高二数学教案：《不等式的证明》教学设计（一）.docx

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1、高二数学教案：不等式的证明教学设计（一）高二数学教案：不等式的证明教学设计（二） 高二数学教案：不等式的证明教学设计（二） 其次课时 教学目标 1进一步娴熟驾驭比较法证明不等式； 2了解作商比较法证明不等式； 3提高学生解题时应变实力. 教学重点 比较法的应用 教学难点 常见解题技巧 教学方法 启发引导式 教学活动 （一）导入新课 （老师活动）老师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，老师点评 （学生活动）思索问题，回答 字幕1比较法证明不等式的步骤是怎样的？ 2比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？ 3用比较法证明不等式的步骤中，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对

2、式子的变形还有其它方法吗？ 点评用比较法证明不等式步骤中，关键是对差式的变形在我们所学的学问中，对式子变形的常用方法除了配方、通分，还有因式分解这节课我们将接着学习比较法证明不等式，积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用（板书课题） 设计意图：复习巩固已学学问，连接新学问，引入本节课学习的内容 （二）新课讲授 【尝摸索索，建立新知】 （老师活动）提出问题，引导学生探讨解决问题，并点评 （学生活动）尝试解决问题 解：（见课本） 点评此题是一个实际问题，学习了如何利用比较法证明不等式的思想方法解决有关实际问题要培育自己学数学，用数学的良好品质 设计意图：巩固比较法证明不等式的方法，驾驭因式分解

3、的变形方法和分类探讨确定符号的方法培育学生应用学问解决实际问题的实力 【课堂练习】 设计意图：驾驭比较法证明不等式及思想方法的应用敏捷驾驭因式分解法对差式的变形和分类探讨确定符号反馈信息，调整课堂教学 【分析归纳、小结解法】 （老师活动）分析归纳例题的解题过程，小结对差式变形、确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解题步骤 （学生活动）与老师一道小结，并记录在笔记本上 1比较法不仅是证明不等式的一种基本、重要的方法，也是比较两个式子大小的一种重要方法 2对差式变形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等 3会用分类探讨的方法确定差式的符号 4利用不等式解决实际问题的解题步骤：类比列方程

4、解应用题的步骤分析题意，设未知数，找出数量关系（函数关系，相等关系或不等关系），列出函数关系、等式或不等式，求解，作答 设计意图：培育学生分析归纳问题的实力，驾驭用比较法证明不等式的学问体系 （三）小结 （老师活动）老师小结本节课所学的学问及数学思想与方法 （学生活动）与老师一道小结，并记录笔记 本节课学习了对差式变形的一种常用方法因式分解法；对符号确定的分类探讨法；应用比较法的思想解决实际问题 通过学习比较法证明不等式，要明确比较法证明不等式的理论依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，驾驭求差后对差式变形以及推断符号的重要方法，并在以后的学习中接着积累方法，培育

5、用数学学问解决实际问题的实力 设计意图：培育学生对所学的学问进行概括归纳的实力，巩固所学的学问，领悟化归、类比、分类探讨的重要数学思想方法 （四）布置作业 3探讨性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？（假设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变） 设计意图：思索题让学生了解商值比较法，驾驭分类探讨的思想探讨性题是使学生理论联系实际，用数学解决实际问题，提高应用数学的实力 （五）课后点评 1教学评价、反馈调整措施的构想：本节课采纳启发引导，讲练结合的授课方式，发挥老师主导作用，体现学生主体地位，通过启发诱导学生深化思索问题，解决问题，反馈学

6、习信息，调整教学活动 2教学措施的设计：由于对差式变形，确定符号是驾驭比较法证明不等式的关键，本节课在上节课的基础上接着学习差式变形的方法和符号的确定，例3和例4分别使学生驾驭因式分解变形和分类探讨确定符号，例5使学生对所学的学问会应用例题设计目的在于突出重点，突破难点，学会应用 第三课时 教学目标 1.驾驭综合法证明不等式； 2.娴熟驾驭已学的重要不等式； 3.增加学生的逻辑推理实力. 教学重点 综合法 教学难点 不等式性质的综合运用 教学方法 启发引导式 教学活动 （）导入新课 （老师活动）打出字幕（课前练习），引导学生回忆所学的学问，尽量用多种方法完成练习，投影学生不同解法，并点评 （学

7、生活动）完成练习 字幕 高二数学上册不等式的证明教学设计 高二数学上册不等式的证明教学设计 课题 不等式的证明 课型 复习课 教者 教化教学目标 进一步加强对不等式学问的驾驭与应用,增加学问认知水平与问题处理实力的提高,巩固不等式的基本性质,基本证明思路,基本证明方法等学问储备. 重点 加强学问的应用实力,巩固不等式证明基本方法的驾驭 难点 娴熟驾驭不等式证明的策略与技巧,重要不等式的敏捷应用 关键 多练、多想、多分析、多积累 教学打算 幻灯片 教学步骤 教学内容 时间 导言 学问回顾 例题讲解 小结 我们已经学习了不等式的证明，那么下面我们来看一下不等式证明应留意的问题。我们从应留意的问题中

8、看得出想解决好不等式证明的问题，我们不仅应娴熟地驾驭不等式的性质，基本方法和重要不等式，那么我们学习了哪些有关这方面的学问呢？下面就让我们系统地复习一下，并应用这些用实际问题来巩固一下学问的驾驭与应用实力。 不等式的基本性质（见幻灯片） 不等式的基本证明方法（见幻灯片） 重要不等式（见幻灯片） 例1：已知a、b、c、d、x、yR+且a2+b2=x2,c2+d2=y2,求证：xyac+bd 例2：对随意正数m，求证： + |a+b| m+|a+b| |a| m+|a| |b| m+|b| 例3：设ac,bc,c0,求证： c(a-c)+ c(b-c) ab 并确定等号成立的条件 例4：解方程：2

9、x2+27/x4=9 例5：已知a、b为正常数，x、y为正实数，且a/x+b/y=1,求x+y的最小值 板书设计 不等式的证明 基础学问例题 不等式证明 题目第六章不等式不等式的证明高考要求1通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较敏捷的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；2驾驭用“分析法”证明不等式；理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围3搞清分析法证题的理论依据，驾驭分析法的证题格式和要求搞清各种证明方法的理论依据和详细证明方法和步骤4通过证明不等式的过程，培育自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等

10、式的实力；能较敏捷的应用不等式的基本学问、基本方法，解决有关不等式的问题学问点归纳不等式的证明方法（1）比较法：作差比较：作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数（或式）作差变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和推断差的符号：结合变形的结果及题设条件推断差的符号留意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小（2）综合法：由因导果（3）分析法：执果索因基本步骤：要证只需证，只需证“分析法”证题的理论依据：找寻结论成立的充分条件或者是充要条件“分析法”证题是一个特别好的方法，但是书写不是太便利，所以我们可以利用分析法找寻证题的途径，然后用“综合法”进行表达（4）

11、反证法：正难则反（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：；将分子或分母放大（或缩小）利用基本不等式，如：；利用常用结论：、；、；（程度大）、；（程度小）（6）换元法：换元的目的就是削减不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：已知，可设；已知，可设()；已知，可设；已知，可设；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法敏捷多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟识各种证法中的推理思

12、维，并驾驭相应的步骤，技巧和语言特点数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中特地探讨题型讲解例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事好用数学关系式反映出来，并证明之分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知解：由题意得证法一：（比较法），证法二：（放缩法），证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，AB=a，AC=b，BD=m，作CEBD，例2已知a，bR，且a+b=1求证：证法一：（比较法）即（当且仅当时，取等号）证法二：（分析法）因为明显成立，所以原不等式成立点评：分析法是基本的数学方法，运用时，要保证“后一步”

13、是“前一步”的充分条件证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）证法四：（反证法）假设，则由a+b=1，得，于是有所以，这与冲突所以证法五：（放缩法）左边右边点评：依据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式证法六：（均值换元法），所以可设，左边右边当且仅当t=0时，等号成立点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采纳均值换元证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因为，所以，即故例3设实数x，y满意y+x2=0，0a1求证：证明：（分析法）要证，只要证：，又，只需证：只需证，即证，此式明显成立原不等式成立例4设m等

14、于，和1中最大的一个，当时，求证：分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于，和1中最大的一个”翻译为符号语言“，”，从而知证明：（综合法），例5已知的单调区间；(2)求证：（3）若求证：解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,（2）而点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考学问又考实力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值小结：1驾驭好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要留意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间

15、的相互联系、相互渗透和相互制约，这些也是近年命题的重点2在不等式证明中还要留意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要留意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类探讨等3比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法，即欲证4基本思想、基本方法：用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法用分析法探究证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式动身，

16、不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到明显成立的不等式，书写方法习惯上用“”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的详细运用，两个重要策略原则是：正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探究解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯简洁化原则：寻求解题思路与途径，常把较困难的问题转化为较简洁的问题，在证明较困难的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题相宜用反证法换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将困难的代数问题

17、转化成简洁的三角问题含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并留意根的取值范围和题目的限制条件有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，留意放缩适度学生练习1设，求证：证明：=，则故原不等式成立点评：（1）三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：（2）用比较法证不等式，关键在于作差（或商）后结式了进行变形，常见的变形是通分、因式分解或配方2己知都是正数，且成等比数列，求证：证明：成等比数列，都是正数，点评：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分是运用比较法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部运

18、用基本不等式，也是用比较法证不等式时的一种常用手段3己知函数，当满意时，证明：对于随意实数都成立的充要条件是证明：（1）若，则(2)当时，故原命题成立4比较的大小（其中0x1）解：-=0(比差)56证明：7若，求证ab与不能都大于证明：假设ab,(1a)(1b)都大于8已知：a3+b3=2,求证：a+b证明：假设a+b2则b2-aa3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2与已知相冲突，所以,a+b9101113设都正数，求证：证明：，14设且，求证：证法1若，这与冲突，同理可证证法2由知15有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食，他们共购粮三次

19、，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮10000元三次后统计，谁购的粮食平均价低？为什么？解：设第一、二、三次的粮食价格分别为元/千克、元/千克、元/千克，则甲三次购粮的平均价格为，乙三次购粮的平均价格为，因为所以乙购的粮食价格低说明“各次的粮食价格不同”，必需用字母表示，这样就能把粮食平均价格用式子表示出来我们应当从式的特征联想到用基本不等式进行变换 课前后备注 高二数学教案：不等式的性质教学设计（一） 高二数学教案：不等式的性质教学设计（一） 教学目标 1理解不等式的性质，驾驭不等式各特性质的条件和结论之间的逻辑关系，并驾驭它们的证明方法以及功能、运用； 2驾驭两个实数

20、比较大小的一般方法； 3通过不等式性质证明的学习，提高学生逻辑推论的实力； 4提高本节内容的学习，；培育学生条理思维的习惯和仔细严谨的学习看法； 教学建议 1教材分析 （1）学问结构 本节首先通过数形结合，给出了比较实数大小的方法，在这个基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证明。 学问结构图 （2）重点、难点分析 在“不等式的性质”一节中，联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法，复习了初中学过的不等式的基本性质。 不等式的性质是穿越本章内容的一条主线，无论是算术平均数与几何平均数的定理的证明及其应用，不等式的证明和解一些简洁的不等式，无不以不等式的性质

21、作为基础。 本节的重点是比较两个实数的大小，不等式的五个定理和三个推论；难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。 比较实数的大小 教材运用数形结合的观点，从实数与数轴上的点一一对应动身， 与初中学过的学问“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。 指出比较两实数大小的方法是求差比较法： 比较两个实数a与b的大小，归结为推断它们的差ab的符号，而这又必定归结到实数运算的符号法则. 比较两个代数式的大小，事实上是比较它们的值的大小，而这又归结为推断它们的差的符号. 理清不等式的几特性质的关系 教材中的不等式共5个定理3个推论，是从证明过程支配依次的从这几特性质的分

22、类来说，可以分为三类： 2教法建议 本节课的核心是培育学生的变形技能，训练学生的推理实力为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础 授课方法可以实行讲授与问答相结合的方式通过问答形式不断地给学生设置疑问（即：设疑）；对教学难点，再由讲授形式解决疑问（即：解疑）主要思路是：老师设疑学生探讨老师启发解疑 教学过程可分为：发觉定理、定理证明、定理应用，采纳由形象思维到抽象思维的过渡，发觉定理、证明定理采纳类比联想，变形转化，应用定理或应用定理的证明思路；解决一些较简洁的证明题 第一课时 教学目标 1驾驭实数的运算性质与大小依次间关系； 2驾驭求差法比较两实数或代数式大小； 3强调数形结合思想. 教学重点 比较两实数大小 教学难点 理解实数运算的符号法则 教学方法 启发式 教学过程 第16页 共16页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页