数系的扩充和复数的概念导学案.docx

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1、数系的扩充和复数的概念导学案高二文科数学选修1-2数系的扩充和复数的概念导学案 石油中学高二文科数学选修1-2导学案-复数3-1数系的扩充和复数的概念学习目标：1、了解引进复数的必要性；理解并驾驭虚数的单位i2、理解并驾驭虚数单位与实数进行四则运算的规律3、理解并驾驭复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并驾驭复数相等的有关概念学习重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.学习难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的其

2、次条性质时，原有的加、乘运算律仍旧成立自主学习一、学问回顾：数的概念是从实践中产生和发展起来的，由于计数的须要，就产生了1，2及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N为了解决测量、安排中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满意记数的须要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.明显NQ.假如把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.假如把整数看作分母为1的分数，那么有理数集事实上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个冲突，人们又引进

3、了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集事实上就是小数集因生产和科学发展的须要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是恒久可以实施的冲突，分数解决了在整数集中不能整除的冲突，负数解决了在正有理数集中不够减的冲突，无理数解决了开方开不尽的冲突.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于1.由于解方程的须要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数二、新课探讨：1、虚数单

4、位:(1)它的平方等于-1，即;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍旧成立.2.与1的关系:就是1的一个平方根，即方程x2=1的一个根，方程x2=1的另一个根是!2、的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=13、复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*4、复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、bR)是实数a；当b0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0

5、且b0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.6、复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.7、两个复数相等的定义：假如两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，假如a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对假如两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 例题讲解例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？答：它们都是虚数，

6、它们的实部分别是2，3，0，;虚部分别是3，;i是纯虚数.例2复数2i+3.14的实部和虚部是什么？答：实部是3.14，虚部是2.易错为：实部是2，虚部是3.14！例3实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m1)i是:(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？分析因为mR，所以m+1，m1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.解：(1)当m1=0，即m=1时，复数z是实数；(2)当m10，即m1时，复数z是虚数；(3)当m+1=0，且m10时，即m=1时，复数z是纯虚数.例4已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x，yR，求x与y.解：依据复数相等的定义，得方程组，

7、所以x=，y=4课堂巩固1、设集合C=复数，A=实数，B=纯虚数，若全集S=C，则下列结论正确的是()A.AB=CB.A=BC.AB=D.BB=C2、复数(2x2+5x+2)+(x2+x2)i为虚数，则实数x满意()A.x=B.x=2或C.x2D.x1且x23、复数z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，则z1=z2的充要条件是_.4、已知mR，复数z=+(m2+2m3)i，当m为何值时，(1)zR;(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=+4i.归纳反思 课后探究1、设复数z=log2(m23m3)+ilog2(3m)(mR)，假如z是纯虚数，求m的值. 2、若方程x2+(m

8、+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值. 数系的扩充与复数的引入 数系的扩充与复数的引入 1、了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的冲突（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用.2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件3、了解复数的代数表示法及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 重视复数的概念和运算，留意复数问题实数化.第1课时复数的有关概念 1复数：形如的数叫做复数，其中a,b分别叫它的和2分类：设复数：(1)当0时，z为实数；(2)当0时，z为虚数；(3)当0,且0时，z为纯虚数.3复数相等：假如两个复

9、数相等且相等就说这两个复数相等.4共轭复数：当两个复数实部，虚部时这两个复数互为共轭复数(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)5若zabi,(a,bR),则|z|；z.6复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做，叫虚轴7复数zabi(a,bR)与复平面上的点建立了一一对应的关系8两个实数可以比较大小、但两个复数假如不全是实数，就比较它们的大小. 例1.m取何实数值时，复数z是实数？是纯虚数？解：z是实数z为纯虚数变式训练1：当m分别为何实数时，复数z=m21(m23m2)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）零？解：（1）m=1,m=2；(2)m1,m2；（3）m

10、=1；（4）m=1例2.已知x、y为共轭复数，且，求x解：设代入由复数相等的概念可得变式训练2：已知复数z=1i，假如=1i,求实数a,b的值由z=1i得=（a2)(ab)i从而，解得例3.若方程至少有一个实根，试求实数m的值.解：设实根为，代入利用复数相等的概念可得变式训练3：若关于x的方程x2(t23ttx)i=0有纯虚数根，求实数t的值和该方程的根解：t=3,x1=0,x2=3i提示：提示：设出方程的纯虚数根，分别令实部、虚部为0，将问题转化成解方程组例4.复数满意，试求的最小值.设，则，于是变式训练4：已知复平面内的点A、B对应的复数分别是、，其中，设对应的复数为.(1)求复数；(2)

11、若复数对应的点P在直线上，求的值.解：(1)(2)将代入可得. 1要理解和驾驭复数为实数、虚数、纯虚数、零时，对实部和虚部的约束条件.2设zabi(a，bR)，利用复数相等和有关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.第2课时复数的代数形式及其运算 1复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设，则(1)；(2)；(3)().2几个重要的结论：.若z为虚数，则3运算律. 例1计算：解：提示：利用原式0变式训练1：求复数（A）（B）（C）（D）解：故选C；例2.若，求解：提示：利用原式变式训练2：已知复数z满意z210，则（z6i）（z6i）解：2例3.已知，问是否存在复数z，使其满意（aR

12、），假如存在，求出z的值，假如不存在，说明理由解：提示：设利用复数相等的概念有变式训练3：若，其中是虚数单位，则ab_解：3例4.证明：在复数范围内，方程（为虚数单位）无解证明：原方程化简为设、yR，代入上述方程得将（2）代入（1），整理得无实数解，原方程在复数范围内无解.变式训练4：已知复数z1满意(1i)z115i，z2a2i，其中i为虚数单位，aR,若，求a的取值范围.解：由题意得z123i,于是=,=.由，得a28a70，1a7. 1在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必需精确娴熟地驾驭.2记住一些常用的结果，如的有关性质等可简化运算步骤提高

13、运算速度.3复数的代数运算与实数有亲密联系但又有区分，在运算中要特殊留意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.复数章节测试题一、选择题1若复数（，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为（）A、-6B、13C.D.2定义运算，则符合条件的复数对应的点在（）A第一象限；B其次象限；C第三象限；D第四象限；3若复数是纯虚数（是虚数单位），则实数（）A.4；B.4；C.1；D.1；4复数=（）AIBIC2iD2+i6若复数在复平面上对应的点位于其次象限，则实数a的取值范围是（）ABCD7已知复数z满意，则z（）(A)1+i(B)1+i(C)1i(D)1i8若复数，且为纯虚数，则实数为()A1B-1C1

14、或-1D09假如复数的实部和虚部相等，则实数等于（）（A）（B）（C）（D）10若z是复数，且，则的一个值为（）A1-2B1+2C2-D2+11若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则=（）ABCD12复数在复平面中所对应的点到原点的距离为（）A12B22C1D2二、填空题13设，a，bR，将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为a，其次次得到的点数为b，则使复数z2为纯虚数的概率为14设i为虚数单位，则15若复数z满意方程，则z= 16已知实数x，y满意条件，（为虚数单位），则的最小值是17复数z=,则|z|=18虚数（x2）+y其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是（）A，B（C

15、，D，0（0，19已知(a0)，且复数的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数的模. 20复平面内，点、分别对应复数、，且，若可以与随意实数比较大小，求的值（O为坐标原点）. 复数章节测试题答案一、选择题1A2答案：A3答案：B4答案：B6答案：A7A8B9B10B11D12B二、填空题13142i1516答案：2217答案：18答案：B,设k=,则k为过圆（x2）2+y2=1上点及原点的直线斜率，作图如下,k,又y0,k0.由对称性选B【帮你归纳】本题考查复数的概念,以及转化与化归的数学思维实力，利用复数与解析几何、平面几何之间的关系求解.虚数一词又强调y0，这一易错点.【误区警示】本题属于基

16、础题，每步细心计算是求解本题的关键，否则将会遭受“千里之堤，溃于蚁穴”之尴尬.19解：20解：依题意为实数，可得 数系的扩充与复数的引入导学案及练习题 一、基础过关1“复数abi(a，bR)为纯虚数”是“a0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2下列命题正确的是()A若aR，则(a1)i是纯虚数B若a，bR且ab，则aibiC若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x1D两个虚数不能比较大小3以52i的虚部为实部，以5i2i2的实部为虚部的新复数是()A22iB55iC2iD.55i4若(xy)ix1(x，yR)，则2xy的值为()A.12B2C0D15

17、若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1B0C1D1或1二、实力提升6若sin21i(2cos1)是纯虚数，则的值为()A2k4(kZ)B2k4(kZ)C2k4(kZ)D.k24(kZ)7z134i，z2(n23m1)(n2m6)i，且z1z2，则实数m_，n_.8给出下列几个命题：若x是实数，则x可能不是复数；若z是虚数，则z不是实数；一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；1没有平方根则其中正确命题的个数为_9已知集合M1,2，(a23a1)(a25a6)i，N1,3，若MN3，则实数a_.10实数m分别为何值时，复数z2m2m3m3(m23m18)i是(1)

18、实数；(2)虚数；(3)纯虚数 11已知(2xy1)(y2)i0，求实数x，y的值 12设z1m21(m2m2)i，z24m2(m25m4)i，若z1z2，求实数m的取值范围 高二数学数系的扩充学案练习题 3.1数系的扩充一、学问要点1.复数的概念；2.复数的表示；3.两个复数相等的充要条件；4.两个虚数只有相等与不等关系，不能比较大小.二、典型例题例1.写出复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？ 例2.实数取什么值时，复数是实数？虚数？纯虚数？ 例3.已知，求实数的值. 例4.已知复数，求实数的值. 三、巩固练习1.下列结论中，正确的是（）A.B.C.D.2.实数为何

19、值时，复数分别是实数；虚数；纯虚数. 3.求满意下列条件的实数的值.四、小结五、作业1.是复数为纯虚数的条件.2.复数的虚部是.3.假如复数是虚数，则满意的条件是.4.以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是.5.当实数=时，是纯虚数.6.若复数和相等，则的值为.7.若，则是的条件.8.若，则实数的值(或范围)是.9.若为纯虚数，求实数的值. 10.已知.求实数；求复数. 订正栏： 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页