高三数学教案：《平面向量》教学设计.docx

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1、高三数学教案：平面向量教学设计平面对量教案二、复习要求1、向量的概念;2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;3、向量运算的运用三、学习指导1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法-有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观说明,有时甚至更简捷。向量运算中的基本图形:向量加减法则:三角形或平行四边形;实数与向量乘积的几何意义-共线;定比分点基本图形-起点相同的三个向量终点共线等。2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性

2、运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下:运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法=-=记=(x1,y1),=(x1,y2)则=(x1x2,y1y2)-=(x2-x1,y2-y1)=实数与向量的乘积=R记=(x,y)则=(x,y)两个向量的数量积=|cos,记=(x1,y1),=(x2,y2)则=x1x2y1y23、运算律加法:=,()=()实数与向量的乘积:()=;()=,()=()两个向量的数量积:=;()=()=(),()=说明:依据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满意实数多项式乘积的运算法则,正确迁

3、移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如()2=4、重要定理、公式(1)平面对量基本定理;假如是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数1,2,满意=12,称12为,的线性组合。依据平面对量基本定理,任一向量与有序数对(1,2)一一对应,称(1,2)为在基底,下的坐标,当取,为单位正交基底,时定义(1,2)为向量的平面直角坐标。向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则=(x,y);当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)(2)两个向量

4、平行的充要条件符号语言:若,则=坐标语言为:设=(x1,y1),=(x2,y2),则(x1,y1)=(x2,y2),即,或x1y2-x2y1=0在这里,实数是唯一存在的,当与同向时,0;当与异向时,0。|=,的大小由及的大小确定。因此,当,确定时,的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中的几何意义。(3)两个向量垂直的充要条件符号语言:=0坐标语言:设=(x1,y1),=(x2,y2),则x1x2y1y2=0(4)线段定比分点公式如图,设则定比分点向量式:定比分点坐标式:设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)则特例:当=1时,就得到中点公式:,事实上,对于起点相同,终点共线三个

5、向量,(O与P1P2不共线),总有=uv,uv=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。(5)平移公式:点平移公式,假如点P(x,y)按=(h,k)平移至P(x,y),则分别称(x,y),(x,y)为旧、新坐标,为平移法则在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,肯定可以求第三组坐标图形平移:设曲线C:y=f(x)按=(h,k)平移,则平移后曲线C对应的解析式为y-k=f(x-h)当h,k中有一个为零时,就是前面已经探讨过的左右及上下移利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于探讨曲线的几何性质(6)正弦定理,余弦定理正弦定理:余弦定理:a2=b2c2-2cb

6、cosAb2=c2a2-2cacosBc2=a2b2-2abcosc定理变形:cosA=,cosB=,cosC=正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特殊是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的程序性特点。四、典型例题例1、如图,为单位向量,与夹角为1200,与的夹角为450,|=5,用,表示。分析:以,为邻边,为对角线构造平行四边形把向量在,方向上进行分解,如图,设=,=,0,0则=|=|=1=|,=|OEC中,E=600,OC

7、E=750,由得:说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理例2、已知ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求点D和向量坐标。分析:用解方程组思想设D(x,y),则=(x-2,y1)=(-6,-3),=0-6(x-2)-3(y1)=0,即2xy-3=0=(x-3,y-2),-6(y-2)=-3(x-3),即x-2y1=0由得:D(1,1),=(-1,2)例3、求与向量=,-1)和=(1,)夹角相等,且模为的向量的坐标。分析:用解方程组思想法一:设=(x,y),则=x-y,=xy,=,(2)若PED

8、=450,求证:P、D、C、E四点共圆。分析:利用坐标系可以确定点P位置如图,建立平面直角坐标系则C(2,0),D(2,3),E(1,0)设P(0,y)=(1,3),=(-1,y)=3y-1代入cos450=解之得(舍),或y=2点P为靠近点A的AB三等分处(3)当PED=450时,由(1)知P(0,2)=(2,1),=(-1,2)=0DPE=900又DCE=900D、P、E、C四点共圆说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:建立平面直角坐标系;设点的坐标;求出有关向量的坐标;利用向量的运算计算结果;得到结论。同步练习(一)选择题1、平面内三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),若,则

9、x的值为:A、-5B、-1C、1D、52、平面上A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),C点满意,连DC并延长至E,使|=|,则点E坐标为:A、(-8,)B、()C、(0,1)D、(0,1)或(2,)2、点(2,-1)沿向量平移到(-2,1),则点(-2,1)沿平移到:3、A、(2,-1)B、(-2,1)C、(6,-3)D、(-6,3)4、ABC中,2cosBsinC=sinA,则此三角形是:A、直角三角形B、等腰三角形C、等边三角形D、以上均有可能5、设,是随意的非零平面对量,且相互不共线,则:()-()=0|-|-|()-()不与垂直(32)(3-2)=9|2-4|2中,真命题是:A

10、、B、C、D、6、ABC中,若a4b4c4=2c2(a2b2),则C度数是:A、600B、450或1350C、1200D、3007、OAB中,=,=,=,若=,tR,则点P在A、AOB平分线所在直线上B、线段AB中垂线上C、AB边所在直线上D、AB边的中线上8、正方形PQRS对角线交点为M,坐标原点O不在正方形内部,且=(0,3),=(4,0),则=A、()B、()C、(7,4)D、()(二)填空题9、已知,|是平面上一个基底,若=,=-2-,若,共线,则=_。10、已知|=,|=1,=-9,则与的夹角是_。11、设,是两个单位向量,它们夹角为600,则(2-)(-32)=_。12、把函数y=

11、cosx图象沿平移,得到函数_的图象。(三)解答题13、设=(3,1),=(-1,2),试求满意=的的坐14、若=(2,-8),-=(-8,16),求、及与夹角的余弦值。15、已知|=,|=3,和夹角为450,求当向量与夹角为锐角时,的取值范围。参考答案(一)1、C2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、A(二)9、10、11、12、y=sinx1(三)13、(11,6)14、=(-3,4),=(5,-12),15、,或且 高二数学教案：平面对量的坐标表示教学设计 高二数学教案：平面对量的坐标表示教学设计 一、学情分析 本节课是在学生已学学问的基础上进行绽开学习的，也是对以前所学学问的巩固和发

12、展，但对学生的学问打算状况来看，学生对相关基础学问驾驭状况是很好，所以在复习时要刚好对学生相关学问进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面对量的坐标表示；平面对量的坐标运算。 二、考纲要求 1.会用坐标表示平面对量的加法、减法与数乘运算. 2.理解用坐标表示的平面对量共线的条件. 3.驾驭数量积的坐标表达式,会进行平面对量数量积的运算. 4.能用坐标表示两个向量的夹角,理解用坐标表示的平面对量垂直的条件. 三、教学过程 (一) 学问梳理: 1.向量坐标的求法 (1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 (2)设A(x1，y1)，B(

13、x2，y2)，则 _ | |_ （二）平面对量坐标运算 1向量加法、减法、数乘向量 设 (x1，y1)， (x2，y2)，则 + 2.向量平行的坐标表示 设 (x1，y1)， (x2，y2)，则 ?_. （三）核心考点习题演练 考点1.平面对量的坐标运算 例1.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 (1)求3 + -3 ; (2)求满意 =m +n 的实数m,n; 练：（2022江苏,6)已知向量 =(2,1), =(1,-2),若m +n =(9,-8) (m,nR),则m-n的值为. 考点2平面对量共线的坐标表示 例2:平面内给定三个向量 =(3,2), =(-1,2)

14、, =(4,1) 若( +k )(2 - ),求实数k的值; 练：(2022，四川，4)已知向量 =(1,2), =(1,0), =(3,4).若为实数,( + ) ,则= () 思索:向量共线有哪几种表示形式?两向量共线的充要条件有哪些作用? 方法总结: 1.向量共线的两种表示形式 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),ab?a=b(b0);ab?x1y2-x2y1=0.至于运用哪种形式,应视题目的详细条件而定,一般状况涉及坐标的应用. 2.两向量共线的充要条件的作用 推断两向量是否共线(平行的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值. 考点3平面对量数量积

15、的坐标运算 例3“已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点, 则 的值为; 的最大值为. 【提示】解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可建立直角坐标系利用向量的数量积的坐标表示来运算，这样可以使数量积的运算变得简捷. 练：(2022,安徽，13）设 =(1,2) , =(1,1), = +k .若 ,则实数k的值等于() 【思索】两非零向量 的充要条件: =0?. 解题心得: (1)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2. (2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可建立直角坐标系利用向量的数量积的坐标表示

16、来运算，这样可以使数量积的运算变得简捷. (3)两非零向量ab的充要条件:ab=0?x1x2+y1y2=0. 考点4：平面对量模的坐标表示 例4：(2022湖南,理8)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC,若点P的坐标为(2,0),则 的最大值为() A.6 B.7 C.8 D.9 练：（2022，上海，12） 在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲线上一个动点，则 的取值范围是？ 解题心得: 求向量的模的方法: (1)公式法,利用|a|= 及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算; (2)几何法,利用向量加减法的平行四边形

17、法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 高二数学平面对量 其次章平面对量复习课（一）一、教学目标1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。2.了解平面对量基本定理.3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4.了解向量形式的三角形不等式：|-|+|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|+|)=|+|+|.5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6.向量的坐标概念和坐标表示法7.向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8.数量积（点乘或内积）的概念，=|cos=xx+yy留

18、意区分“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、学问与方法向量学问，向量观点在数学.物理等学科的许多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的很多主干学问综合，形成学问交汇点，所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直三、教学过程（一）重点学问：1.实数与向量的积的运算律：2.平面对量数量积的运算律:3.向量运算及平行与垂直的判定:则4.两点间的距离:5.夹角公式:6.求模：（二）习题讲解：习案P167面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题，P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6

19、题。（三）典型例题例1已知O为ABC内部一点，AOB=150，BOC=90，设=，=，=，且|=2，|=1，|=3，用与表示解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中,是单位正交基底向量,则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150-90),y=-2sin(150-90)，即A（1，-），也就是=,=，=-3所以-3=3+|即=33（四）基础练习：习案P178面6题、P180面3题。（五）、小结：驾驭向量的相关学问。 （六）作业：习案作业二十七。 其次章平面对量复习课（二）一、教学过程（一）习题讲解：习案P173面6题。（二）典型例题例1已知圆C：及点A（1，1），

20、M是圆上随意一点，点N在线段MA的延长线上，且，求点N的轨迹方程。练习：1.已知O为坐标原点，=（2，1），=（1，7），=（5，1），=x,y=（x，yR）求点P（x，y）的轨迹方程；2.已知常数a0，向量，经过定点A（0，a）以为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中.求点P的轨迹C的方程；例2.设平面内的向量,，点P是直线OM上的一个动点，求当取最小值时，的坐标及APB的余弦值解设点P在直线OM上，与共线，而，x2y=0即x=2y，有，=5y220y+12=5(y2)28从而，当且仅当y=2，x=4时，取得最小值8，此时，于是，小结：利用平面对量求点的轨迹

21、及最值。 作业：习案作业二十八。 平面对量教案21、三角形中的特别位置(四心)所满意的向量方程:(1)重心满意的向量方程:;(2)内心满意的向量方程:或;(3)外心满意的向量方程:;(4)垂心满意的向量方程:;(斜三角形中)2、已知是所在平面上的一点,若,则是的垂心。3、若为的外心,若为的重心,若H为的垂心,则O,G,H三点共线,且,若O为坐标原点,则重心和外心的坐标分别为:,。4、已知是所在平面上的一点,若,则是的外心。5、点为三角形的重心的充要条件是对平面上的随意一点,。6、为方向上与同向的单位向量。7、设、是直线上两点,点是上不同于、的随意一点,且,则。特殊地,当时,(向量的中点公式)。

22、8、若、三点不共线,已知,则、三点共线的充要条件是。9、若、不共线,且,则必有。10、向量平移后与原向量相等,即向量平移后坐标是不变的。11、若直线的方向向量为,则直线的斜率与该向量的关系为。12、若、分别为、的中点,则。13、若向量、满意条件,且,则为正三角形。14、若为的重心,且,则为正三角形。15、三角形中一些特别直线的向量表示:(1)是的中线;(2)是的高线;(3)是的内角平分线;(4)是的外角平分线。16、两向量的夹角为锐角不是两向量数量积为正的充要条件,因为要解除夹角为0的情形;两向量的夹角为钝角也不是两向量数量积为负的充要条件,因为要解除夹角为的情形。17、设是与的夹角,则称作为在方向上的投影。夹角18、在平行四边形中,若则平行四边形是菱形;在平行四边形中,若,则平行四边形是矩形;在平行四边形中,(变形即中线定理)。第12页 共12页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页