2022年《平面向量》知识点归纳总结 .docx

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1、精品_精品资料_第一章 平面对量2.1 向量的基本概念和基本运算16、向量：既有大小,又有方向的量数量：只有大小,没有方向的量 有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为 0 的向量 单位向量：长度等于 1个单位的向量平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量17、向量加法运算：三角形法就的特点：首尾相连平行四边形法就的特点：共起点三角形不等式： ababab 运算性质：交换律：abba .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_结合律：abcabc. a00aa C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

2、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_坐标运算：设ax1, y1, bx2, y2,就 abx1x2, y1y2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_18、向量减法运算：三角形法就的特点：共起点,连终点,方向指向被减向量b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_坐标运算：设 ax1, y1, bx2, y2 ,就 abx1x2 , y1y2abCC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设、 两点的坐标分别为x1, y1 , x2 , y2 ,就x1x2 y, 1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_19、向量数乘运算：实数与向量 a 的积是一个

3、向量的运算叫做向量的数乘,记作a aa .当0 时, a 的方向与 a 的方向相同.当0 时,a 的方向与 a的方向相反.当0 时,a0 运算律：aa .aaa .abab 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_坐标运算：设ax, y ,就ax, yx,y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20、向量共线定理：向量a a0与 b 共线,当且仅当有唯独一个实数,使 ba 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 ax1, y1,bx2 , y2,其中 b0 ,就当且仅

4、当x1y2x2 y10 时,向量 a 、b b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_共线2.2 平面对量的基本定理及坐标表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21、平面对量基本定理：假如e1 、 e2 是同一平面内 的两个 不共线 向量,那么对于这一平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_内的任意向量 a ,有且只有一对实数1 、 2 ,使 a1e12 e2（不共线的向量e1 、e2 作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为这一平面内全部向量的一组基底）22、分点坐标公式 ：设点是线段 12 上的

5、一点,1 、 2 的坐标分别是x1, y1, x2 , y2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当时,点 的坐标是x1x2 , y1y2（当1时,就为中点公式.）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12112.3 平面对量的数量积23、平面对量的数量积（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a ba bcosa0,b0,0180零向量与任一向量的数量积为0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质：设

6、 a 和 b 都是非零向量, 就aba b0 当 a 与 b 同向时, a ba b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a 与 b 反向时, a ba b . a aa 22a或 aa a a ba b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算律： a bb a .aba bab. abca cb c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_坐标运算：设两个非零向量ax1, y1, bx2, y2,就 a bx1x2y1 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

7、品_精品资料_22如 ax, y,就 ax2y ,或ax2y2 设ax , y, bx , y,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1122abx1 x2y1 y20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 ,ax1, y1, bx2 , y2,是 a 与 b 的 夹 角 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosa bx1x2y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a bx2y2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问链接：空间向

8、量1122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_空间向量的很多学问可由平面对量的学问类比而得. 下面对空间向量在立体几何中证明, 求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：如 A 、B 是直线 l 上的任意两点, 就 AB 为直线 l 的一个方向向量. 与 AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量 .平面的法向量：如向量 n 所在直线垂直于平面,就称这个向量垂直于平面,记作 n,假如n,那么向量 n叫做平面的法向量 . 平面的法向量的求法（待定系数法） ： 建立适当的坐标系设平面的法向量为 n x, y, z 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

9、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求出平面内两个不共线向量的坐标aa1,a2 , a3, bb1, b2 ,b3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据法向量定义建立方程组n a0.n b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解方程组,取其中一组解,即得平面的法向量 .（如图）1、 用向量方法判定空间中的平行关系线线平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设直线l1,l 2 的方向向量分别是a、b ,就要证明l1 l2 ,只需证明 a b ,即 akbkR .可编辑资料 - - - 欢

10、迎下载精品_精品资料_即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.线面平行（法一）设直线l 的方向向量是a ,平面的法向量是 u ,就要证明 l ,只需证明au ,即 a u0 .即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二） 要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行如平面的法向量为 u ,平面的法向量为 v ,要证,只需证 u v ,即证 uv .即：两平面平行或重合两平面的法向量共线.3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设直线l1, l2 的方向向量分别是

11、 a 、b ,就要证明 l1l2 ,只需证明 ab ,即 a b0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：两直线垂直两直线的方向向量垂直.线面垂直（法一） 设直线 l 的方向向量是a ,平面的法向量是 u ,就要证明 l,只需证明 a u ,即 au .（法二）设直线l 的方向向量是a ,平面内的两个相交向量分别为m、n ,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a m0a n0, 就l.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线

12、的方向向量都垂直.面面垂直如平面的法向量为 u ,平面的法向量为 v ,要证,只需证 uv ,即证 u v0 .即：两平面垂直两平面的法向量垂直.4、利用向量求空间角求异面直线所成的角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 a, b 为两异面直线, A , C 与 B, D 分别是a, b 上的任意两点,a, b 所成的角为,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 cosACBD.AC BD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和

13、这个平面所成的角求法： 设直线 l 的方向向量为 a ,平面的法向量为 u ,直线与平面所成的角为,a 与u 的夹角为,就 为的余角或的补角的余角 .即有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin求二面角a ucos.a u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 定义： 平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面.从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点 O,分别在两个半平面内作射可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线 AOl , BOl ,

14、就AOB 为二面角l的平面角 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图：ABlOBOA求法： 设二面角l的两个半平面的法向量分别为m、n ,再设 m 、n 的夹角为,二面角l的平面角为,就二面角为 m 、n 的夹角或其补角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据详细图形确定是锐角或是钝角：m n假如是锐角,就 coscos,m nm n即arccos.m nm n 假如是钝角,就 coscos,m nm n即arccos.m n5、利用法向量求空间距离点 Q到直线 l 距离如 Q为直线 l 外的一点 , P 在直线 l 上, a 为直线 l 的方向向量, b = P

15、Q ,就点 Q到直线 l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_距离为h点 A 到平面的距离1| a |22| a | b | a b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如点 P 为平面外一点,点 M 为平面内任一点,平面的法向量为 n ,就 P 到平面的距离就等于 MP 在法向量 n 方向上的投影的肯定值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 dMPcosn, MP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nM PMPn MPn MP n直线 a 与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等.由此可知, 直线到平面的距离

16、可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离.n MP即 d.n两平行平面,之间的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用两平行平面间的距离到处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.n MP即 d.n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_异面直线间的距离设向量 n 与两异面直线a, b 都垂直,Ma, Pb, 就两异面直线a,b 间的距离 d 就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MP 在向量 n 方向上投影的肯定值.n MP即 d.n6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理： 在平面内的一条直线, 假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它

17、也和这条斜线垂直POAPO, Oa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推理模式：PAAaPA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a, aOA概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线, 假如和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直PO, O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推理模式：PAAaAO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a, aAP概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设 AC是平面内的任一条直线, AD是的一条斜线 AB 在内的射影, 且 BDAD,垂足为 D.设 AB 与AD 所成

18、的角为1 ,AD 与 AC所成的角为2 ,AB 与 AC所成的角为就coscos 1 cos 2 .BA12DC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、 面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为S S原 ,它在平面内的射影图形的面积为SS射,平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Scos=S射 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、一个结论SS原可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_长度为 l 的线段在三条两两相互垂直的直线上的射影长分别为l1、 l2、 l3,夹角分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精

19、品_精品资料_2222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 2、3 , 就有ll1l2l3cos 1cos 2cos 31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1sin2sin2sin22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基础练习一挑选题1. 如图,点O 是正六边形 ABCDEF 的中心,就以图中点A, B,C, D, E, F,O 中的任意一点为起点, 与起点不同的另一点为终点的全部向量中,除向量外, 与向量共线的向量共有 A 6 个B 7 个C8

20、 个D 9 个解析： 选 D. 与向量共线的向量有,共9 个,应选 D.2. 设不共线的两个非零向量e1, e2,且 ke1 e2 e1 ke2,就实数 k 的值为 A 1B 1C 1D 0答案： A3. 已知向量是不共线向量e1, e2,给出以下各组向量：a 2e1, b e1 e2. a 2e1 e2, b e11e2 .2a e1 e2, b 2e1 2e2. a e1 e2, be1e2.其中共线的向量组共有A 1 个B 2 个C 3 个D4 个答案： B4. 已知 E、F 分别为四边形ABCD 的边 CD 、BC 边上的中点, 设 a, b,就 11A. 2a bB 2ab11C.2

21、a bD. 2b a答案： B5. 以下运算正确的有 7 6a 42a. a 2b 2a 2b 3a.a b a b 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个解析： 对, 对, 错,由于 a b a b0.答案： C 1化简所得结果是 A.B.C 0D.答案： C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C.32在 ABC 中, | | | 1,就| |的值为 A 0B 1D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： B3. 已知向量 a b,且 |a|b|0,就向量 a b 的方向 A 与向量 a 方向相同B. 与向量

22、 a 方向相反C. 与向量 b 方向相同D. 与向量 b 方向相反答案： A4. 在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O, ,就 .答案： 25向量 等于 A. B.C.D.解析： .应选 C.答案： C1假如 e1、e2 是平面 内全部向量的一组基底,那么 A 如实数 1、2 使 1e1 2 e2 0,就 1 2 0B. 空间任一向量 a 可以表示为 a 1e1 2e2,这里 1 、2 是实数C. 对实数 1、2, 1e12e2 不肯定在平面 内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D. 对平面 中的任一向量a,使 a 1e1 2e2 的实数 1、2 有很多

23、对答案： A2假如 3e14e2 a,2e1 3e2 b,其中 a,b 为已知向量, 就 e1,e2.答案： e13a 4be2 2a 3b3. 设 e1, e2 是平面内一组基底,假如3e1 2e2, 4e1 e2, 8e1 9e2,就共线的三点是 A A、B、CB B、 C、DCA、B、DD A、 C、D答案： C4. 设 e1,e2 是平面内全部向量的一组基底,就下面四组向量中, 不能作为基底的是 A e1 e2 和 e1 e2B3e1 2e2 和 4e2 6e1Ce1 2e2 和 e2 2e1 D e2 和 e1 e2解析： 4e2 6e1 23e1 2e2, 3e1 2e2 与 4e

24、2 6e1 共线,应选 B.答案： B1. 如 2, 3,且点 A 的坐标为 1,2,就点 B 的坐标为 A 1,1B. 1, 1C.3, 5D. 4, 4答案： C2. 已知平行四边形OABCO 为原点 , 2,0, 3,1,就 OC 等于 A 1,1B 1, 1C 1, 1D 1,1解析： 3,12,0 1,1,应选 A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： A3如向量 a 1,1, b 1, 1, c1,2,就 c 等于1313A 2a2bB.2a 2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3C. a 212bD3122a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精

25、品_精品资料_答案： B1如 a 2,3 , b 4, 1 y,且 a b,就 y A 6B 5C 7D 8答案： C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知点 M 是线段 AB 上的一点,点 P 是平面上任意一点,32 ,如 ,就 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_553232A. 5B. 5C.2D.3解析： 用,表示向量, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答案： D325522 ,553255332 , . 553可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.如向量 a、 b 满意 |a| |b |1, a 与 b 的夹角为 60

26、,就 aaab 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1A. 23B.32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 12D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：选 B. aa ab |a|2 |a|b |cos60 1132 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.设 a, b,c 是任意的非零向量,且相互不共线,就以下结论正确选项 A abc c ab 0B ab 0. a 0 或 b 0C bca acb 不与 c 垂直D 3a 4b 3a 4b 9|a|2 16|b|2解析：选

27、D. 由于数量积是实数,因此abc, ca b 分别表示与 c, b 共线的向量,运算结果不为 0,故 A 错误.当 ab, a 与 b 都不为零向量时,也有ab 0,故 B 错误. bca acb c bc ac acbc 0,故 C 错误.3a4b 3a 4b 9a2 16b2 12ab 12ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.9|a|2 16|b|21.a 4, 3, b 5, 6,就 3|a|2 4ab 等于 A 23B 57C 63D 83解析： 选 D. |a|（ 4）2 32 5,ab 45 36 2, 3|a|24ab 352 4 2 83.应选 D.2.已知

28、 A2, 1 ,B3, 2, C 1, 4,就 ABC 是 A 锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D任意三角形解析：选 B. 1, 1 3, 3 33 0.应选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21设坐标原点为 O,已知过点 0,1的直线交函数 y 12 的图象于 A、 B 两点,就 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值为 A. 343x 2B. 434可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 4D 3,与解析： 选 C.由题意知直线的斜率存在可设为k,就直线方程为y kx 12y 1 2 联x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_立得

29、 1 2 kx12x 2, x2 2kx 1 0, x1x2 1, x1 x2 2k,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y2kx1 1kx 1222 k2x1x21kx1 x224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ , k2 k2 1144 x1x2 y1y 2 1 1 34. 4二填空题2. 已知 A, B, C 是不共线的三点,向量m 与向量是平行向量,与是共线向量,就m.解析： A,B, C 不共线,与不共线, 又 m 与,都共线, m 0.答案： 06已知 |a|3,|b|3, AOB120,就|a b| .答案： 35. 已知向量 a,b 不共线,实数

30、 x,y 满意3x4ya2x 3yb 6a 3b,就 xy.解析： 由题意,得 3x4y 6 且 2x3y 3,解得 x6, y 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xy3.答案： 36. 如下图所示,已知 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 BC、CD 的中点, EF 与 AC 交于点 G,如 a, b,用 a、b 表示.解析： E、F 分别为相应边中点,33334 4 4ab a4b.33答案： 4a4b4已知 a1, 2,b 2, 3,实数 x,y 满意 xa yb 3,4, 就 x.答案： 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5如将向量 a3,1按逆时针

31、方向旋转坐标为答案： 1, 32得到向量 b,就 b 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6已知平行四边形 ABCD 中, A1,1,B6,1, C8,5,就点 D的坐标为答案： 3, 57作用于原点的两个力 F 12, 2, F 21, 3,为使它们平稳,需加力 F 3.答案： 3, 53已知.ABCD 四个顶点的坐标为 A5,7,B3,x,C2,3,D 4, x,就 x.答案： 53. 已知向量 a, b 满意|b| 2, a 与 b 的夹角为 60,就 b 在 a 上的投影是 解析： b 在 a 上的投影是 |b|cosa,b 2cos60 1.答案： 14. 已知 |a|

32、 2|b|0,且关于 x 的方程 x2 |a|x ab 0 有实根, 就 a 与 b 的夹角的取值范畴是 解析：由于 |a| 2|b| 0,且关于 x 的方程 x2 |a|x ab0 有实根,就 |a|24ab 0,设向量12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a b4|a |1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 与 b 的夹角为 ,就 cos |a|b| 12|a | 2, 2, . 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：3, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4.在边长为2的等边三角

33、形ABC 中,设 c, a, b,就 ab bc ca 解析： ab bc ca 2 2cos 120 3 3.答案： 35.已知 |a| |b|1, |3a 2b| 3,就|3a b| 解析：由已知 |3a 2b| 3,得 9|a|2 12ab 4|b|2 9,.a b 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|3a b|（ 3a b）29|a |2 6a b |b|2 23.答案： 23在平面直角坐标系中,O 为原点,已知两点A1, 2, B 1,4,如点 C 满意 ,其中 0 1 且 1,就点 C 的轨迹方程为 解析： 1, 1,又 1 , ,又 B 与有公共点 B, A、B、C 三点共线, 0 1, C 点在线段 AB 上运动, C 点的轨迹方程为 3x y 1 01 x 1 答案： 3x y 10 1 x 1三解答题可编辑资料 - - - 欢迎下载