(4.2.10)--知识点_34_伽辽金有限元方法求解微分方程.pdf

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1、伽辽金有限元方法求解微分方程有限元和节点如前一节讲述，选取分段连续函数作为弱形式方程试探近似解是很好的方法。如果增加子区间的数量就可以利用简单的分段线性函数的加和构造出复杂的函数作为近似的试探解，这些子区间称为有限元。考虑一维问题的一个有限单元，其两个端点称为节点。xElement i一维有限元的示意图xi,uixi+1,ui+1单元内的近似解在第 i 单元中，两个节点的坐标 xi和 xi+1，对应的函数值 ui和 ui+1，如果在子域 xi，xi+1 上取近似解为 =1+2对于两个节点可得 =1+2=+1=1+1+2=+1整理后的系数1=+1+1 2=+1+1+1 xElement ixi,

2、uixi+1,ui+1单元内的近似解第 i 个单元 xi,xi+1上，自变量为 x,函数值 u(x)近似解为 =+1+1+1+1+1=+1+1+1+1=+1+1=(,+1)+1其中=+1+1=+1 对比上节的近似解 =11+221 1 2 +12+1伽辽金法计算权函数与形函数 =+1+1+1+1+1=+1+1+1+1=+1+1=(,+1)+1Hi(x)、Hi+1(x)称为 形函数(Shape Function)其中=+1+1=+1 这时，ui、ui+1是待定系数，对于伽辽金法，权函数为=(+1+1)=()+1=+1=+1()形函数的性质xixi+1Hi(x)Hi+1(x)1.0线性型函数示意图

3、形函数的性质:=，=1这是因为：=+1+1=1+1=+1+1+1=0线性有限元法求解微分方程对于 n 个有限元加权余量=01=012 2 +=01 +01=1+1 +0122 =(0 1)0=0,(1)=0近似解形式：=+线性有限元法求解微分方程如果n=3Element#1Element#2Element#3x1=0u1x2=1/3u2x3=2/3u3x4=1u4+1 +=+1 +1=+11212+1212+1+112=166+226+26+26+22+1+6+1+22+1+第 i 个单元，伽辽金方法两个权函数1=1(),2=2(),=1 3每个单元模式相同取 3 或300 个单元无差别线性有

4、限元法求解微分方程=01=01(2 2 +=01 +01=1+1 +01组合三个单元的矩阵方程为3.11112.9444002.94446.22222.9444002.94446.22222.9444002.94443.11111234+)0.0185 (00.11110.2222)0.1481+(1=03.11112.94442.94443.111112+0.01850.03703.11112.94442.94443.111123+0.07410.09263.11112.94442.94443.111134+0.12960.1481单元矩阵组合成为系统矩阵叫做装配线性有限元法求解微分方程这里考虑边界条件，对于 1=4=0 得10002.94446.22222.9444002.94446.22222.944400011234=00.11110.222203.11112.9444002.94446.22222.9444002.94446.22222.9444002.94443.11111234+)0.0185 (00.11110.2222)0.1481+(1=0=.解得