01届,上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及答案.docx

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1、01届,上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及答案2001年上海市一般高等学校春季招生考试 数学试卷 考生留意：本试卷共有22道试题，满分150分 一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求干脆填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分 1函数的反函数 2若复数z满意方程（是虚数单位），则z= 3函数的最小正周期为 4二项式的绽开式中常数项的值为 5若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为 6圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为 7计算： 8若非零向量、满意|=|，则与所成角的大小为 9在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中

2、随意选取3个，则所选的3个球中至少有一个红球的概率是 （结果用分数表示） 10若记号“*” 表示求两个实数与的算术平均数的运算，即*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于随意3个实数、都能成立的一个等式可以是 11关于的函数有以下命题： （1）对随意的都是非奇非偶函数； （2）不存在使既是奇函数，又是偶函数； （3）存在使是奇函数； （4）对随意的都不是偶函数 其中一个假命题的序号是 因为当= 时，该命题的结论不成立 12甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄按规定每次

3、计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为 元（假定利率五年内保持不变结果精确到1分） 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必需把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分 13若、为实数，则>>0是的 （ ） (A) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (B) 充要条件 (D) 既非充分条件也非必要条件 14若直线=1的倾斜角为，则 （ ） (A) 等于0 (B)

4、 等于 (C) 等于 (D) 不存在 15若有平面与，且，则下列命题中的假命题 （ ） (A) 过点P且垂直于的直线平行于 (B) 过点P且垂直于的平面垂直于 (C) 过点P且垂直于的直线在内 (D) 过点P且垂直于的直线在内 16若数列前8项的值各异，且对随意的都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为 （ ） (A) (B) (C) (D) 三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必需写出必要的步骤 17（本题满分12分） 已知R为全集，A=，B=，求 18（本题满分12分） 已知，试用表示的值 19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分

5、用一块钢锭浇铸一个厚度匀称，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为米，盖子边长为米 （1）求关于的函数解析式； （2）设容器的容积为V立方米，则当为何值时，V最大？求出V的最大值 （求解本题时，不计容器的厚度） 20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分 在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在B B1、DD1上，且AEA1B，AFA1D （1）求证：A1C平面AEF； （2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相

6、等 试依据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小（用反三角函数值表示） 21（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分7分 已知椭圆C的方程为，点的坐标满意1过点P的直线与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点求： （1）点Q的轨迹方程； （2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数 22（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分 已知是首项为2，公比为的等比数列，为它的前项和 （1）用表示； （2）是否存在自然数和，使得成立 2001年上海市一般高等学校春季招生考试 数学试题参考解答 一、填空题

7、 1 21- 32 420 5 6 7 8 9 10 等 11（1），；（1），；（4），等（两个空格全填对时才能得分其中也可以写成任何整数） 12219.01 二、选择题 13A 14C 15D 16B 三、解答题 17解由已知 4 由 解得-13所以 由1，解得-23所以 于是 ，故 18解因为 ，所以 因而 又，于是 因此 19解（1）设为正四棱锥的斜高由已知 解得 （2） 易得 因为，所以等式当且仅当，即时取得 故当米时，有最大值，的最大值为立方米 20证（1）因为，所以在平面上的射影为 由，得 同理可证 因为， 所以 解（2）过作的垂线交因为，所以 设所成的角为，则即为平面与平面所成

8、的角 由已知，计算得 如图建立直角坐标系，则得点 因为与所成的角为， 所以， 由定理知，平面与平面所成角的大小为 21解（1）设点、的坐标分别为、，点的坐标为 当时，设直线的斜率为，则的方程为 由已知， ， 由得， 由得， 由、及，得点的坐标满意方程 当时，不存在，此时平行于轴，因此的中点肯定落在轴上，即的坐标为（）明显点的坐标满意方程 综上所述，的坐标满意方程 设方程所表示的曲线为，则由 得 因为，由已知1，所以当=1时，曲线与椭圆有且只有一个交点 当1时，曲线与椭圆没有交点 因为（0，0）在椭圆内，又在曲线上，所以曲线在椭圆内故点的轨迹方程为 （2）由 解得曲线与轴交于点、 由 解得曲线与轴交于点、 当，即点为原点时，、与重合，曲线与坐标轴只有一个交点 当，且，即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时，点与重合，曲线与坐标轴有两个交点与 同理，当，且1，即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时，曲线与坐标轴有两个交点与 当<1,且，即点在椭圆内且不在坐标轴上，曲线与坐标轴有三个交点、与 22解（1）由，得N （2）要使，只要0因为4，所以， 故只要 因为（），所以 ， 又，故要使成立，只能取2或3 当时，因为，所以当k时，不成立，从而不成立因为，由,得 ， 所以当时，从而不成立 当时，因为，所以当时，不成立，从而不成立 因为，又 ， 所以当3时，从而不成立 故不存在自然数、，使成立