2022年高中文科数学立体几何知识点总结.docx

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1、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_立体几何学问点整理（文科）一 直线和平面的三种位置关系：ll / mm ml / l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 线面平行l符号表示：方法二：用面面平行实现./ll /可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 线面相交l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lA符号表示：3. 线在面内方法三：用平面法向量实现.n l如 n 为 平 面的 一 个 法 向 量 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l符号表示：nl 且 l,就l

2、/.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二 平行关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.线线平行：l方法一：用线面平行实现.l /3.面面平行：lm方法一：用线线平行实现.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ll / mml / l lm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m方法二：用面面平行实现.m/ m l , ml , m/且相交且相交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l/mll / mm方法二：用线面平行实现.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法三：用线面

3、垂直实现.l /可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 l, m,就 l / m .m /可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法四：用向量方法：如向量 l 和向量 m 共线且 l 、m 不重合, 就 l / m .2.线面平行：方法一：用线线平行实现.l , m且相交lm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lAC方法三：用向量方法：B如向量 l 和向量 m 的数量积为 0,就 lm .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现.三 夹角问题.一异面直线所成的角：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

4、品资料_lAClABl(1) 范畴：(2) 求法：0 ,90 Pn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACABA AC , AB方法一：定义法.步骤 1：平移,使它们相交,找到夹角.AO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二：用面面垂直实现.步骤 2：解三角形求出角. 常用到余弦定理 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aclml余弦定理：222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mlm, lcosabc2abb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

5、_精品资料_2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现.lll运算结果可能是其补角方法二：向量法.转化为向量C的夹角运算结果可能是其补角： AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二：运算所成二面角为直角.3. 线线垂直：二线面角cosAB ACABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法一：用线面垂直实现.lllm mm(1) 定义：直线 l 上任取一点 P（交点除外） ,作PO 于 O,连结 AO ,就 AO 为斜线 PA 在面 内的射影, PAO 图中 为直线 l 与面 所成的角.P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二：三垂线定理及其逆定理.

6、OA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PPOlOAlPAlAO(2) 范畴：0 ,90 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当0 时, l或 l /n1当90 时, ln2(3) 求法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法一：定义法.步骤 1：作出线面角,并证明.步骤 2：解三角形,求出线面角.步骤一：运算cosn1 n2n1 n2n1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三二面角及其平面角(1) 定义：在棱l 上取一点 P,两个半平面内分别

7、作l 的垂线（射线） m、n,就射线 m 和 n 的夹角为步骤二：判定与者互补.n1 n2的关系,可能相等或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二面角 l的平面角.四 距离问题.1. 点面距.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法一：几何法.mPPlnAO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 范畴：(3) 求法：0 ,180 步骤 1：过点 P 作 PO于 O,线段 PO 即为所求.步骤 2：运算线段 PO 的长度. 直接解三角形.等体积法和等面积法.换点法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法一：定义法.步骤 1：作出二面角的平面角

8、三垂线定理 ,并证明.步骤 2：解三角形,求出二面角的平面角.方法二：截面法.步骤 1：如图,如平面 POA 同时垂直于平面和,2. 线面距、面面距均可转化为点面距.3. 异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离.mn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就交线 射线 AP 和 AO 的夹角就是二面角.步骤 2：解三角形,求出二面角.m /如图, m和 n为两条异面直线,n且,就异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P线 m 与平面之间的距离.A方法二：直接运算公垂线段的长度.O方法

9、三：公式法.方法三：坐标法 运算结果可能与二面角互补.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BaAmcdnDmb如图, AD是异面直线 m 和 n 的公垂线段,m/ m ,就异面直线 m 和 n 之间的距离为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222Cdcab2ab cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五 空间向量一空间向量基本定理A A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CDC1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如向量a, b, c 为空间中不共面的三个向量,就对空间中任意一

10、个向量B p ,都存在唯独的有序实数对B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x、y、z ,使得 pxaybzc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二 三点共线,四点共面问题1. A , B, C 三点共线OAxOByOC ,且 xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xy1时, A 是线段 BC 的2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A , B, C 三点共线ABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. A , B, C, D 四点共面OAxOByOCzOD ,且1xy

11、z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xyz时, A 是 BCD的3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A , B, C, D 四点共面ABx ACy AD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三空间向量的坐标运算1. 已知空间中 A 、B 两点的坐标分别为：A x1, y1, z1 , B x2 , y2, z2就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB;d A , BAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 如空间中的向量 a x1, y1, z1 , b x2 , y2

12、, z2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a bcosa b六常见几何体的特点及运算一长方体1. 长方体的对角线相等且相互平分.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 如长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为、 、 ,就cos+cos+cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、 、 ,就cos2+cos2+cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如长方体的长宽

13、高分别为a、b、c,就体对角线长为,表面积为,体积为.二正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心.三正棱柱：底面是正多边形的直棱柱.四正多面体：每个面有相同边数的正多边形,且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体.只有五种正多面体五棱锥的性质： 平行于底面的的截面与底面相像,且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比.正棱锥的性质：各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六体积： V棱柱V棱锥可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_七球1. 定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面.2. 设球半径为 R,小圆的半径为 r,小圆

14、圆心为O1,球心 O 到小圆的距离为 d,就它们三者之间的数量关系是.3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.4. 球的表面积公式：体积公式：高考题典例考点 1点到平面的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 如图,正三棱柱ABCA1B1C1 的全部棱长都为2 , D 为 CC1 中点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求证：AB1 平面A1BD .（）求二面角AA1DB 的大小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

15、- - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求点 C 到平面A1BD 的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答过程 （）取 BC 中点 O ,连结 AO ABC 为正三角形,AO BC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正三棱柱ABCA1 B1C1 中,平面 ABC 平面BCC1 B1 ,AA1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AO 平面的中点,BCC1B1 连结B1O BD ,B1O ,在正方形AB1 BD BB1C1C 中, O, D 分FCODC1别 为 B C,C 1C可编辑资料 - - - 欢迎

16、下载精品_精品资料_在正方形ABB1 A1 中,AB1 A1B ,AB1 平面A1BD BB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）设AB1 与A1B 交于点 G ,在平面A1BD 中,作GF A1D于 F, 连 结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AF ,由（）得AB1 平面A1 BD AF A1 D , AFG 为二面角AA1 DB 的平面角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 AA1 D 中,由等面积法可

17、求得AF4 5 ,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 AG1AB122 ,sinAFGAGAF210 4 545可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以二面角AA1DB 的大小为arcsin10 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（） A1BD 中,BDA1D5,A1 B22,S A BD6 , S BCD1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1在正三棱柱中,A1 到平面BCC1B1 的距离为

18、3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设点 C 到平面A1 BD 的距离为 d 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由VV,得 1 S3 1 Sd ,3SBCD2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1 BCDC A1BD BCD33 A1BDd1S A BD2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1点 C 到平面 A BD 的距离为2 2考点 2异面直线的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 已知三棱锥 SABC ,底面是边长

19、为4 2 的正三角形,棱可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SC的长为 2 ,且垂直于底面 . E、D 分别为 BC、AB的中点,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CD 与 SE 间的距离 .解答过程 ： 如下列图,取 BD 的中点 F,连结 EF , SF,CF ,EF 为 BCD 的中位线,EF CD ,CD 面 SEF ,CD 到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离 .又线面之间的距离可转化为线CD 上一点 C 到平面 SEF的距离,设其为 h,由题意知, BC4 2 ,D 、E、F 分别是 AB 、BC 、BD 的中点,可编辑资料 - - - 欢迎下载

20、精品_精品资料_CD26, EF1 CD26 , DF2 , SC2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_VS CEF11EFDFSC116 323222233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 RtSCE中, SESC2CE22 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 RtSCF 中, SFSC2CF 2424230可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

21、又EF6,SSEF3由于 VCSEFVS CEF1S SEF3h ,即 13 h32323,解得 h33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 CD 与 SE 间的距离为 23 .3考点 3直线到平面的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 如图,在棱长为 2 的正方体AC1 中, G 是AA1 的中点,求 BD 到平面GB1D1 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路启发 ：把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解.D1CO11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答过程 ：解析一BD 平面GB1D1 ,A1B1

22、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BD 上任意一点到平面GB1D1 的距离皆为所求,以下求HG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 O 平面B1D1GB1D1 的距离 ,A1C1 , B1D1A1 A,B1D1DCO平面 A1 ACC1 ,AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又B1D1平面 GB1D1平面 A1ACC1GB1D1 ,两个平面的交线是O1G ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作 OHO1G 于 H ,就有 OH平面GB1 D1

23、,即 OH 是 O 点到平面GB1D1 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 O1OG 中,S O1OG11O1OAO222 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 S O1OG11OHO1G223 OH262 ,OH.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 BD 到平面GB1D126的距离等于.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析

24、二BD 平面GB1D1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BD 上任意一点到平面GB1D1 的距离皆为所求,以下求点B 平面GB1D1 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设点 B 到平面GB1D1 的距离为 h,将它视为三棱锥BGB1D1 的高,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_VB GB1D1VD1GBB1,由于SGB1 D112236,2V D1 GBB1114222,323可编辑资料 - -

25、 - 欢迎下载精品_精品资料_h42 6 ,63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 BD 到平面GB1D126的距离等于.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结 ：当直线与平面平行时, 直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离 .所以求线面距离关键是选准恰当的点, 转化为点面距离 .本例解析一是依据选出的点直接作出距离.解析二是等体积法求出点面距离.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点 4异面直线所成的角 例 4 如图,在 RtAOB 中,OAB,斜边 AB64 Rt AOC可以通过 Rt AOB 以直线 AO 为轴旋转可编辑资料 - -

26、- 欢迎下载精品_精品资料_得到,且二面角 BAOC 的直二面角D 是 AB 的中点（ I）求证：平面 COD平面 AOB.（ II）求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小解答过程 ：（ I）由题意, COAO , BOAO , BOC 是二面角 BAOC 是直二面角,COBO ,又AOBOO,CO平面 AOB,又 CO平面 COD 平面 COD平面 AOB（ II）作 DEOB ,垂足为 E ,连结 CE （如图）,就 DE AO ,CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角ADzAOEBCDOB y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 RtCOE 中, COBO2 , O

27、E1 BO1,2CECO 2OE 25 x C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 DE1 AO3 在 RtCDE 中,tanCDECE515 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为arctanDE3315 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结 ： 求异面直线所成的角经常先作出所成角的平面图形,作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上挑选“特殊点” ,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二.补形法：把空间图形补成熟识的几何体,其目的在于简单发觉两条

28、异面直线间的关系,如解析三 .一般来说, 平移法是最常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特殊留意异面直线所成的角的范畴：0,.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点 5直线和平面所成的角例 5 . 四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC底面 ABCD 已知 ABC45 ,AB2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BC22 ,SASB3 S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

29、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）证明 SABC .（）求直线 SD 与平面 SAB所成角的大小解答过程：（） 作 SO BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC DAB,得 SO 底面 ABCD 由于 SASB,所以 AOBO ,CB底面AS可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 ABC45, 故A O B为 等 腰 直 角 三 角 形 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AO BO,由三垂线定理,得SA BC （）由（）知SA BC

30、,依题设 AD BC ,DCOBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 SA AD ,由ADBC2 2 ,SA3 ,AO2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 SO1 , SD11 SA B的面积 S112ABSA21 AB2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连结 DB ,得DAB 的面积 S21 AB AD222sin1352可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 D 到平面 SAB的距离为 h ,由于VD SABVS ABD ,得 1 h S1 SO S ,解得 h2 可编辑资料 -

31、 - - 欢迎下载精品_精品资料_1233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 SD 与平面 SAB所成角为,就sinh222 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,直线 SD与平面 SBC所成的我为SDarcsin111122 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结 ：求直线与平面所成的角时,应留意的问题是（1 ）先判定直线和平面的位置关系.（ 2）当直线和平面斜交时,常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角,证明论证作出的角为所求的角,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算常用解三角形的方法求角,结论点明直线和平面所成的角的值.

32、考点 6二面角例 6 如图, 已知直二面角PQ, APQ , B, C, CACB ,C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BAP45 ,直线 CA 和平面所成的角为 30 （ I）证明 BC PQPAQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II）求二面角 BACP 的大小B过程指引 ：（ I）在平面内过点 C 作 CO PQ 于点 O ,连结 OB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于,PQ ,所以 CO , 又由于 CACB ,所以 OAOB CHPAQBO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而BAO45 ,所以ABO45 ,AOB90 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 BO PQ,又 CO PQ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 PQ 平面 OBC 由于 BC平面 OBC ,故 PQ BC （ II）由（ I）知, BO PQ ,又 ,PQ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BO,所以 BO 过点 O 作 OH AC 于点 H ,连结 BH ,由三垂线定理知,BH AC 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精