2022年抽象函数奇偶性对称性周期性总结__知识点 .docx

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1、精品_精品资料_1、抽象函数的对称性性质 1 如函数 yfx 关于直线 xa 轴对称,就以下三个式子成立且等价：（1）fa x fa x（ 2） f2a x fx（3）f2a x f x 性质 2 如函数 yfx关于点（ a,0）中心对称,就以下三个式子成立且等价：（1）fa x fa x （2）f2a x fx（3）f2a x f x易知, yfx 为偶（或奇）函数分别为性质1（或 2）当 a 0 时的特例.2、复合函数的对称性性质 3 复合函数 yfa x 与 yfb x 关于直线 x（ba）/2 轴对称性质 4、复合函数 yfa x 与 y fb x 关于点（ ba）/2 ,0）中心对称

2、推论 1、复合函数 yfax 与 yfa x 关于 y 轴轴对称推论 2、复合函数 yfax 与 y fa x 关于原点中心对称3、函数的对称性与周期性性质 5 如函数 yfx同时关于直线 xa 与 xb 轴对称,就函数 fx必为周期函数,且 T2|a b|性质 6、如函数 yfx同时关于点（ a, 0）与点（ b,0）中心对称,就函数 fx必为周期函数,且 T2|a b|性质 7、如函数 yfx既关于点（ a,0）中心对称,又关于直线 xb 轴对称,就函数 fx 必为周期函数,且 T4|a b|例 1、 函数 yfx是定义在实数集 R上的函数,那么 y fx 4 与 yf6 x 的图象之间（

3、 D ）A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称C关于点（ 5,0）对称 D关于点（ 1, 0）对称解：据复合函数的对称性知函数y fx 4 与 yf6 x 之间关于点（ 64）/2 ,0）即（ 1,0）中心对称,应选 D.（原卷错选为 C）1练习、（河南省郑州市高中毕业班第一次质量猜测数学（理） ）定义在 R 上的函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 f x的反 函数 为 fx, 且对 于任 意 xR , 都 有 f xf x3 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1 x1f 14x（）A0B 2C 2D 2 x4答案： A可编辑资料 - - -

4、欢迎下载精品_精品资料_抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一. 概念:抽象函数是指没有给出详细的函数解析式或图像, 只给出一些函数符号及其满意的条件的函数, 如函数的定义域 , 解析递推式 , 特定点的函数值 , 特定的运算性质等 , 它是高中函数部分的难点 , 也是高校高等数学函数部分的一个连接点 , 由于抽象函数没有详细的解析表达式作为载体, 因此懂得讨论起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的规律思维才能、丰富的想象力以及函数学问敏捷运用的才能1 、周期函数的定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于 f x 定义域内的每一个 x ,都存在非零常数 T ,使得

5、f xT f x 恒可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成立,就称函数f x 具有周期性, T 叫做f x 的一个周期, 就 kT（ kZ , k0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也是 f x 的周期,全部周期中的最小正数叫f x 的最小正周期.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分段函数的周期：设 yf x 是周期函数,在任意一个周期内的图像为C:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x, xa,b , Tba .把 yf x沿x轴平移K

6、TK ba 个单位即按向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_akT,0平移,即得 yf x 在其他周期的图像：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf xkT, xkTa, kTb .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x f xkTxa,bxkTa,kTb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、奇偶函数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 yfx, xa,b 或xb, aa,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 f xf x, 就称yf x为奇函数.可编

7、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 f xf x就称yf x为偶函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 Ax, y与B2ax,2by关于点a,b对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 点Aax,by与Bax, by关于 a,b对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 函数yf x与2byf 2ax关于点a,b成中心对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 函数byf ax与byf ax关于点a, b成中心对称.可编

8、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 函数F（x, y0与F 2ax,2by0关于点a,b成中心对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）轴对称：对称轴方程为： AxByC0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 点A x,y与B x / ,y/ B x2 A AxA 2ByC , y B 22B AxA 2ByC 关 于B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 AxByC0成轴对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 yf x与y2B AxA 2ByC B 2f x2

9、A AxA 2ByC 关于直线B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AxByC0 成轴对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ F x, y0与F x2 A AxA 2ByC , y B 22 B AxA2ByC B 20 关于直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AxByC0 成轴对称.二、函数对称性的几个重要结论（一）函数 yf x 图象本身的对称性（自身对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 f xaf xb ,就f x具有周期性.如f axf bx ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 具有对称性：“内

10、同表示周期性,内反表示对称性” .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 f axf bxyf x 图象关于直线 x axbx 2ab 对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 1：f axf axyf x的图象关于直线 xa对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 2、f xf 2axyf x的图象关于直线 xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 3、 f xf 2axyf x 的图象关于直线 xa 对称可编辑资料 - - -

11、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 f axf bx2cyf x的图象关于点 ab , c 对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 1、f axf ax2byf x 的图象关于点 a, b 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 2、f xf 2ax2byf x 的图象关于点 a, b 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 3、 f xf 2 ax2b

12、yf x 的图象关于点a, b 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）两个函数的图象对称性（相互对称） （利用解析几何中的对称曲线轨迹方程懂得）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、偶函数 yf x 与 yf x 图象关于 Y 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、奇函数 yf x 与 yf x 图象关于原点对称函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、函数 yf x 与yf x 图象关于 X 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载

13、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、互为反函数 yf x 与函数 yf1 x 图象关于直线 yx 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 函数 yf ax 与 yf bx 图象关于直线 xba 对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 1: 函数 yf ax 与 yf ax 图象关于直线 x0 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 2: 函数 yf x与 yf 2ax图象关于直线 xa 对称可编辑资料 - - -

14、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 3: 函数 yf x 与 yf 2ax) 图象关于直线 xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三） 抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 如函数 yfx 关于直线 xa 轴对称,就以下三个式子成立且等价：（1）fa x fa x（ 2） f2a x fx（3）f2a x f x 性质 2 如函数 yfx关于点（ a,0）中心对称,就以下三个式子成立且等价：（1）fa x fa x （2）f2a x fx（3）f2a x f x易知, yfx 为偶（或奇）函数分别为性质1（或 2

15、）当 a 0 时的特例.2、复合函数的奇偶性定义 1、 如对于定义域内的任一变量 x,均有 fg x fgx,就复数函数 yfgx为偶函数.定义 2、 如对于定义域内的任一变量 x,均有 fg x fgx,就复合函数 yfgx为奇函数.说明：（1） 复数函数 fgx为偶函数,就 fg x fgx而不是 f gxfgx,复合函数 yfgx为奇函数,就 fgx fgx而不是f gx fgx.（2） 两个特例： yfx a 为偶函数,就 fx a f xa . yfx a 为奇函数,就 f x a fa x（3） yfx a 为偶（或奇）函数,等价于单层函数yfx关于直线 xa 轴对称（或关于点（

16、a,0）中心对称）3、复合函数的对称性性质 3 复合函数 yfa x 与 yfb x 关于直线 x（ba）/2 轴对称性质 4、复合函数 yfa x 与 y fb x 关于点（ ba）/2 ,0）中心对称推论 1、 复合函数 yfa x 与 yfa x 关于 y 轴轴对称推论 2、 复合函数 yfa x 与 y fa x 关于原点中心对称4、函数的周期性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a 是非零常数, 如对于函数 yfx定义域内的任一变量x 点有以下条件之一成立,就函数 yfx是周期函数,且 2|a| 是它的一个周期.fx a fx a fx a fxfx a 1/fxfx

17、 a 1/fx 5、函数的对称性与周期性性质 5 如函数 yfx同时关于直线 xa 与 xb 轴对称,就函数 fx必为周期函数,且 T2|a b|性质 6、如函数 yfx同时关于点（ a, 0）与点（ b,0）中心对称,就函数 fx必为周期函数,且 T2|a b|性质 7、如函数 yfx既关于点（ a,0）中心对称,又关于直线 xb 轴对称,就函数 fx 必为周期函数,且 T4|a b|6、函数对称性的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如 yf x关于点（h,k对称,就 xx /2h, yy /2k , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

18、 - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x/ f xf 2hx2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1f x2 （2）例题f xn f 2haxxn f 2hxn 1 11f 2hx1 2nk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 、 f xax关于点（a, ）对称： f x 2 2f 1x1;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x4x12 x 12 x1关于（ 0,1）对称：f xf x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

19、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f xx1R, x0关于（11, ）对称：22f（ x1f 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 、奇函数的图像关于原点（ 0, 0）对称：f xf x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 、 如f xf 2ax或f axf ax,就yf x 的 图像关于 直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xa对称.设f x0有n个不同的实数根,就可编辑资料 - - - 欢

20、迎下载精品_精品资料_x1x2xnx12ax1 x22ax2 xn2axn na .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当n2k1时,必有 x12ax1 ,x1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（四）常用函数的对称性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、函数周期性的几个重要结论1、f xT f x T0 yf x 的周期为 T ,kT kZ 也是函数的周期2、 f xaf xbyf x 的周期为 Tba3、f xaf xyf x 的周期为 T2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、 f xa1f xyf x 的周期为T2a可编辑资料

21、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、 f xa1f xyf x 的周期为T2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、 f xa11f xf xyf x 的周期为T3a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、 f xa1f x1yf x的周期为T2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、 f xa11f xf xyf x 的周期为T4a可编辑资料 - - - 欢

22、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、 f x2 af xaf xyf x 的周期为T6a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10、如 p0, f px f pxp ,就Tp .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11、 yf x 有两条对称轴 xa 和 xb bayf x周期T2ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论：偶函数 yf x 满意f axf axyf x周期

23、T2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 、 yf x有 两 个 对 称 中 心 a,0和 b,0bayf x周 期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T2ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论：奇函数 yf x 满意f axf axyf x周期T4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13 、 yf x有一 条对 称轴 xa 和一个 对称 中心b,0baf x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T4ba四、用函数奇偶性、周

24、期性与对称性解题的常见类型敏捷应用函数奇偶性、周期性与对称性,可奇妙的解答某些数学问题,它对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_训练同学分析问题与解决问题的才能有重要作用. 下面通过实例说明其应用类型.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 求函数值例 1. （ 1996 年高考题）设f x 是, 上的奇函数,f 2xf x, 当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x1 时,f xx ,就f 7.5 等于（ -0.5 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（A）0.5;（ B） -0.5;（ C

25、） 1.5;（D）-1.5.例 2（1989 年北京市中同学数学竞赛题）已知f x 是定义在实数集上的函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 , 且f x2 1f x1f x,f 123,求f 1989的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值. f 198932 .2、比较函数值大小1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3. 如较 f 98 、19f x xf 101 、17R) 是以 2 为周期的偶函数, 当 xf 104 的大小 .150,1 时,1f xx1998 , 试比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：f x xR 是以 2

26、 为周期的偶函数,又f xx1998 在0,1上是增函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数,且 011716141 ,1915f 1 17f 1619f 14 , 即f 1510117f 9819f 104 .15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、求函数解析式例 4. （1989 年高考题）设f x 是定义在区间 , 上且以 2 为周期的函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数,对 kZ ,用 I k 表示区间2k1,2k1) , 已知当 xI 0 时,f xx 2 . 求f x 在可编辑资料 - -

27、- 欢迎下载精品_精品资料_I k 上的解析式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设 x2k1,2k1,2k1x2k11x2 k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xI 0 时,有f xx 2,由 1x2k1得f x2kx2k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 是以 2 为周期的函数,f x2k f x,f xx2k 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5设f x 是定义在

28、 , 上以 2 为周期的周期函数, 且f x 是偶函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间2,3 上,f x2x324. 求 x1,2 时,f x 的解析式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：当 x3, 2 ,即 x2,3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x2x3 242 x3 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f x是以 2 为周期的周期函数,于是当 x1,2

29、,即3x42 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有f xf x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x2 x2 x41 2234142 xx2.1241x2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、判定函数奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6. 已知f x 的周期为 4,且等式f 2xf 2x 对任意 xR 均成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定函数 f x 的奇偶性 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由f x 的周期为 4,得f xf 4x ,由f 2xf 2x 得可编辑资料

30、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf 4x ,f xf x, 故f x 为偶函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、确定函数图象与 x 轴交点的个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7. 设函数f x 对任意实数 x 满意f 2xf 2x ,f 7x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 7点.x且f 00, 判定函数f x 图象在区间30,30上与 x 轴至少有多少个交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

31、 欢迎下载精品_精品资料_解：由题设知函数f x 图象关于直线 x2 和 x7 对称,又由函数的性质得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x是以 10 为周期的函数 . 在一个周期区间0,10 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 00, f 4f 22f 22f 00且f x不能恒为零 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 f x 图象与 x 轴至少有 2 个交点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而区间13 个交点.30,30有 6 个周期,故在闭区间