高三数学几个常用函数的导数教案2.docx

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1、高三数学几个常用函数的导数教案2高三数学教案：简洁复合函数的导数教学设计 本文题目： 高三数学复习教案；简洁复合函数的导数 【高考要求】：简洁复合函数的导数(B). 【学习目标】：1.了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则，能求简洁的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的导数. 2.会用复合函数的导数探讨函数图像或曲线的特征. 3.会用复合函数的导数探讨函数的单调性、极值、最值. 【学问复习与自学质疑】 1.复合函数的求导法则是什么? 2.(1)若 ，则 _.(2)若 ，则 _.(3)若 ，则 _.(4)若 ，则 _. 3.函数 在区间_上是增函数, 在区间_上是减函数. 4.函数 的单调性

2、是_. 5.函数 的极大值是_. 6.函数 的最大值,最小值分别是_,_. 【例题精讲】 1. 求下列函数的导数(1) ;(2) . 2.已知曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线相同,求 的值. 【矫正反馈】 1.与曲线 在点 处的切线垂直的一条直线是_. 2.函数 的极大值点是_,微小值点是_. (不好解)3.设曲线 在点 处的切线斜率为 ,若 ,则函数 的周期是 _. 4.已知曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线相互垂直, 为原点,且 ,则 的面积为_. 5.曲线 上的点到直线 的最短距离是_. 【迁移应用】 1.设 , 若存在 ,使得 ,求 的取值范围. 2.已知 ,若对随意

3、 都有 ,试求 的取值范围. 高三数学导数的综合应用教案18 115导数的综合应用一、明确复习目标了解可导函数的单调性与其导数的关系，会用导数分析函数的单调性，进而求解函数不等式的问题；二建构学问网络1函数的单调性与导数的关系，求单调区间的方法（见上一节）；2利用导数解不等式问题：（高考中的一类新题型）（1）利用导数确定函数的单调性，（2）利用单调性探讨不等式。三、双基题目练练手1已知a0，函数f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的最大值是A0B1C2D32函数f（x）=sin（3x）在点（,）处的切线方程是（）A3x+2y+=0,B3x2y+=0C3x2y=0,D3x+2y=03

4、(2022湖北)若的大小关系（）ABCD与x的取值有关4（2022江西）对于上可导的随意函数f(x),若满意(x1)f(x)0,则必有（）Af(0)+f(2)2f(1)Bf(0)+f(2)2f(1)Cf(0)+f(2)2f(1)Df(0)+f(2)2f(1)5若函数y=x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是_6方程x33x+c=0在0，1上至多有_个实数根 简答:14DBDC；5y=4x2+b，若y值有正、有负，则b0答案：b06设f（x）=x33x+c，则（x）=3x23=3（x21）当x（0，1）时，（x）0恒成立f（x）在（0，1）上单调递减f（x）的图象与x轴最多有一个交点因此方程

5、x33x+c=0在0，1）上至多有一实根四、经典例题做一做【例1】证明：当x0时，有证明：设f(x)=x-sinx,于是f(0)=0f/(x)=1-cosx(仅在x=2k(kZ)处f/(x)=0当x0时，f(x)单调递增，从而有f(x)f(0)即x-sinx0,xsinx(x0)为证不等式，设g(x)=sinx-x+,则g(0)=0,于是g/(x)0,g(x)在x0时递增，从而有g(x)g(0)=0即故当x0时有提炼方法：证不等式的依据I：（1）若函数f(x)在xa可导，且递增，则f(x)f(a);（2）若函数f(x)在xa可导，且递减，则f(x)f(a);关键在于构造恰当的函数，一般是左-右

6、，右-左，左右等。 【例2】已知求证：函数f(x)图像上的点不行能在函数g(x)图像的上方。证明：设F(x)=(2-x)ex-1,(x2)F/(x)=(1-x)ex-1,当x1时，F/（x）0,当1x2时，F/(x)0x=1时，F(x)有极大值，也就是最大值。F(x)F(1)=1,又x2,函数f(x)图像上的点不行能在函数g(x)图像的上方。 提炼方法：证不等式的依据II：(1)若函数f(x)在某一范围内有最小值m,则f(x)m(2)若函数f(x)在某一范围内有最大值M，则f(x)m 【例3】(2022全国）已知函数（）设a0，探讨y=f(x)的单调性；（）若对随意x(0,1)恒有f(x)1，

7、求a的取值范围解()f(x)的定义域为(,1)(1,+)。对f(x)求导数得f(x)=ax2+2a(1x)2eax()当a=2时,f(x)=2x2(1x)2e2x,f(x)在(,0),(0,1)和(1,+)均大于0,所以f(x)在(,1),(1,+)为增函数；()当0a2时,f(x)0,f(x)在(,1),(1,+)为增函数；()当a2时,0a2a1,令f(x)=0,解得x1=,x2=当x改变时,f(x)和f(x)的改变状况如下表：x(-,-)(-,)(,1)(1,+)f(x)f(x)f(x)在(,),(,1),(1,+)为增函数,f(x)在(,)为减函数。()()当0a2时,由()知:对随意

8、x(0,1)恒有f(x)f(0)=1()当a2时,取x0=12(0,1),则由()知f(x0)f(0)=1()当a0时,对随意x(0,1),恒有1+x1x1且eax1,得f(x)=1+x1xeax1+x1x1综上当且仅当a(,2时,对随意x(0,1)恒有f(x)1。 特殊提示：对于求单调区间、极值、最值问题，依据导数的零点把定义区间分开，列出表格，再分析各区间导数的符号，进而确定单调区间、极值最值，清晰直观不易出错。【例4】(2022全国)在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量求：（）点

9、M的轨迹方程；（）的最小值。解:椭圆方程可写为:y2a2+x2b2=1式中ab0,且a2b2=33a=32得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为:x2+y24=1(x0,y0)y=21x2(0x1)y=2x1x2设P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y0=21x02,y|x=x0=4x0y0,得切线AB的方程为:y=4x0y0(xx0)+y0设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得x=1x0,y=4y0由OM=OA+OB得M的坐标为(x,y),由x0,y0满意C的方程,得点M的轨迹方程为:1x2+4y2=1(x1,y2)()|OM|2=x2+y2,y2=411x2=4+4x21,|O

10、M|2=x21+4x21+54+5=9且当x21=4x21,即x=31时,上式取等号故|OM|的最小值为3【研讨观赏】(2022湖北)设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(xR)的一个极值点（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间；（2）设0，=（）若存在使得|1成立，求的取值范围解：（1）由f(3)=0得所以令f(x)=0得由于x=3是f(x)的极值点，故x1x2，即a-4当时，故f(x)在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数当a4时，x1x2，故f(x)在(,a1上为减函数，在a1,3上为增函数，在3,+)上为减函数（2）当a0时，a10，故f(x)在0

11、,3上为增函数，在3,4上为减函数，在3,+)上为减函数因此f(x)在0,4上的值域为而在0,4上为增函数，所以值域为留意到，故由假设知解得故的取值范围是考查学问：函数、不等式和导数的应用学问，考查综合运用数学学问解决问题的实力五提炼总结以为师1利用导数求解不等式问题的核心是利用导数判定函数的单调性，这就转化为一般的函数问题；2利用导数证明不等式有两种方法：3导数是探讨函数问题的工具，留意它在其它数学问题中的综合与应用。 同步练习115导数的综合应用【选择题】1某物体作s=2（1t）2的直线运动，则t=08s时的瞬时速度为()A4B4C48D082已知函数f（x）=x44x3+10x2，则方程

12、f（x）=0在区间1，2上的根有A3个B2个C1个D0个3若f(x)是在（L，L）内的可导的偶函数，且不恒为0，则（）（A）必定是（L，L）内的偶函数（B）必定是（L，L）内的奇函数（C）必定是（L，L）内的非奇非偶函数（D）可能是（L，L）内的奇函数，可能是偶函4已知的值是（）AB0C8D不存在 【填空题】5曲线y=上的点到直线2xy+3=0的最短距离为6设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为_简答提示：14DDBC;2（x）=4x（x23x+5）在1，2上，（x）0，f（x）在1，2上单调递增f（x）f（1）=7f（x）=0在1，2上无根答案：D3由f(x)=f

13、(x)，求导得4，5;6设底面边长为x，则高为h=，S表=3x+2x2=+x2S=+x令S=0，得x=答案：【解答题】7已知xR,求证：exx+1证明:设f（x）=exx1,则f（x）=ex1当x=0时，f（x）=0,f（x）=0当x0时，f（x）0,f（x）在（0,+）上是增函数f（x）f（0）=0当x0时，f（x）0,f（x）在（,0）上是减函数，f（x）f（0）=0对xR都有f（x）0exx+18（2022江西）已知函数在与时都取得极值（1）求、的值及函数f(x)的单调区间;（2）若对x-1,2,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围解:f/(x)=3x2x2=(3x2)(x-1),函

14、数f(x)的单调区间如下表：f/(x) f(x)极大值微小值 所以函数f(x)的递增区间为与;递减区间为9（2022重庆）已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex，其中b,cR为常数。（）若b24(c-1)，探讨函数f(x)的单调性；（）若，且，试证：。解（I）求导得f/(x)=x2+(b+2)x+b+eexb24(c-1)故方程f/(x)=0即x2+(b+2)x+b+e=0有两个实根令f/(x)0,解得xx1,或xx2又令f/(x)0,解得x1xx2故当x(,x1)时，f(x)是增函数，x(x2,+)时，f(x)也是函数，当x(x1,x2)时，f(x)是减函数。（II）易知由已知条件得解得1

15、0(2022浙江)已知函数f(x)=x+x，数列x(x0)的第一项x1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f(x)）两点的直线平行（如图）求证：当n时，()x（）证明：（I）因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以（II）因为函数当时单调递增，而，所以，即因此又因为令则因为所以因此故 【探究题】已知函数f(x)=f(x)的导函数是对随意两个不相等的正数，证明：当时， 证法一：由，得下面证明对随意两个不相等的正数,有恒成马上证成立设，则令得，列表如下： 微小值 对随意两个不相等的正数，恒有证法二：由，得是两个不相等的正数设，则，列表： 微小值

16、 即即对随意两个不相等的正数，恒有 高三数学导数的概念与运算教案17 11.3导数概念与运算一、明确复习目标1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.驾驭函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.驾驭两个函数和、差、积、商的求导法则;5.了解复合函数的求导法则.会求某些简洁函数的导数.二建构学问网络1导数的概念：设函数y=f(x)在x=x0处旁边有定义，假如x0时，y与x的比（也叫函数的平均改变率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y=f(x)在x0处的导数，记作；2导数的几何意义：函数y=f(

17、x)在x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x0，y0）处的切线的斜率，即斜率为f(x0).过点P的切线方程为：y-y0=f(x0)(x-x0).3.导函数、可导：假如函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，即对于每一个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f(x0)，从而构成了一个新的函数f(x0),称这个函数f(x0)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数。此时称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导.4可导与连续的关系：假如函数y=f(x)在点x0处可导函数y=f(x)在点x0处连续.5.依定义求导数的方法：（1）求函数的变更量（2）求平均改变率（3）取

18、极限，得导数6几种常见函数的导数：(C为常数)；()；。7导数的四则运算法则：；8复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数ux=(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=f(u)，则复合函数y=f(x)在点x处也有导数，且或=f(u)(x).9.求导数的方法:(1)求导公式;(2)导数的四则运算法则;(3)复合函数的求导公式;(4)导数定义. 三、双基题目练练手1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+x,2+y）,则为（）A.x+2B.x2C.x+2D.2+x2.设f（x）=ax3+3x2+2,若f（1）=4,则a的值等于（）A.B.C.D.3(2022

19、湖南)设f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2022(x)（）AsinxBsinxCcosxDcosx4.(2022湖南)设函数,集合,若,则实数的取值范围是()ABCD5.(2022全国)设函数若是奇函数，则_6设函数若该函数在实数集R上可导，则该函数的最小值是_ 7.(2022北京)过原点作曲线的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为.8对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是 简答:14.CDCC；5.6；6.答案:14.依题意作图易得函数的最小值是f(12)14 7.（1，e）e；8.2n+

20、1-2.四、经典例题做一做【例1】求下列函数的导数：（1）y=（2）y=ln（x）;（）y=;解:（1）y=（2）y=（x）=（1）=（）y=提炼方法：题（1）是导数的四则运算法则；題（2）（3）是复合函数的求导方法.都是导数问题的基础.【例2】（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度分析：依据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数解：（1），即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1（2）解题点评:切线是导数的“几何形象

21、”,是函数单调性的“几何”说明,要娴熟驾驭求切线方程的方法.【例3】若f（x）在R上可导，（1）求f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数的关系；（2）证明：若f（x）为偶函数，则f（x）为奇函数.分析:（1）需求f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数；（2）求f（x），然后推断其奇偶性.（1）解:设f（x）=g（x）,则g（a）=f（a）f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数互为相反数.（2）证明:f（x）=f（x）f（x）为奇函数.解题点注:用导数的定义求导数时，要留意y中自变量的改变量应与x一样.【例4】（2022浙江）已知函数x3+x2，数列xn（xn

22、0）的第一项x11，以后各项按如下方式取定：曲线y在处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn）两点的直线平行（如图）。求证：当n时：（I）；（II） 证明：（I）曲线在处的切线斜率过和两点的直线斜率是.（II）函数当时单调递增，而，即因此又令则因此故考查学问：函数的导数、数列、不等式等基础学问，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理实力。五提炼总结以为师1了解导数的概念，初步会用定义式解决一些问题；2会用定义式求导数；3了解导数的几何意义；会求切线方程；4驾驭常见函数的导数公式，并会正确运用；5驾驭导数的四则运算法则及复合函数的求导法则。 同步练习11.3导数概念与运算【选择题】1.设函数f（x

23、）在x=x0处可导,则（）A与x0,h都有关B仅与x0有关而与h无关C仅与h有关而与x0无关D与x0、h均无关2.已知函数f（x）在x=1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为（）Af（x）=（x1）2+3（x1）Bf（x）=2（x1）Cf（x）=2（x1）2Df（x）=x13(2022湖北)在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A3B2C1D0 4.(2022安徽)若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）ABCD【填空题】5.一点沿直线运动，假如由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是_ 6过点（0，4）与曲线yx3x2相切的直线方程是7.设f（x）在

24、x=1处连续，且f（1）=0,=2,则f（1）=_8.曲线y=2x2与y=x32在交点处的切线夹角是_（以弧度数作答） 简答.提示：14.BADA；5.1，2，4秒末；6y4x4；7.f（1）=0,=2,f（1）=2 8.由消y得：（x2）（x2+4x+8）=0,x=2y=（2x2）=x,y|x=2=2又y=（2）=x2,当x=2时,y=3两曲线在交点处的切线斜率分别为2、3,|=1夹角为【解答题】9下列函数的导数f（x）=ex（cosx+sinx）分析：利用导数的四则运算求导数法一：法二：=+f/(x)=ex（cosx+sinx）+ex（sinx+cosx）=2exsinx,10假如曲线的某

25、一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程解：切线与直线平行，斜率为4又切线在点的斜率为或切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为或即或11(2022福建)已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为（）求函数y=f(x)的解析式；（）求函数y=f(x)的单调区间解：（）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在M(-1,f(-1)处的切线方程是，知故所求的解析式是（）解得当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数考查学问：函数的单调性、导数的应用等学问，考查运用数学学问分析问题和解决问题的实力 12.证明：过抛物线y=a（xx1）（xx2）（a0，x1x

26、2）上两点A（x1，0）、B（x2，0）的切线，与x轴所成的锐角相等.解：y=2axa（x1+x2），y|=a（x1x2），即kA=a（x1x2），y|=a（x2x1），即kB=a（x2x1）.设两条切线与x轴所成的锐角为、，则tan=|kA|=|a（x1x2）|，tan=|kB|=|a（x2x1）|，故tan=tan.又、是锐角，则=. 高三数学下册导数学问点 高三数学下册导数学问点 一、综述 导数是微积分的初步学问，是探讨函数，解决实际问题的有力工具。在中学阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面： 1.导数的常规问题： (1)刻画函数(比初等方法精确微小);(2)同几何中切线联系(导数方法

27、可用于探讨平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。 2.关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项探讨，导数法求最值要比初等方法快捷简便。 3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合实力的一个方向，应引起留意。 二、学问整合 1.导数概念的理解。 2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值。 复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。 练习题： 1已知某函数的导数为y12(x1)，则这个函数

28、可能是() Ayln1x Byln11x Cyln(1x)Dyln11x 答案：A 解析：对选项求导 (ln1x)11x(1x) 11x12(1x)12(1) 12(x1).故选A. 2设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为() A4 B14 C2 D12 答案：A 解析：f(x)g(x)2x. yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1， g(1)2，f(1)g(1)21224， yf(x)在点(1，f(1)处切线斜率为4. 3曲线yxx2在点(1，1)处的切线方程为() Ayx2By3x2 Cy2x3Dy2x1 答案：D 解析：y(xx2)2(x2)2， ky|x12. l：y12(x1)，则y2x1.故选D. 第16页 共16页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页