高一数学应用举例031.docx

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1、高一数学应用举例031高一数学应用举例0341.2解三角形应用举例第四课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法进一步解决有关三角形的问题,驾驭三角形的面积公式的简洁推导和应用2、本节课补充了三角形新的面积公式，奇妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，按部就班地详细运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学学问的生动运用，老师要放手让学生摸索，使学生在详细的论证中敏捷把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行驾驭了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。3、让学生进一步巩固所学的学问，加深对所学定理的理解，提高创新实力；进一步

2、培育学生探讨和发觉实力，让学生在探究中体验愉悦的胜利体验二、教学重点、难点重点：推导三角形的面积公式并解决简洁的相关题目难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简洁的证明题三、教学过程.课题导入创设情境师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今日我们来学习它的另一个表达公式。在ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？生：h=bsinC=csinBh=csinA=asinCh=asinB=bsinaA师：依据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个

3、公式吗？生：同理可得，S=bcsinA,S=acsinB.讲授新课范例讲解例1、在ABC中，依据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）（1）已知a=14cm,c=24cm,B=150;（2）已知B=60,C=45,b=4cm;（3）已知三边的长分别为a=3cm,b=4cm,c=6cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有亲密的关系，我们可以应用解三角形面积的学问，视察已知什么，尚缺什么？求出须要的元素，就可以求出三角形的面积。解：略例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,8

4、8m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？思索：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。解：设a=68m,b=88m,c=127m,依据余弦定理的推论，cosB=0.7532sinB=0.6578应用S=acsinBS681270.65782840.38(m)答：这个区域的面积是2840.38m。变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注意分状况探讨解的个数。答案：a=6,S=9;a=12,S=18例3、在ABC中，求证：（1）（2

5、）+=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，视察式子左右两边的特点，用正弦定理来证明证明：（1）依据正弦定理，可设=k明显k0，所以左边=右边（2）依据余弦定理的推论，右边=2(bc+ca+ab)=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边变式练习2：推断满意sinC=条件的三角形形态提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”（解略）直角三角形.课堂练习课本第18页练习第1、2、3题.课时小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三

6、角形的形态。特殊是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。.课后作业习案作业七高一数学应用举例032 1.2解三角形应用举例其次课时 一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关底部不行到达的物体高度测量的问题2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的探讨、探究习惯。3、进一步培育学生学习数学、应用数学的意识及视察、归纳、类比、概括的实力二、教学重点、难点重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题难点：能视察较困难的图形，从中找到解决问题的关键条件三、教学过程.课题导入提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不行到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行

7、的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今日我们就来共同探讨这方面的问题.讲授新课范例讲解例1、AB是底部B不行到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点视察A的仰角，就可以计算出AE的长。解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD=a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，依据正弦定理可得AC=AB=AE+h=AC+h=+h例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=5

8、0。已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m)师:依据已知条件,大家能设计出解题方案吗？若在ABD中求CD，则关键须要求出哪条边呢？生：需求出BD边。师：那如何求BD边呢？生：可首先求出AB边，再依据BAD=求得。解:在ABC中,BCA=90+,ABC=90-,BAC=-,BAD=.依据正弦定理,=所以AB=在RtABD中,得BD=ABsinBAD=将测量数据代入上式,得BD=177(m)CD=BD-BC177-27.3=150(m)答:山的高度约为150米.思索：有没有别的解法呢？若在ACD中求CD，可先求出AC。思索如何求出AC？ 例3、如图,一辆汽车在一条水平的马路上向

9、正东行驶,到A处时测得马路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD. 思索1：欲求出CD，大家思索在哪个三角形中探讨比较适合呢？（在BCD中）思索2：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,依据条件,易计算出哪条边的长？（BC边）解:在ABC中,A=15,C=25-15=10,依据正弦定理,=,BC=7.4524(km)CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答:山的高度约为1047米.课堂练习：课本第17页练习第1、2、3题.课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画方位图,要懂得从所给

10、的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。.课后作业作业：习案作业五 高一数学教案：函数的应用举例教学设计 高一数学教案：函数的应用举例教学设计 教学目标 1. 能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简洁的实际问题 (1) 能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义 (2) 能依据实际问题的详细背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题 (3) 能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题 2. 通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培育学生分析问题，解决问题

11、的实力和运用数学的意识，也体现了函数学问的应用价值，也渗透了训练的价值 3. 通过对实际问题的探讨解决，渗透了数学建模的思想提高了学生学习数学的爱好，使学生对函数思想等有了进一步的了解 教学建议 教材分析 （1）本小节内容是全章学问的综合应用这一节的出现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学学问应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识所以培育学生分析解决问题的实力和运用数学的意识是本小节的重点，依据实际问题建立数学模型是本小节的难点 （2）在解决实际问题过程中常用到函数的学问有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质在方法上涉及到

12、换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法事业本节的学习，既是对学问的复习，也是对方法和思想的再相识 教法建议 （1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特殊是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要 （2）对于应用问题的处理，其次步应依据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最终是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决此类题目一般都是分为这样三步进行 （3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润

13、最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题在选题时应以以上几方面问题为主 教学设计示例 函数初步应用 教学目标 1.能够运用常见函数的性质及平面几何有关学问解决某些简洁的实际问题 2.通过对实际问题的 探讨，培育学生分析问题，解决问题的实力 3.通过把实际问题向数学问题的转化，渗透数学建模的思想，提高学生用数学的意识，及学习数学的爱好 教学重点，难点 重点是应用问题的阅读分析和解决 难点是依据实际问题建立相应的数学模型 教学方法 师生互动式 教学用具 投影仪 教学过程 一. 提出问题 让学生明确是分段函数的前提条件下，求出定义域为 (板书) 问题解决后可由老师简洁小结一下探讨过程中的主要

14、步骤(1)阅读理解；(2)建立目标函数；(3)按要求解决数学问题 下面我们一起看其次个问题 问题二：某工厂制定了从1999年底起先到2022年底期间的生产总值持续增长的两个三年安排 ，预料生产总值年平均增长率为 ，则其次个三年安排生产总值 与第一个三年安排生 高一数学教案：函数模型的应用举例教学设计 高一数学教案：函数模型的应用举例教学设计 项目 内容 课题 函数模型的应用举例 （共2课时） 修改与创新 教学 目标 1.培育学生由实际问题转化为数学问题的建模实力，即依据实际问题进行信息综合列出函数解析式. 2.会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并依据数学结论解决实际问题. 3

15、.通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系. 教学重、 难点 依据实际问题分析建立数学模型和依据实际问题拟合推断数学模型，并依据数学模型解决实际问题. 教学 打算 教学过程 第1课时 函数模型的应用实例 导入新课 上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们进一步探讨不同函数模型的应用. 提出问题 我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张打算下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活

16、动时间不少于15小时，也不超过40小时. 设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15x40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15x40)，试求f(x)和g(x). A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市平安.核电站距城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数=0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月. 把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域. 分析以上实例属于那种函数模型. 探讨结果：f(x)=5x(15x40). g(x)= y=5x2+(100

17、x)2(10x90)； 分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型. 例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示. (1)求图3-2-2-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2022km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象. 图3-2-2-1 活动：学生先思索或探讨，再回答.老师依据实际，可以提示引导： 图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不断改变，汽车里程表读数skm与时间th的函数为分段函数. 解：(1)阴影部分的面积为501+801+

18、901+751+651=360. 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km. (2)依据图，有 这个函数的图象如图3-2-2-2所示. 图3-2-2-2 变式训练 2022深圳高三模拟，理19电信局为了满意客户不同须要，设有A、B两种实惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图(图3-2-2-3)所示(其中MNCD). (1)分别求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)； (2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种实惠方案？并说明理由. 图3-2-2-3 解：(1)先列出两种实惠方案所对应的函数解

19、析式： (2)当f(x)=g(x)时,x-10=50, x=200.当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可; 当客户通话时间为0x200分钟，g(x)f(x),故选择方案A； 当客户通话时间为x200分钟时，g(x)点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当留意提高读图的实力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型. 例2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.相识人口数量的改变规律，可以为有效限制人口增长供应依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,17661834)就提出了自然状态下的人口增长模型： y=y0er

20、t, 其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率. 下表是19501959年我国的人口数据资料： 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 (1)假如以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的详细人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； (2)假如按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达

21、到13亿？ 解：(1)设19511959年的人口增长率分别为r1,r2,r3,r9. 由55196(1+r1)=56300， 可得1951年的人口增长率为r10.0200. 同理,可得r20.0210，r30.0229，r40.0250，r50.0197，r60.0223，r70.0276， r80.0222，r90.0184. 于是，19501959年期间，我国人口的年平均增长率为 r=(r1+r2+r9)90.0221. 令y0=55196，则我国在19511959年期间的人口增长模型为 y=55196e0.0221t,tN. 依据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.022

22、1t(tN)的图象(图3-2-2-4). 图3-2-2-4 由图可以看出，所得模型与19501959年的实际人口数据基本吻合. (2)将y=130000代入y=55196e0.0221t, 由计算器可得t38.76. 所以，假如按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，假如不实行安排生育，而是让人口自然增长，今日我国将面临难以承受的人口压力. 变式训练 一种放射性元素,最初的质量为500g,按每年10%衰减. (1)求t年后,这种放射性元素养量的表达式; (2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时

23、间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771) 解：(1)最初的质量为500g. 经过1年后,=500(110%)=5000.91; 经过2年后,=5000.9(110%)=5000.92; 由此推知,t年后,=5000.9t. (2)解方程5000.9t=250,则0.9t=0.5, 所以 即这种放射性元素的半衰期约为6.6年. 知能训练 某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5000元,并以纯利润20%确定出厂价.从1994年起先,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的8

24、0%,但却实现了50%纯利润的高效益. (1)求1997年每台A型电脑的生产成本; (2)以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01,以下数据可供参考:=2.236,=2.449) 活动：学生先思索或探讨，再回答.老师依据实际，可以提示引导. 出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润. 解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x元,依题意,得 x(1+50%)=5000(1+20%)80%,解得x=3200(元). (2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y,则依题意,得5000(1y)4=3200, 即1997年

25、每台电脑的生产成本为3200元,1993年至1997年生产成本平均每年降低11%. 课堂小结 本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系. 活动：学生先思索或探讨，再回答.老师提示、点拨，刚好评价. 引导方法：从基本学问和基本技能两方面来总结. 作业 课本P107习题3.2A组5、6. 板书设计 教学反思 第17页 共17页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页