2022年高等数学教案-定积分的概念与性质 .docx

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1、精品_精品资料_第 5 章 定积分及其应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【教学目的】：定积分的概念与性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 懂得曲边梯形的面积求法的思维方法.2. 懂得定积分的概念及其性质.3. 把握定积分的几何意义 .【教学重点】：1. 定积分的概念及其性质.【教学难点】：1. 曲边梯形面积求法的思维方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【教学时数】：2 学时【教学过程】：案例讨论引例5.1.1曲边梯形的面积问题所谓曲边梯形 是指由连续曲线 yf x 设f x0 ,直线 xa , xb 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

2、_精品资料_y0 即 x 轴 所围成的此类型的平面图形如图5-1 所示下面来求该曲边梯形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 5-1图 5-2分析 由于“矩形面积 =底 高”,而曲边梯形在底边上各点处的高f x 在区可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间a, b 上是变动的,故它的面积不能按矩形面积公式运算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另一方面,由于曲线yf x 在 a,b 上是连续变化的,所以当点 x 在区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a,b 上某处变化很小时, 相应的f x 也就变化不大 . 于是,考虑用一组平行于

3、y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴的直线把曲边梯形分割成假设干个小曲边梯形,当分割得较细, 每个小曲边梯形很窄时,其高 f x 的变化就很小 . 这样,可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形, 用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,进而用全部小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积如图5-2所示. 明显,分割越细,近似程度越高,当无限细分时,全部小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.依据以上分析,可按以下四步运算曲边梯形的面积A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1分割 在闭区间a,b 上任意插入 n1个分点,可编辑

4、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax0x1x2.xi 1xi.xn 1xnb ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将闭区间 a, b 分成 n 个小区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它们的长度依次为 x0 ,x1, x1x2 , xi 1,xi , xn 1,xn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x1x0 ,x2x2x1, .,xixixi1 , .,xnxnxn 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过每一个分点作平行于y 轴的直线,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形.

5、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2取近似 在每个小区间 xi1, xi i1,2,., n上任取一点i xi 1ixi ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以小区间 xixixi1 为底, f i 为高作小矩形,用小矩形的面积f i xi 近似可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代替相应的小曲边梯形的面积A ,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Af i xii1, 2,., n ,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3求和 把这样得到的 n 个小矩形的面积加起来,得和式f i i 1xi ,将可编辑资料 - - - 欢迎下

6、载精品_精品资料_其作为曲边梯形面积的近似值,即nnAi 1Aif i xi .i 1 4 取 极 限 当分 点 个数 n 无 限增 加, 且小 区 间长 度的 最大 值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_maxxi 趋于零时,上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值,即n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Alimf i 0 i 1xi .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5.1.1 定积分的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义 1设函数n1 个分点yf x 在闭区间 a,b 上有界,在闭区间 a,b 中任意插入可编辑资料 - - -

7、 欢迎下载精品_精品资料_ax0x1x2.xi 1xi.xn 1xnb ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将区间 a, b 分成 n 个小区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x0 ,各小区间的长度依次为x1 , x1,x2 , ., xi 1,xi , ., xn 1,xn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x1x0,x2x2x1, .,xixixi1, .,xnxnxn 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在每个小区间上任取一点i xi 1ixi ,作函数值nf i 与小区间长度xi 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精

8、品_精品资料_乘积 f i xi i1, 2, n ,并作和f i i 1xi ,记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_maxxi , i1, 2, n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当n 无限增大且0 时,假设上述和式的极限存在,就称函数yf x 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_区间a,b 上可积,并将此极限值称为函数byf x 在 a,b 上的定积分 ,记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.f xdxabn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即f xdxalimf i 0 i 1xi ,可编辑资料 - - - 欢

9、迎下载精品_精品资料_其中 x 称为积分变量 , f x 称为被积函数 ,f x dx 称为被积表达式 , a 称为积ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分下限, b 称为积分上限 , a,b 称为积分区间 ,符号f x dx 读作函数 f x 从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 到 b 的定积分 .按定积分的定义,两个引例的结果可以分别表示为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b,Af x dxQab,P t dta可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关于定积分的定义作以下几点说明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1

10、和式的极限limf i 0i 1xi 存在即函数f x 在 a,b 上可积是指不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_管对区间 a,b 怎样分法,也不管对点i xi 1ixi 怎样取法,极限都存在 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2和式的极限仅与被积函数分变量使用什么字母无关,即bf x 的表达式及积分区间 a,bbb 有关,与积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x dxaf t dtaf udu .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3定义中要求积分限 ab,我们补充如下规定：b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当ab

11、 时,f xdx0a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 ab 时,f xdxfxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab4函数可积的两个充分条件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 fx在 a,b 上连续,就f x在 a,b 上可积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 f x在a, b 上有界,且只有有限个第一类间断点,就积.f x在 a, b 上可b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定积分的几何意义 当f x0

12、时,由前述可知,定积分f x dx 在几何上a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表示由曲线 yf x ,两直线 xa,xb 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积.b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 f x0 ,这时曲边梯形位于 x 轴下方,定积分f xdx 在几何上表示a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上述曲边梯形面积的负值,如图53.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 f x 在a,b 上有正有负时,定积分baf xdx 在几何上表示 x 轴,曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 及两直线 x图 5a-3,

13、 xb 所围成的各个曲边梯形面图积5的-4 代数和 见图 5 4,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即f xdxA1aA2A3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5.1.2 定积分的性质以下性质中函数均为可积函数 .性质 1 函数和差的定积分等于它们定积分的和差,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b即 fax）g x dxbf x dxabg x dx .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 1 可推广到有限多个函数代数和的情形 .性质 2 被积函数的常数因子可以提到定积分的符号外面,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

14、_b即 kfa x dxbkf xdx , k 为常数 .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 3 假如在区间 a,b 上f xC ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxabCdxabCba) ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的, C1时,dxaba .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 3 的几何意义如图 5 7 所示.性质 4积分区间的可加性 假如积分区间 a,b 被点 c 分成两个区间 a, c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和c, b , 就在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分的和

15、,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxacf xdxabf x dx .c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意： 无论 a, b, c 的相对位置如何,总有上述等式成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 5 假如在区间 a,b 上,f x0 ,就bf xdxa0ab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 6定积分的单调性 假如在区间a,b 上,有f xgx ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b就f xdxabgxdxaab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例2比较以下各对积分值的大

16、小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 30xdx 与 1 x3dx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 20xdx与 2 sin xdx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 1由幂函数的性质,在 0,1 上,有3 xx3由定积分性质,得1 3 xdx1 x3dx00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2在 0,内有 xsin x,得2xdx2 sin xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2性质 7估值定理 假如函数b00f x 在闭区间 a,b 上的最大值为 M ,最

17、小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值为 m ,就mbaf xdxaM baab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 7 说明,由被积函数在积分区间上的最大值和最小值可以估量积分值的大致范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例3估量定积分12e x dx 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解先 求2f x1e x 2在 区 间 1, 1 上 的 最 大 值 和 最 小 值, 为 此 求 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x2xex , 令 f x0 ,得驻点 x0 ,比较驻点 x0 处与区间端点 x1可

18、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_处的函数值：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得最小值1f 0e 01,M1f 1e 11 ,e21x 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m,最大值e,再依据估值定理,得edx2e1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 8积分中值定理 假如函数yf x 在闭区间 a,b 上连续,就至少可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_存在一点 a,bb ,使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xdxaf baab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个公式称为 积分中值公式 .【教学小节】：通过本节的学习, 懂得曲边梯形面积求法的思维过程, 懂得定积分的概念及其几何意义,娴熟把握定积分的性质,并学会应用其解打算积分的简洁问题.【课后作业】： 无可编辑资料 - - - 欢迎下载