2022年高中函数定义域和值域的求法总结.docx

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1、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、常规型高中函数定义域和值域的求法总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式（或组）即得原函数的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1求函数 yx 22x| x3 |158的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：要使函数有意义,就必需满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 22x| x3 |15080可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由解得x3 或

2、 x5 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由解得x5 或 x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和求交集得 x3 且 x11或 x5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求函数的定义域为 x | x3且x11 x | x5 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2求函数 ysin x116x2的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：要使函数有意义,就必需满意sin x016x 20由解得2kx2k,kZ由解得4x4由和求公共部分,得4x或0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数的定义域为 4

3、,0, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：和怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）已知f x 的定义域,求f gx 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）其解法是：已知即为所求的定义域.f x 的定义域是 a, b求f gx 的定义域是解agxb ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3已知f x 的定义域为 2, 2,求f x 21) 的定义域.

4、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令2x 212 ,得1x23 ,即 0x 23 ,因此 0| x |3 ,从 而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3x3 ,故函数的定义域是 x |3x3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）已知f g x 的定义域,求 fx 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其解法是：已知f gx 的定义域是 a, b,求 fx 定义域的方法是：由axb,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_gx 的值域,即所求 fx 的定义域.可编辑资

5、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4已知f 2x1 的定义域为 1, 2,求 fx 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于 1x2,22x4,32 x15 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即函数 fx 的定义域是三、逆向型 x | 3x5 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范畴.特殊是对于已知定义域为R,求参数的范畴问题通常是转化为恒成立问题来解决.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5已知函数 ymx 26mxm8 的定义域为 R 求实数 m 的取值范畴.可编辑资

6、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 函数的定义域为 R,说明mx 26mx8m0 ,使一切 xR 都成立, 由 x 2 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的系数是 m,所以应分 m=0 或 m0 进行争论.解：当 m=0 时,函数的定义域为R.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m0 时, mx 2是m06mxm80 是二次不等式, 其对一切实数 x 都成立的充要条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 6m24mm80可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0m1综上可知 0m1 .评注：不少同学简洁忽视m=0 的情形,期望通过

7、此例解决问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6已知函数f xkxkx 274kx的定义域是 R,求实数 k 的取值范畴.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：要使函数有意义,就必需kx 24kx3 0 恒成立,由于f x 的定义域为R,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kx 24kx30 无实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 k 0 时,16k 243k0 恒成立,解得 0k3 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 k=0 时,方程左边 =3 0 恒成立.综上 k 的取值范畴是 0k3 .4四、实际问题

8、型这里函数的定义域除满意解析式外,仍要留意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍留意,并形成意识.例 7将长为 a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式,并求函数的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设矩形一边为x,就另一边长为1 a22x 于是可得矩形面积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx1 a 22 x1 axx 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 21 ax .2由问题的实际意义,知函数的定义域应满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x01 a22x0x0a2x0可编辑资料 - - -

9、欢迎下载精品_精品资料_a0x.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求函数的解析式为yx 21 ax ,定义域为（ 0, a ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22例 8用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,如矩形底边长为2x, 求此框架围成的面积y 与 x 的函数关系式,并求定义域.解：由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,如图.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 CD=AB=2x ,所以 CDx ,所以 ADLABCD 2L2xx ,2可编辑资

10、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2故 y2xL2xxx222 x2Lx2依据实际问题的意义知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x0L2x 2x0xL02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数的解析式为 y五、参数型2x 22Lx ,定义域（ 0,L）.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于含参数的函数,求定义域时,必需对分母分类争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9已知f x 的定义域为 0, 1,求函数F xf xaf xa 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于的解集：f x 的定义

11、域为 0,1,即 0x1 .故函数Fx 的定义域为以下不等式组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0xa0xa1a,即1axx1a1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即两个区间 a, 1 a与 a, 1+a的交集,比较两个区间左、右端点,知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）当12a0 时, F（ x）的定义域为 x |ax1a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）当 0a1时, F（ x）的定义域为2 x | ax1a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）当 a1 或 a21时,上述两区间的交集为空集

12、,此时F（ x）不能构成函数.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域,但是不留意定义域,往往导致错解,事实上定义域2隐含在问题中, 例如函数的单调区间是其定义域的子集.因此,求函数的单调区间,必需先求定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10求函数 ylog 2 x2x3 的单调区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由x 22（ 1, 3）.2x30 ,即 x 22x30 ,解得1 x3 .即函数 y 的定义域为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 ylog 2 x2x3 是由函数 y

13、log 2t, tx 22 x3 复合而成的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tx 22x3 x1 24 ,对称轴 x=1 ,由二次函数的单调性,可知t 在区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2,1 上是增函数.在区间1, 上是减函数,而 ylog 2t 在其定义域上单调增.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1,3,1 1,1,1,31,1,3 ,所以函数 ylog 2 x2x3 在区可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间 1,1 上是增函数,在区间1. 直接观看法1,3 上是减函数.函数值域求法十一种可编辑资料 - - - 欢迎下载

14、精品_精品资料_对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y例 1. 求函数1x 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： x010 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显函数的值域是： ,00,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2. 求函数y3x 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：xx00,3x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数的值域是：2. 配

15、方法,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22例 3. 求函数yx2x5, x1,2 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：将函数配方得： y x14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由二次函数的性质可知：当 x=1时, ymin故函数的值域是：4 ,83. 判别式法4 ,当x1 时,y max8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y例 4. 求函数1xx 21 x 2的值域.可编辑资料 -

16、 - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原函数化为关于 x 的一元二次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1 x 2 y1x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 当y1时,xR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 214 yy1 y103可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得： 2211 , 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 当 y=1时, x0 ,而22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 , 3故函数的值域为 22可编辑资料 - - - 欢

17、迎下载精品_精品资料_例 5. 求函数yxx 2x 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：两边平方整理得： 2x22y1 xy 20 （1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xR4y1 28y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得：12y12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2但此时的函数的定义域由x2x0 ,得0x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由0 ,仅保证关于x 的方程：2x 22 y1xy0 在实数集R有实根,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

18、_而不能确保其实根在区间0 ,2 上,即不能确保方程（1）有实根,由013,求出的范畴可能比 y 的实际范畴大,故不能确定此函数的值域为 2 2.可以实行如下方法进一步确定原函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0xyx2x 2x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y min0, y12 代入方程（1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x 1解得：224220,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22242x1即当2时,原函数的值域为：0,12注：由判别式法来判定函数的值域时,如

19、原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除.4. 反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3x例 6. 求函数5x46 值域.x46 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由原函数式可得：5y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y就其反函数为：46y5x33x,其定义域为：5, 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求函数的值域为：55. 函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域.可编辑资料 -

20、 - - 欢迎下载精品_精品资料_y例 7. 求函数ex1xe1 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_exy1解：由原函数式可得：y1ex0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y10 y1解得： 1y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求函数的值域为cos x1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y例 8. 求函数sin x3 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由原函数式可得： y sin xcos x3y ,可化为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y1 sin x x3y2sin x

21、 x3y即y1xR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin x x 3y21即y12y解得： 41,11242 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数的值域为446. 函数单调性法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9. 求函数y2x 5log 3x1 2x10 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令y 12x 5 , y 2log 3x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就y1 , y 2 在2 ,10上都是增函数所以yy1y 2 在2,10上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y当x

22、=2时,min2 3log211538可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当x=10时, ymax2log 3933可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求函数的值域为：1 ,338可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10. 求函数yx1xy1 的值域.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原函数可化为：x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令y 1x1, y 2x1 ,明显y1 , y 2 在1, 上为无上界的增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以yy1 , y 2 在1, 上也为无上界的增函数可

23、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以当 x=1时, yy1y 2有最小值222 ,原函数有最大值 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显y0 ,故原函数的值域为0,27. 换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式 含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一, 在求函数的值域中同样发挥作用.例 11. 求函数yxx1 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令x1t ,t0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就xt 2yt 21t1t1 2

24、324可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又t0 ,由二次函数的性质可知当t0 时, y min1当t0 时, y2故函数的值域为1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12. 求函数yx21 x1的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：因1x1 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 x1 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故可令x1cos , 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ycos11cos2sincos1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

25、品_精品资料_2 sin022145,044sin14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_02 sin1124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求函数的值域为0,12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y例 13. 求函数x 3xx 42x 21 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y解：原函数可变形为：2x12x1x 221x 21x 21x 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可令xtg ,就有1x 2sin 2 ,21xcos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

26、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1 sin 22kcos2y max1 sin 441可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当28k当28时,41y min时,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而此时tan有意义.11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求函数的值域为 44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 14. 求函数ysin x1cos xx1 ,122的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： ysin x1cos x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin x c

27、os xsin xcos x112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令sin xcos xt ,就sin x cosx t1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1 t 212t11 t21 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由tsin xcos x2 sinx/ 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x,且1222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t2可得： 23232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当ty max2 时,22ty,当2时,42可编辑资料 -

28、 - - 欢迎下载精品_精品资料_323,2故所求函数的值域为 422.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 15. 求函数yx45x2的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解：由5x0 ,可得| x |5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故可令x5 cos ,0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y5 cos4054445 sin10 sin44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当/ 4 时,y max410当时, y min45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

29、品资料_故所求函数的值域为：45,410 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 数形结合法22其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目如运用数形结合法,往往会更加简洁,一目了然, 赏心悦目.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 16. 求函数y x2 x8的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原函数可化简得： y |x2 | x8 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2）,B 8 间的距离之和.可编辑

30、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由上图可知,当点P在线段 AB上时,y |x2 | x8 | | AB | 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,y |x2 | x8 | |AB | 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求函数的值域为：10,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 17. 求函数yx 26x13x 24x5 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原函数可变形为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y x3 202 2 x2 201 2可编辑资料 -

31、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上式可看成 x 轴上的点Px ,0 到两定点A 3,2, B2, 1 的距离之和,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 图 可 知 当 点 P为 线 段 与 x轴 的 交 点 时 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y min|AB |32 221 243 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求函数的值域为43,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 18. 求函数yx 26x13x 24x5 的值域.可编辑

32、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：将函数变形为： y x3 2 02 2 x2 201 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上式可看成定点 A（3,2）到点 P（x,0）的距离与定点B的距离之差.2,1 到点P x ,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即： y| AP |BP |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由图可知：（1）当点 P在x 轴上且不是直线 AB与 x 轴的交点时,如点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P , 就 构 成ABP, 根 据 三 角形 两 边 之 差 小 于 第 三边 , 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AP| BP | AB |32 221 226可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即： 26y26