例：例：20.2 特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数 一般地，命题：引理1：相似矩阵具有相同的特征多项式.事实上，设 可逆，则我们有 20.2 特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数 引理2：任意复方阵相似于上三角阵，且其对角元为矩阵的特征值.证明：对方阵的阶数 用数学归纳法.时结论成立.假设对 阶复方阵结论成立.对任意 阶复方阵 设其有特

4、征值 及相应特征向量 则可将其扩充得 的一组基 有 记 则有 20.2 特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数 对 阶复方阵 由归纳假设,存在可逆阵 使得 为上三角阵.令 为上三角阵.则结论第一部分得证.由引理1知 上三角阵 的对角元 为 的特征值.20.2 特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数 命题的证明：由引理2，相似于上三角阵 则 和 有相同特征值，且对任意特征值 因此，不妨设 是上三角阵，即 于是 故 20.2 特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数 定理：复方阵 可对角化 对任意特征值 事实上，若 则 故 有 个线性无关的特征向量.从而 可

5、对角化.20.2 特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数 例：判断 是否可对角化，若可以求 使 为对角阵.解：于是 又 因此，可对角化.20.2 特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数 对 的基础解系为 对 的基础解系为 20.2 特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数 令 则 20.2 特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数 注：可以看到，使 对角化的矩阵 不是唯一的.一个特征向量乘以非零常数后仍是属于同一特征值的特征向量，所以若用任意非零常数乘以 的各列，则得一个新的使 对角化的矩阵.而对于重特征值则有更大自由度.上例中由 的任意线性

6、组合得到的两个线性无关的向量都可充当 的前两列.20.2 特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数 例：设 其中 为 矩阵.的秩为 的秩为 故 可对角化.20.3 矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 若矩阵 可对角化，则可快速计算 例：设 求 解：的特征值 可对角化.20.3 矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 对 的基础解系为 对 的基础解系为 20.3 矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 令 则 故 20.3 矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 例（Markov过程）：每年海淀区以外人口的 迁入海淀区，而海淀区人口的 迁出.这给出一个差分方程：设最初外部人口为 内部人口

7、为 则一年以后 外部人口 内部人口 即 20.3 矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 这个虚构的人口迁移过程有两个特点：(1)人口总数保持不变；(2)海淀区外部和内部的人口数不是负的.我们称之为Markov(马尔科夫)过程.由性质(1)，矩阵每一列元素之和为 由性质(2)，矩阵元素非负.同样 等也非负.20.3 矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 记 取 则 20.3 矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 于是我们可求 和 年之后的人口分布：20.3 矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 可以看出，经过很多年之后，会变得非常小，从而这个解达到一个极限状态：此时，总人口仍为 与初始状态相同.

8、但在此极限状态下,总人口的 在外部，在内部,并且这个数据无论初始分布 怎样总成立.20.3 矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 注意到 即这个稳定状态是Markov矩阵 关于 的特征向量.20.3 矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 例（Fibonacci数列）：数列 满足规律 这是一个差分方程.怎样由 出发，求出Fibonacci数列的通项公式呢？20.3 矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 令 则 即 于是 只需求 20.3 矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 故 20.3 矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 初始值 给出 于是 Fibonacci数 是这个乘积的第二个分量 20

9、.3 矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 我们希望研究由差分方程 描述的离散动力系统的长期行为，即 时解的性质.设 可对角化，即存在可逆矩阵 其中 使 为对角阵.则 其中 即 可以看出，的增长由因子 支配.因此系统的稳定性依赖于 的特征值.20.3 矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 对由一个差分方程 定义的离散动力系统，当 的所有特征值 时，它是稳定的(stable)，且 ；当所有 时，它是中性稳定的(neutrally stable)，且 有界；而当至少有一个特征值 时，它是不稳定的(unstable)，且 是无界的.Markov过程是中性稳定的，Fibonacci数列是不稳定的.20

10、.3 矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 例：考虑差分方程 其中 的特征值为其对角元 和 故该系统是稳定的.由任何一个初始向量 出发，的解必定最终趋向于 如：20.3 矩阵可对角化的应用矩阵可对角化的应用 可以看到从 开始，而 的实际作用是，若把 分解成 的两个特征向量的和：则 把属于 的特征向量 化为零，而把属于 的特征向量 乘以 20.4 同时对角化同时对角化 问题：给定两个 阶矩阵 是否存在可逆矩阵 使得 同时为对角阵，也即 同时对角化？命题：若 有相同特征向量矩阵 使得 为对角阵，则 事实上，20.4 同时对角化同时对角化 重要的是，“逆”命题也成立.我们不加证明地给出：定理：若 均

11、可对角化，且 则 可同时对角化.注意到，若 则 故 和 是 的属于同一特征值 的特征向量.看简单的情况.假设 的特征值两两互异，则其所有特征子空间都是一维的.于是 必是 的倍数，也即 是 的特征向量.从而 有公共特征向量矩阵，可同时对角化.20.4 同时对角化同时对角化 定理：对 阶复矩阵 若矩阵 的特征值两两互异，则 可同时对角化.20.4 同时对角化同时对角化 小结：1.矩阵 可对角化，指存在可逆矩阵 使 为对角阵.2.矩阵 可对角化 有 个线性无关的特征向量.3.若 复矩阵 有 个互异特征值，则 可对角化.4.复矩阵 可对角化 任意特征值的几何重数等于代数重数.5.设 可对角化,即存在可逆阵使 则 6.差分方程 的解为 其中