平摩擦阻尼振动理论分析.docx

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1、平摩擦阻尼振动理论分析平摩擦阻尼振动理论分析 一、平摩擦阻尼振动 x -t 理论分析 如图所示，轻弹簧劲度为 k，振体质量为 m 的球体，半径为 r，m 与水平之间的滑动摩擦力系数为 m ，以弹簧原长时振子所在处建立坐标，并将振子置于00 x 处，自由释之。依据牛顿其次定律写出球体向左运动的动力学方程：（取速度向右为正）26d x dxm kx mg rdt dtm ph =- + - （其中， h 为黏贴系数）两边同除以 m，并令2062 =r Rc gum mphb w = = ， ， ，则式可改写为：22022d x dxx cdt dtb w + + = 设 ( ) ( )*x x t

2、 x t = + ，其中 ( )*20cx tw=对于齐次线性常系数微分方程：22022 0d x dxAdt dtb w + + = 的特征方程为：2 202 0 r r b w + + =( )222 2026 4 6 4=4 4 =r km r km m mph phb w- D - - = （1）当 0 D 时，即：2 2 29 rkmp h ，则2 20 2 202 4 42rb b wb b w- -= = - -( )( ) ( )2 2 2 20 01 2t tx t ce c eb b w b b w - + - - - - = +设特征解 ( )*3 32 20 0c cx

3、 c c x tw w= = =同可得：( ) ( )2 2 2 20 01 220t tcx c e c eb b w b b ww- + - - - -= + +由 0 t = 时，00dxx xdt= = ， ，由此可得( )( )2 20 02012 202 20 02022 2022cxccxcb b wwb wb b wwb w + - - =- - + - - =- ( )( )( )( )2 2 2 20 02 2 2 20 0 0 02 20 022 2 2 200 02 2t tc cx xcx e eb b w b b wb b w b b ww wwb w b w- +

4、 - - - - + - - - + - - = + +- - 当 0dxvdt= = 时， 0 t = 故不会向右运动 （2）当 =0 D 时，即2 2 21 29 rk r rmp hb = = =-( )1 220tcx c c t ebw- = + +同理可得：1 0202 0201cc xcc xwb w= - = - 02 20 01tc t cx x ebw b w- = - + + 当 =0dxvdt= 时 0 t = 即不会向右接着运动 （3）当 0 D = ( )11 1 2 120cos sincx e c t c ta eb bw = + +其中：12 2 22 21

5、0392rmkm rmpha bp hb w b= - = - -D= = - = 1 02012 1 022 21 00cc xcc c xwa bb ww b= - = - = - - 020 2 2 2 20 02 22 20 00= cos sintcxc cx e x t tbbww b w bw ww b- - - - + - + - 左 20 020 2 202 20= sintcxdxv e tdtbwww bw b- - - = -左令 0 v = 时 ， 即 ：当2 20t w b p - = 时 ， 物 体 刚 好 向 右 运 动 ， 此 时2 201 02 20 0c

6、cx e xbpw bw w- = - - + 依据牛顿其次定律写出球体向右运动的动力学方程为 226dx dxm kx mg rdt dtm ph =- - -22022dx dxx cdt dtb w + + = -向右运动 ( )11 1 2 120cos sintcx e c t c tab bw = + -其中12 21 0a bb w b= - = - 当2 20tpw b=-时，02 22 20 000dx t c cv x e xdtbw ww b -= = = - - + - ，2 201 02 22 20 000202 12 2 2 2 2 2 20 0 0 022c cc

7、 x ecxcc c ebpw bbpw ww bbwb bw b w b w w b- = - - - - - = - = +- - - 向右运动 2 200 2 2 20 0 2 2 2 20 0 02 2 22 2 2 2 20 0 00 0 022= cos costccexc c cx e x e tbpw b bbpbw w bw b w bw w ww b w w b- - - - - - - - + + - - + - 右 ( ) ( )1 11 1 2 2 1 1 2 1 1 1= cos sint tdxv c c e t c c e tdta aa b b a b b = + + -右