高二数学教案：《不等式的解法举例》教学设计.docx

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1、高二数学教案：不等式的解法举例教学设计不等式的解法举例不等式的解法举例教学目标(1)能娴熟运用不等式的基本性质来解不等式;(2)在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上,把握分式不等式、高次不等式的解法;(3)能将较困难的肯定值不等式转化为简洁的肯定值不等式、一元二次不等式(组)来解;(4)通过解不等式,要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类探讨等数学思想;(5)通过解各种类型的不等式,培育学生的视察、比较及概括实力,培育学生的勇于探究、敢于创新的精神,培育学生的学习爱好.教学建议一、学问结构本节内容是在高一探讨了一元一次不等式,一元二次不等式,简洁的肯定值不等式及分

2、式不等式的解法基础上,进一步深化探讨较为困难的肯定值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则,将这些不等式等价转化为一次不等式(组)或二次不等式的求解,详细地说就是含有肯定值符号的不等式去掉肯定值符号,无理不等式有理化,分式不等式整式化,高次不等式一次化.其基本模式为:;二、重点、难点分析本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处,但其二者的区分更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以解除的,由于不等式的解集一般都是无限集,假如产生了增根却是无法检验加以解除的,所以解不等式的过程肯定要保证同解,所涉及的变换肯定是等价变换.在学

3、生学习过程中另一个难点是不等式的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式,当为一元一次式时,可干脆解这个不等式组,但当为一元二次式时,就必需将其改写成两个一元二次不等式的形式,分别求解在求交集.三、教学建议(1)在学习新课之前肯定要复习旧学问,包括一元二次不等式的解法,简洁的肯定值不等式的解法,简洁的分式不等式的解法,不等式的性质,实数运算的符号法则等.非凡是对于基础比较差的学生,这一环节不行忽视.(2)在探讨不等式的解法之前,应先复习解不等式组的基本思路以及不等式的解法,然后提出如何求不等式的解集,启发学生运用换元思想将替换成,从而转化一元二次不等式组的求解.(3)在教学中肯定让学生充分

4、探讨,明确不等式组“”中的两个不等式的解集间的交并关系,“”两个不等式的解集间的交并关系.(4)建议表述解不等式的过程中运用符号“”.(5)建议在探讨分式不等式的解法之前,先探讨简洁高次不等式(一端为0,另一端是若干个一次因式乘积形式的整式)的解法.可由学生探讨不同解法,师生共同比较诸法的优劣,最终落实到区间法.(6)分式不等式与高次不等式的等价缘由,可以认为是不等式两端同乘以正数,不等号不变更方向所得;也可以认为是与符号相同所得.(7)分式不等式求解时不能盲目地去分母,但当分母恒为正数(如分母是)时,应将其去掉,从而使不等式化简.(8)建议补充简洁的无理不等式的解法,其中为一次式.教学中先由

5、学生探讨探究得到求解的基本思路及方法,再由老师概括总结,得出结论后肯定要强调不等号的方向对的影响,即保证了,而却不能保证这一点,所以要分和两种状况进行探讨.(9)求解不等式不仅要重视思路的理解,更要重视表述的规范,作为老师应给学生做出示范,学生通过模拟把握书写格式,这样才有可能保证运算的合理性与结果的精确性.教学设计示例分式不等式的解法教学目标1.把握分式不等式向整式不等式的转化;2.进一步熟识并把握数轴标根法;3.把握分式不等式基本解法.教学重点难点重点是分式不等式解法难点是分式不等式向整式不等式的转化教学方法启发式和引导式教具预备三角板、幻灯片教学过程1.复习回顾:前面,我们学习了含有肯定

6、值的不等式的基本解法,还了解了数轴标根法的解题思路,本节课,我们将接着探讨分式不等式的解法.2.讲授新课:例3解不等式0.分析:这是一个分式不等式,其左边是两个关于x的二次三项式的商,依据商的符号法则,它可以化成两个不等式组:因此,原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集,此种解法从课本可以看到.另解:依据积的符号法则,可以将原不等式等价变形为(x2-3x+2)(x2-2x-3)0即(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)0令(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)=0可得零点x=-1或1,或2或3,将数轴分成五部分(如图).由数轴标根法可得所求不等式解集为:x|-1x1或2x3说明:(

7、1)让学生注意数轴标根法适用条件;(2)让学生思索0的等价变形.例4解不等式1分析:首先转化成右端为0的分式不等式,然后再等价变形为整式不等式求解.解:原不等式等价变形为:-10通分整理得:0等价变形为:(x2-2x+3)(x2-3x+2)0即:(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)0由数轴标根法可得所求不等式解集为:x|x-1或1x2或x3说明:此题要求学生把握较为一般的分式不等式的转化与求解.3.课堂练习:课本P19练习1.补充:(1)0;(2)x(x-3)(x+1)(x-2)0.课堂小结通过本节学习,要求大家在进一步把握数轴标根法的基础上,把握分式不等式的基本解法,即转化为整式不等式求

8、解.课后作业习题6.43,4.板书设计教学后记探究活动试一试用所学学问解下列不等式:(1);(2);(3).答案:(1)原式视察这个不等式组,由于要求,同时要求,所以式可以不解.原式如下图(2)分析当时,不等式两边平方,当时,在有意义的前提下恒成立.原式()或()由于同时满意(2)、(3)式,所以(1)式免解.()式()式.综合()、(),得.(3)分析当时,不等式两边平方,当时,原式解集为.原式视察不等式组,设有可以免解的不等式.高二数学教案：不等式的性质教学设计（二） 高二数学教案：不等式的性质教学设计（二） 教学目标 1理解同向不等式，异向不等式概念； 2驾驭并会证明定理1，2，3； 3

9、理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据； 4初步理解证明不等式的逻辑推理方法. 教学重点：定理1，2，3的证明的证明思路和推导过程 教学难点：理解证明不等式的逻辑推理方法 教学方法：引导式 教学过程 一、复习回顾 上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要依据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此，我们来作一下回顾： 第三课时 教学目标 1娴熟驾驭定理1，2，3的应用； 2驾驭并会证明定理4及其推论1，2； 3驾驭反证法证明定理 教学重点：定理4，5的证明. 教学难点：定理4的应用. 教学方法：引导式 教学过程： 一、复习回顾 上一节

10、课，我们一起学习了不等式的三特性质，即定理1，2，3，并初步相识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容. （学生回答） 好，我们这一节课将接着推论定理4、5及其推论，并进一步熟识不等式性质的应用. 二、讲授新课 不等式的解法 6.5不等式的解法（二） 学问梳理1.|x|axa或xa（a0）；|x|aaxa（a0）.2.形如|xa|+|xb|c的不等式的求解通常采纳“零点分段探讨法”.3.含参不等式的求解，通常对参数分类探讨.4.肯定值不等式的性质：|a|b|ab|a|+|b|.思索探讨1.在|x|axa或xa（a0）、|x|aaxa（a0）中的a0改为aR还成立吗

11、?2.肯定值不等式的性质中等号成立的条件是什么?点击双基1.设a、b是满意ab0的实数，那么A.|a+b|ab|B.|a+b|ab|C.|ab|a|b|D.|ab|a|+|b|解析：用赋值法.令a=1，b=1，代入检验.答案：B2.不等式|2x21|1的解集为A.x|1x1B.x|2x2C.x|0x2D.x|2x0解析：由|2x21|1得12x211.0x21，即1x1.答案：A3.不等式|x+log3x|x|+|log3x|的解集为A.（0，1）B.（1，+）C.（0，+）D.（，+）解析：x0，x与log3x异号，log3x0.0x1.答案：A4.已知不等式a对x取一切负数恒成立，则a的取

12、值范围是_.解析：要使a对x取一切负数恒成立，令t=|x|0，则a.而=2，a2.答案：a25.已知不等式|2xt|+t10的解集为（，），则t=_.解析：|2xt|1t，t12xt1t，2t12x1，tx.t=0.答案：0典例剖析【例1】解不等式|2x+1|+|x2|4.剖析：解带肯定值的不等式，需先去肯定值，多个肯定值的不等式必需利用零点分段法去肯定值求解.令2x+1=0，x2=0，得两个零点x1=，x2=2.解：当x时，原不等式可化为2x1+2x4，x1.当x2时，原不等式可化为2x+1+2x4，x1.又x2，1x2.当x2时，原不等式可化为2x+1+x24，x.又x2，x2.综上，得原

13、不等式的解集为x|x1或1x.深化拓展若此题再多一个含肯定值式子.如：|2x+1|+|x2|+|x1|4，你又如何去解？分析：令2x+1=0，x2=0，x1=0，得x1=，x2=1，x3=2.解：当x时，原不等式化为2x1+2x+1x4，x.当x1时，原不等式可化为2x+1+2x+1x4，44（冲突）.当1x2时，原不等式可化为2x+1+2x+x14，x1.又1x2，1x2.当x2时，原不等式可化为2x+1+x2+x14，x.又x2，x2.综上所述，原不等式的解集为x|x或x1.【例2】解不等式x29x3.剖析：需先去肯定值，可按定义去肯定值，也可利用|x|aaxa去肯定值.解法一：原不等式（

14、1）或（2）不等式（1）x3或3x4；不等式（2）2x3.原不等式的解集是x2x4或x3.解法二：原不等式等价于或x2x=3或2x4.原不等式的解集是x2x4或x3.【例3】（理）已知函数f（x）=x|xa|（aR）.（1）推断f（x）的奇偶性；（2）解关于x的不等式：f（x）2a2.解：（1）当a=0时，f（x）=x|x|=x|x|=f（x），f（x）是奇函数.当a0时，f（a）=0且f（a）=2a|a|.故f（a）f（a）且f（a）f（a）.f（x）是非奇非偶函数.（2）由题设知x|xa|2a2，原不等式等价于或由得x.由得当a=0时，x0.当a0时，x2a.当a0时，即xa.综上a0时，

15、f（x）2a2的解集为x|x2a；a0时，f（x）2a2的解集为x|xa.（文）设函数f（x）=ax+2，不等式|f（x）|6的解集为（1，2），试求不等式1的解集.解：|ax+2|6，（ax+2）236，即a2x2+4ax320.由题设可得解得a=4.f（x）=4x+2.由1，即1可得0.解得x或x.原不等式的解集为x|x或x.闯关训练夯实基础1.已知集合A=x|a1xa+2，B=x|3x5，则能使AB成立的实数a的取值范围是A.a|3a4B.a|3a4C.a|3a4D.解析：由题意知得3a4.答案：B2.不等式|x2+2x|3的解集为_.解析：3x2+2x3，即3x1.答案：3x13.不等

16、式|x+2|x|的解集是_.解法一：|x+2|x|（x+2）2x24x+40x1.解法二：在同始终角坐标系下作出f（x）=|x+2|与g（x）=|x|的图象，依据图象可得x1.解法三：依据肯定值的几何意义，不等式|x+2|x|表示数轴上x到2的距离不小于到0的距离，x1.答案：x|x1评述：本题的三种解法均为解肯定值不等式的基本方法，必需驾驭.4.当0a1时，解关于x的不等式aax2.解：由0a1，原不等式可化为x2.这个不等式的解集是下面不等式组及的解集的并集.或解不等式组得解集为x|x2，解不等式组得解集为x|2x5，所以原不等式的解集为x|x5.5.关于x的方程3x26（m1）x+m2+

17、1=0的两实根为x1、x2，若|x1|+|x2|=2，求m的值.解：x1、x2为方程两实根，=36（m1）212（m2+1）0.m或m.又x1x2=0，x1、x2同号.|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m1|.于是有2|m1|=2，m=0或2.m=0.培育实力6.解不等式.解：（1）当x220且x0，即当x且x0时，原不等式明显成立（2）当x220时，原不等式与不等式组等价x22x，即x2x20.x2.不等式组的解为x2，即x2或x2原不等式的解集为（，2（，0）（0，）2，）7.已知函数f（x）=的定义域恰为不等式log2（x+3）+logx3的解集，且f（x）在定义域内单调递减，求实

18、数a的取值范围.解：由log2（x+3）+logx3得x，即f（x）的定义域为，+）.f（x）在定义域，+）内单调递减，当x2x1时，f（x1）f（x2）0恒成立，即有（ax1+2）（ax2+2）0a（x1x2）（）0（x1x2）（a+）0恒成立.x1x2，（x1x2）（a+）0a+0.x1x2，要使a恒成立，则a的取值范围是a.8.有点难度哟！已知f（x）=x2x+c定义在区间0，1上，x1、x20，1，且x1x2，求证：（1）f（0）=f（1）；（2）|f（x2）f（x1）|x1x2|；（3）|f（x1）f（x2）|；（4）|f（x1）f（x2）|.证明：（1）f（0）=c，f（1）=c，

19、f（0）=f（1）.（2）|f（x2）f（x1）|=|x2x1|x2+x11|.0x11，0x21，0x1+x22（x1x2）.1x1+x211.|f（x2）f（x1）|x2x1|.（3）不妨设x2x1，由（2）知|f（x2）f（x1）|x2x1.而由f（0）=f（1），从而|f（x2）f（x1）|=|f（x2）f（1）+f（0）f（x1）|f（x2）f（1）|+|f（0）f（x1）|1x2|+|x1|1x2+x1.+得2|f（x2）f（x1）|1，即|f（x2）f（x1）|.（4）|f（x2）f（x1）|fmaxfmin=f（0）f（）=.探究创新9.（1）已知|a|1，|b|1，求证：|1

20、；（2）求实数的取值范围，使不等式|1对满意|a|1，|b|1的一切实数a、b恒成立；（3）已知|a|1，若|1，求b的取值范围.（1）证明：|1ab|2|ab|2=1+a2b2a2b2=（a21）（b21）.|a|1，|b|1，a210，b210.|1ab|2|ab|20.|1ab|ab|，=1.（2）解：|1|1ab|2|ab|2=（a221）（b21）0.b21，a2210对于随意满意|a|1的a恒成立.当a=0时，a2210成立；当a0时，要使2对于随意满意|a|1的a恒成立，而1，|1.故11.（3）|1（）21（a+b）2（1+ab）2a2+b21a2b20（a21）（b21）0.

21、|a|1，a21.1b20，即1b1.思悟小结1.解含有肯定值的不等式的指导思想是去掉肯定值.常用的方法是：（1）由定义分段探讨；（2）利用肯定值不等式的性质；（3）平方.2.解含参数的不等式，假如转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必需分类探讨.留意：（1）要考虑参数的总取值范围.（2）用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏.老师下载中心教学点睛1.肯定值是历年高考的重点，而肯定值不等式更是常考常新.在教学中要从肯定值的定义和几何意义来分析，肯定值的特点是带有肯定值符号，如何去掉肯定值符号，肯定要教给学生方法，切不行以题论题.2.无理不等式在新课程书本并未出现，但可以利

22、用不等式的性质把其等价转化为代数不等式.3.指数、对数不等式能利用单调性求解.拓展题例【例1】设x1、x2、y1、y2是实数，且满意x12+x221，证明不等式（x1y1+x2y21）2（x12+x221）（y12+y221）.分析：要证原不等式成立，也就是证（x1y1+x2y21）2（x12+x221）（y12+y221）0.证明：（1）当x12+x22=1时，原不等式成立.（2）当x12+x221时，联想根的判别式，可构造函数f（x）=（x12+x221）x2（x1y1+x2y21）x+（y12+y221），其根的判别式=4（x1y1+x2y21）24（x12+x221）（y12+y221

23、）.由题意x12+x221，函数f（x）的图象开口向下.又f（1）=x12+x222x1y12x2y2+y12+y22=（x1y1）2+（x2y2）20，因此抛物线与x轴必有公共点.0.4（x1y1+x2y21）24（x12+x221）（y12+y221）0，即（x1y1+x2y21）2（x12+x221）（y12+y221）. 高二数学教案：不等式的证明教学设计（一） 高二数学教案：不等式的证明教学设计（一） 教学目标 （1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义； （2）驾驭用比较法、综合法和分析法来证简洁的不等式； （3）能敏捷依据题目选择适当地证明方法来证不等式； （4

24、）能用不等式证明的方法解决一些实际问题，培育学生分析问题、解决问题的实力； （6）通过不等式证明，培育学生逻辑推理论证的实力和抽象思维实力； （7）通过组织学生对不等式证明方法的意义和应用的参加，培育学生勤于思索、擅长思索的良好学习习惯 教学建议 （一）教材分析 1学问结构 2重点、难点分析 重点：不等式证明的主要方法的意义和应用； 难点：理解分析法与综合法在推理方向上是相反的； 综合性问题选择适当的证明方法 （1）不等式证明的意义 不等式的证明是要证明对于满意条件的全部数都成立（或都不成立），而并非是带入详细的数值去验证式子是否成立 （2）比较法证明不等式的分析 在证明不等式的各种方法中，比

25、较法是最基本、最重要的方法 证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径 求差比较法的基本步骤是：“作差变形断号” 其中，作差是依据，变形是手段，推断符号才是目的 变形的目的全在于推断差的符号，而不必考虑差值是多少 变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等总之能够推断出差的符号是正或负即可 作商比较法的基本步骤是：“作商变形推断商式与1的大小关系”，须要留意的是，作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明 （3）综合法证明不等式的分析 利

26、用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推倒出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式动身，通过一系列的推出变换，推倒出求证的不等式 综合法证明不等式的逻辑关系是： 利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换是证明不等式的关键 （4）分析法证明不等式的分析 从求证的不等式动身，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法 有时，我

27、们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立这也是用分析法，留意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的依据 分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式动身，探究使结论成立的充分条件直至已成立的不等式它与综合法是对立统一的两种方法 用分析法证明不等式的逻辑关系是： 分析法是教学中的一个难点，一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出访结论成立的“充分”条件，二是不易正确运用连接有关（分析推理）步骤的关键词如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定成立”等 分析法是证明不等式时一种常用的基本方法当证

28、明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决特殊对于条件简洁而结论困难的题目往往更是行之有效 （5）关于分析法与综合法 分析法与综合法是思维方向相反的两种思索方法 在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题动身，一步一步地探究下去，最终达到题设的已知条件即推理方 综合法则是从数学题的已知条件动身，经过逐步的逻辑推理，最终达到待证结论或需求问题即：已知 结论 分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理事实上是要找寻结论的充分条件 综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理事实上是要找寻已知的必要条件 各有其优缺点： 从寻求解题思路来看

29、：分析法是执果索因，利于思索，方向明确，思路自然，有希望胜利；综合法由因导果，往往枝节横生，不简单达到所要证明的结论 从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清楚 也就是说，分析法利于思索，综合法宜于表达 一般来说，对于较困难的不等式，干脆运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦因此，通常用分析法探究证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法常常是结合在一起运用的 （二）教法建议 选择例题和习题要留意层次性 不等式证明的三种方法主要是通过例题来说明的老师在教学中要留意例题支配要由易到难，由简洁到综合，层层深化，启发学生理解各种证法的意义和逻辑关系老师选

30、择的训练题也要与所讲解的例题的难易程度的层次相当 要坚持精讲精练的原则通过一题多法和多变挖掘各种方法的内在联系，对学问进行拓展、延长，使学生沟通学问，有效地提高解题实力 在教学过程中，应通过细心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，调动学生在课堂活动中主动参加 通过学生参加教学活动，理解不等式证明方法的实质和几种证明方法的意义，通过训练积累阅历，能够总结出比较法的实质是把实数的大小依次通过实数运算变成一个数与0(或1)比较大小；困难的习题能够利用综合法发展条件向结论方向转化，利用分析法能够把结论向条件靠拢，最终达到结合点，从而解决问题 学生素养较好的，老师可在教学中适当增加反证法和用函数单调性来

31、证明不等式的内容，但内容不易过多过难 第一课时 教学目标 1驾驭证明不等式的方法比较法； 2熟识并驾驭比较法证明不等式的意义及基本步骤 教学重点 比较法的意义和基本步骤. 教学难点 常见的变形技巧. 教学方法 启发引导式. 教学过程 （）导入新课 （老师活动）老师提问：依据前一节学过的学问，我们如何用实数运算来比较两个实数 （三）小结 （老师活动）老师小结本节课所学的学问 （学生活动）与老师一道小结，并记录笔记 本节课学习了用比较法证明不等式，用比较法证明不等式的步骤中，作差是依据，变形是手段，推断符号才是目的驾驭求差后对差式变形的常用方法：配方法和通分法并在下节课接着学习对差式变形的常用方法

32、 设计意图：培育学生对所学学问进行概括归纳的实力，巩固所学学问 设计意图，课本作业供学生巩固基础学问；思索题供学有余力的学生完成，培育其敏捷驾驭用比较法证明不等式的实力；探讨性题是为培育学生创新意识 （五）课后点评 1本节课是用比较法证明不等式的第一节课，在导入新课时，老师提出问题，让学生回忆所学学问中，是如何比较两个实数大小的，从而引入用比较法证明不等式这样处理合情合理，顺理成章 2在建立新知过程中，老师引导学生分析探讨证明不等式，使学生在尝摸索索过程中形成用比较法证明不等式的感性相识 3例1，例2两道题主要目的在于让学生归纲、总结，求差后对差式变形、并推断符号的方法，以及求差比较法的步骤在

33、这里如何对差式变形是难点，应着重解决首先让学生明确变形目的，削减变形的盲目性；其次是总结变形时常用方法，有利于难点的突破 4本节课采纳启发引导，讲练结合的授课方式，发挥老师主导作用，体现学生主体地位，学生获得学问必需通过学生自己一系列思维活动完成老师通过启发诱导学生深化思索问题，培育学生思维敏捷、严谨、深刻等良好思维品质 第19页 共19页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页