(3.3.1)--3.13随机变量的独立性-ZCY8.31.pdf

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1、概率论与数理统计随机变量的独立性随机变量的独立性1目录离散型随机变量的独立性2连续型随机变量的独立性3回顾事件的独立性：设A和B为两个事件,P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B是相互独立的。,P Xx YyP Xx P Yy=(,)()()XYF x yFx Fy=事件与事件相互独立X与Y 相互独立(,)x yRX x Y y X与Y 各在什么范围取值之间毫无关系随机变量的独立性连续型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性定义设(X,Y)的联合分布函数及边缘分布函数为F(x,y),和FX(x),FY(y).若对任意的 x,y都有:(,)()()P Xx YyP XxP Yy=则称随机变

2、量 X 和 Y 是相互独立的.独立的条件下，二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)可由其边缘分布FX(x)和FY(y)唯一确定.X 和Y 相互独立1212,xxyy 1212,P xXxyYy 1212P xXxP yYy=注：(,)()()XYF x yFxFy=即12随机变量的独立性连续型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性()21,=arctanarctan25210 xyF x y+()xy +，(),F x=+=+1=arctan25x +()()x+，()XFx()()+,YFyFy=1=arctan210y +()()y+，(,)()()XYF x yFx Fy=设二

3、维随机变量的联合分布函数为(X,Y)试判断与是否相互独立XY?X 的边缘分布函数为Y 的边缘分布函数为例1所以,对于任意的实数 x,y 有X 与 Y 相互独立。离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性随机变量的独立性设(X,Y)是二维离散型随机变量,其联合分布律为,ijijpP XxYy=(,1,2,)ij=(,)ijijxx yyF x yp=；.()iXixxFxP=；.()jYjyyFyP=X 和 Y 相互独立.=(,)ijijijijxx yyxxyypPPx y 依次取12,xx x=12,yyy=得到ijijpp p=对于任意的i,j 成立，又随机变量 X 分布律为iipP X

4、x=(1,2,)i=又随机变量 Y 分布律为jjpP Yy=(1,2,)j=则称 X,Y 相互独立.对离散型随机变量离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性随机变量的独立性将两个球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.192919292901900X:放入1号盒中的球数;Y:放入2号盒中的球数;判断 X 和 Y 是否相互独立.X 的可能取值为0,1,2;Y 的可能取值为0,1,2.XY012012ip.jp4419994949191 2 3XY 1,20P XY=4 1129 9P XP Y=232.3PPP例2解随机变量 X 与 Y 不独立.随机变量的独立性连续型随机变量的独立性离散

5、型随机变量的独立性(,)()()XYf x yfx fy=(,)()()XYF x yFx Fy=若 X 与 Y 相互独立注：设(X,Y)是二维离散型随机变量,其联合密度函数为 f(x,y),X 边缘密度函数为fX(x),Y 边缘密度函数为fY(y),则在函数 f(x,y),fX(x),fY(y)的连续点有则 X,Y 是相互独立的随机变量.22(,)()()XYF x yFx Fyx yx y=即X,Y 相互独立，要求等式几乎处处成立即可.(,)()()XYf x yfx fy=对连续型随机变量随机变量的独立性连续型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性例3设 X,Y 的联合概率密度为()40

6、1,01,0 xyxyfx y=其他问：X,Y 是否相互独立?xy(1,1)()(,)Xfxf x y dy+=X,Y 相互独立(,)()(),XYf x yfx fy=对任意 x,y,()201,0Xxxfx=其它.()201,0Yyyfy=其它.401,01()()0XYxyxyfx fy=其他随机变量的独立性连续型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性例4甲、乙两人约定在某地相会,假定每人的到达时间是相互独立的,且均服从于中午12时到下午1时的均匀分布.试求先到者需要等待10分钟以内的概率.解:设甲于12时 X 分到达,设乙于12时 Y 分到达.都服从区间0,60上的均匀分布.()()1

7、060600XYxfxfx =其它设A=先到者等待时间不超过10分钟()P A=10.PXY (,)(,)GPf x ydxdyGyx=X 与 Y 相互独立,()1060 060,36000 xyfx y =，其它随机变量的独立性连续型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性()10P APXY=()1060 060,36000 xyfx y =，其它0y60101060 x10 xy=10 xy=()10,xyfx y dxdy=G13600Gdxdy=360050 503600=1136=随机变量的独立性连续型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性例5关于正态随机变量的独立性的讨论22121

8、2(,)(,)X YNr设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为21222112222211221(,)21()2()()()1 .exp2(1)f x yrxr xyyr =+关于X,Y 的边缘概率密度分别为()2121211(),2xXfxe =()2222221()2yYfye =随机变量的独立性连续型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性()()()221222121211,exp22xyfx y =+=+()()()()2212221222121122xyXYfxfyee=()()()()()()2211222222121212211,exp2 121xr xyyfx yrr =+=

9、+当r=0,()()(,)XYf x yfxfy=则 X,Y 相互独立()()21212112xXfxe =()()22222212yYfye =随机变量的独立性连续型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性()()21212112xXfxe =()()22222212yYfye =如果机变量 X 与 Y 相互独立,则对几乎处处的 x,y 有()()(,)XYf x yfxfy=特别地,我们有()()()1212,XYfff =212121r =121122 由此得,r=0()()()()()()2211222222121212211,exp2 121xr xyyfx yrr =+=+随机变量的独立性连续型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性()()21212112xXfxe =()()22222212yYfye =221212(,)(,)X YNr对于X 与 Y 相互独立的充分必要条件为：r=0.()()()()()()2211222222121212211,exp2 121xr xyyfx yrr =+=+随机变量的独立性连续型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性