高中数学必修四2.2.2向量减法运算及其几何意义导学案.docx

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1、高中数学必修四2.2.2向量减法运算及其几何意义导学案中学数学必修四2.2.3向量数乘运算及其几何意义导学案 2.2.3向量数乘运算及其几何意义编审：周彦魏国庆【学习目标】1驾驭向量数乘的运算，并理解其几何意义；2理解两个向量共线的含义，并能证明简洁的平行及共线问题；3.了解向量的线性运算性质及其几何意义；【新知自学】学问回顾：已知非零向量，求作和 新知梳理：1实数与向量的积的定义：一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向；当时，的方向与的方向；当时，2实数与向量的积的运算律：（1）（结合律）；（2）（第一安排律）；（3）（其次安排律）

2、对点练习1、下面给出四个命题：对于实数和向量,恒有()=；对于实数,和向量，恒有()=mn；若=(R),则有=；若=(,R,0),则有=.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.42、将化简成最简形式为()A.B.C.D.3向量共线定理：定理：假如有一个实数，使（），那么向量与是共线向量；反之，假如向量与（）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得对点练习3、与非零向量同向的单位向量是；与非零向量反向的单位向量是；与非零向量共线的单位向量是.【合作探究】典型精析例1计算：（1） 变式练习：1化简： 例2已知向量和向量，求作向量和 例3推断并证明：向量，是否共线？ 变式练习：2 例4已知两个

3、非零向量和不共线，.求证：三点共线. 变式练习：3设两个非零向量与不共线，若，.求证：、三点共线. 【课堂小结】 【当堂达标】1.若32()=0，则=()A.2aB.-2aC.25aD.-25a 2.设,是两个不共线的向量，下列状况下，向量，共线的有（），；，；，A.B.C.D.3.已知向量,且AB=+2,BC=5+6,CD=72,则肯定共线的三点是()A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D 4.已知向量与反向，且，则的值等于().A.B.C.D. 【课时作业】1.设，下面叙述不正确的是（）A.B.C.D.与的方向相同（）2.已知向量与不共线，且，则点三点共线应满意（）A.B

4、.C.D. *3.已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA+OB+OC=0，那么()A.AO=ODB.AO=2ODC.AO=3ODD.2AO=OD 4.在ABC中，,三边BC,CA,AB的中点依次是D,E,F，则AD+BE+CF=. 5.若a=m+2n,b=3m4n，且m,n共线，则a与b的关系是. 6.若,为平面上随意一点，则=(用OA,OB表示). 7.已知x，y是实数，向量,不共线，若，则_，_. *8.设,是两个不共线的向量，已知,.若三点A,B,D共线，求的值. *9.在四边形ABCD中，且，不共线，试推断四边形ABCD的形态.【延长探究】在ABC中，D为BC的一个三

5、等分点，求证:AD=23AB+13AC 向量的减法运算及其几何意义 向量的减法运算及其几何意义教学目标：1.了解相反向量的概念；2.驾驭向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算驾驭向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运

6、算定律：例：在四边形中，.解：二、提出课题：向量的减法1用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作a（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0假如a、b互为相反向量，则a=b，b=a，a+b=0（3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作ab3求作差向量：已知向量a、b，求作向量(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a

7、作法：在平面内取一点O，作=a，=b则=ab即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.留意：1表示ab.强调：差向量“箭头”指向被减数2用“相反向量”定义法作差向量，ab=a+(b)明显，此法作图较繁，但最终作图可统一. 2探究：）假如从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是ba. ）若ab，如何作出ab？三、例题：例一、（P例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.解：在平面上取一点O，作=a，=b，=c，=d，作，则=ab，=cd 例二、平行四边形中，a，b，用a、b表示向量、.解：由平行四边形法则得：=a+b，=ab变式一：当a，b满意什么条件时，a+b与

8、ab垂直？（|a|=|b|）变式二：当a，b满意什么条件时，|a+b|=|ab|？（a，b相互垂直）变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不行能，对角线方向不同）练习：98四、小结：向量减法的定义、作图法|五、作业：P103第4、题六、板书设计（略）七、备用习题：1.在ABC中，=a，=b，则等于()?A.a+b?B.-a+(-b)?C.a-b?D.b-a?2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设=a，=b，=c，=d，则A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0?C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0.如图，在四边形ABCD中，依据图示填空：?a+b=，b+c=，c-d=，a+b+

9、c-d=.?、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试依据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d. 向量的加法运算及其几何意义 向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、驾驭向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培育数形结合解决问题的实力；3、通过将向量运算与熟识的数的运算进行类比，使学生驾驭向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.学法：数能进行

10、运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形驾驭向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和驾驭向量加法运算的交换律和结合律.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、设置情景：1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们探讨的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不变更它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、情景设置：（1）某人从A到B，再从B按

11、原方向到C，则两次的位移和：（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和：（3）某车从A到B，再从B变更方向到C，则两次的位移和：（4）船速为，水速为，则两速度和：二、探究探讨：、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、.在平面内任取一点，作a，则向量叫做a与的和，记作a，即a，规定：a+0-=0+a 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|+|；（3）当与同向时，则+、同向，且|+|=|+|，当与反向时，若|，则+的方向与相同，且|+|=|-|；若|，则+的方向与相同，

12、且|+b|=|-|.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加例一、已知向量、，求作向量+作法：在平面内取一点，作，则. 加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中+的结果与+是否相同？验证结果相同从而得到：）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）向量加法的交换律：+=+向量加法的结合律：(+)+=+(+)证：如图：使，则(+)+=，+(+)=(+)+=+(+)从而，多个向量的加法运算可以根据随意的次序、随意的组合来进行.三、应用举例：例二（P9495）略练习：P95四、小结1、向量加法的几何意义；、交换律和结合律；、留意：|+|+|

13、，当且仅当方向相同时取等号.五、课后作业：P103第、题六、板书设计（略）七、备用习题1、一艘船从A点动身以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度.2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.3、一艘船从A点动身以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|

14、=10N求F1和F2的大小.、用向量加法证明：两条对角线相互平分的四边形是平行四边形 中学数学必修四2.2向量的线性运算小结导学案 2.2向量的线性运算小结【学习目标】1驾驭向量加法的平行四边形法则及加减法的三角形法则2理解学会共线向量定理在平面几何图形中的应用【新知自学】学问梳理：1向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是随意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的

15、向量2向量的加法与减法加法：（1）定义：求两个向量和的运算（2）法则(或几何意义)：三角形法则平行四边形法则 （3）运算律：交换律：abba.结合律：(ab)ca(bc)减法：（1）定义：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a(b)ab （2）法则(或几何意义)：三角形法则 （3）运算律：aba(b)3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0.(2)运算律：设，是两个实数，则(a)()a；()aaa；(ab)ab.4共线向量定理

16、向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使ba.感悟：1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最终一个向量终点的向量2.在ABC中，若D为BC的中点，则AD12(ABAC)3.向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形对点练习：1若向量a与b不相等，则a与b肯定()A有不相等的模B不共线C不行能都是零向量D不行能都是单位向量2若mn，nk，则向量m与向量k()A共线B不共线C共线且同向D不肯定共线3若O，E，F是不共线的随意三点，则以下各式中成立的是()AEFOFOEBEFOFOECEFOFOEDEFOFOE4D是ABC的边AB上

17、的中点，则向量CD等于()ABC12BABBC12BAC.BC12BAD.BC12BA5设a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ab共线，则_. 【合作探究】典例精析：专题一平面对量的有关概念例1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_ 变式练习1：给出下列四个命题：a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；随意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；有相同起点的两个非零向量不平行其中全

18、部正确命题的序号是_ 专题二平面对量的线性运算例2如图，在梯形ABCD中，|AB|2|DC|，M，N分别是DC，AB的中点若ABe1，ADe2，用e1，e2表示DC，BC，MN. 变式练习2：如图，在ABC中，AD23AB，DEBC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N.设ABa，ACb，用a，b表示向量AE，BC，DE，DN，AM，AN. 专题三共线向量定理的应用例3设两个非零向量a与b不共线(1)若ABab，BC2a8b，CD3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线 变式练习3：若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，t

19、b，13(ab)三向量的终点在同一条直线上？ 【课堂小结】 【当堂达标】1已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OAOBOC0，那么()AAOODBAO2ODCAO3ODD2AOOD2如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF()A12AB12ADB12AB12ADC12AB12ADD12AB12AD3已知OAa，OBb，OCc，ODd，且四边形ABCD为平行四边形，则()Aabcd0Babcd0Cabcd0Dabcd04已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA2OC3OB，则|BC|AB|的值为()A12B13C14D165设a，b是两个不共线向量，

20、AB2apb，BCab，CDa2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为_6.如图，在矩形ABCD中，|AB|1，|AD|2，设ABa，BCb，BDc，则|abc|_.【课时作业】1设a，b是两个非零向量()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|2已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满意OP1312OA12OB2OC，则点P肯定为三角形ABC的()AAB边中线的中点BAB边中线的三等分点(非重心)C重心DAB边的中点3若点M是ABC所在平面内的一点，且满意5AMAB3A

21、C，则ABM与ABC的面积比为()A15B25C35D454若点O是ABC所在平面内的一点，且满意|OBOC|OBOC2OA|，则ABC的形态为_5(1)设两个非零向量e1，e2不共线，假如AB2e13e2，BC6e123e2，CD4e18e2，求证：A，B，D三点共线(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB2e1ke2，CBe13e2，CD2e1e2，若A，B，D三点共线，求k的值 【延长探究】6.在OAB中，OAa，OBb，OD是AB边上的高，若ADAB，则实数()Aaab|ab|Baba|ab|Caab|ab|2Daba|ab|27*如图，在平行四边形OADB中，设OAa，OBb，BM13BC，CN13CD.试用a，b表示OM，ON及MN. 第12页 共12页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页