7.5正态分布 课时分层练习题人教A版选择性必修第三册.docx

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1、7.5正态分布A基础练一、选择题（2021河南高二月考）在如下图的正方形中随机投掷10000个点，那么落入阴影局部（曲线。为正态分布N（0,l）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）.A. 2386B. 2718C. 3413D. 4772【答案】c【详解】根据正态分布的性质，P(0xl) = ip(-l %1) = 0.3413, 210000x0.3413 = 3413.应选 C.1. （2021 .重庆市第十一中学校高二月考）设随机变量4服从正态分布N.,4）, *1的概率是那么 等于（）A. 1B. 2C. 4D.不确定【答案】A【详解】由题意，的概率是:，那么的概率也是:，正态分布的图

2、象关于0 = 1对称，即=1.应选：A2. （2021 .全国高二课时练）疫情期间，网课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100名 同学每天的学习时间（小时）进行统计，服从正态分布N（912）,贝io。名同学中，每天学习时间超 过10小时的人数为（ ）（四舍五入保存整数）参考数据：P（4 bZ” + b） = 0.6826,P 2。 Z,2 + 2a） = 0.9545 , P（ 3b v Z, , + 3b） = 0.9973.A. 15B. 16C. 31D. 32【答案】B男生“一心二用所需平均时间平均值大于女生；所有女生“一心二用”能力都强于男生；女生用时众数小于男生；男生“一

3、心二用”能力分布近似于正态分布.那么上述说法正确的选项是.【答案】【详解】根据图形可看出，男生“一心二用”所需平均时间平均值大于女生；并不是所有女生“一心二 用”能力都强于男生；女生用时众数小于男生；男生“一心二用”能力分布近似于正态分布；故 正确.三、解答题11.某年某省有40万考生参加高考.考试总分为750分，一本院校在该省计划招生6万人.经 考试后统计，考试成绩X服从正态分布N(300/5()2),假设以省计划招生数确定一本最低录取分数.(1)P(144vX300)p0.35,那么该省这一年的一本最低录取分数约为多少？(2)某公司为考生制定了如下奖励方案：所有高考成绩不低于一本最低录取分

4、数的考生均可参加“线 上抽奖送话费”活动，每个考生只能抽奖一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数(10, 11,99),假设产生的两位数字相同，那么可奖励20元话费，否那么奖励5元，假如所有符合条件的考生均参加抽奖活动，估计这次活动奖励的话费总额是多少？【答案】(1) 456分；(2) 39万元.【详解】(1)X服从正态分布：XsN(300/5()2),因为 P044 X V 300)= 0.35,P(X300)= 0.5 ；所以P(X144)= 0.50.35 = 0.15,根据正态曲线的对称性，P(300 X300)= 0.5所以尸(X56)= 0.15,假设40万考生中一本院校招

5、收6万考生那么一本院校考生占比为4=。15,所以这一年一本最低录取分数为456分.(2) X的分布列如下：X205P0.10.9所以 E(X)= 20x0.1+5x0.9 = 6.5,因为一本院校招生一共6万人，每人的话费期望值为6.5元，故总额为6.5x6 = 39万元.12. (2021 .全国高二课时练)某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X (单 位：mm)服从正态分布N(280,25).(1)从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm的概率；(2)为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产 设备使用期限

6、为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，假设生产设备能 连续运行，那么不会产生故障维修费；假设生产设备不能连续运行，那么除了日常维护费外，还会产生一 次故障维修费.故障维修费第一次为2000元，此后每增加一次那么故障维修费增加2000元.假 设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为求该生产设备运行的四年内4生产维护费用总和Y的分布列与数学期望.参考数据：假设Z N(/,b2),那么尸( bvZv + b) = 0.6827,尸(月 一 2b v Z v + 2b) = 0.9545 ,(4 一 3b v Z v + 3cr) = 0.9974, O.9

7、98710 x 0.9871 .【答案】(i)0.0129； (2)分布列见解析；期望为22000.【详解】(1)因为XN(280,25),那么 pi = 280 ,。= 5, 265 = 一 3b ,1 - 0 9974所以 P(X265)= 0.0013 ,2所以从该生产线生产的零件中随机抽取10个，至少有一个尺寸小于265机加的概率为：p = 1 _(1 _ o.oo 13严=1 - O.998710 % 0.0129 .(2)由题意可得y的所有可能取值为20000 , 22000 , 24000 , 26000 , 28000,(3丫P(Y = 20000)=-(3丫P(Y = 200

8、00)=-81256P(Y = 22000) = C；所以y的分布列为:Y2000022000240002600028000E8110854121Jr256256256256256数学期望P(y = 24000) = c：54256P(K = 26000) = C； x312x =，4 256P(y = 28000) =1256q i1 no54191E(Y) = 20000 x + 22000 x + 24000 x + 26000 x + 28000 x =22000256256256256256【详解】根据题意可得：P（z 10） = P（Z A + p） = 1X（1 -0,6826）

9、= 0.1587 ,故所求人数为100x0.1587句6.a4. （2021全国高二专题练）设X刈从，端），YN?,端），这两个正态分布密度曲线如下图.以下结论中正确的选项是（）A. P（YP（YB. P（X ?）WP（X40）C.对任意正数乙P（XP（Yt）P（Yt）【答案】C【详解】由正态分布密度曲线的性质可知，XN（M，b；）, yN（2，b；）的密度曲线分别关于 直线工=从，了=2对称，因此结合题中所给图象可得，h2,所以。（丫三，2）2丫从）， 故A错误；又X得密度曲线较yN（4。；）的密度曲线“瘦高”，所以巧%,所以 p（x p（x w0），3错误；对任意正数t, p（xp（Yz）

10、z）, 。正确，。错误，应选：C5.（多项选择题）（2021 辽宁丹东市高二月考）XN（/,ct2）, “X）5.（多项选择题）（2021 辽宁丹东市高二月考）XN（/,ct2）, “X）1（厂）2=-1e 2/ , x$R,那么 。2 m（ ）A.曲线y =与X轴围成的几何图形的面积小于iB.函数/（幻图象关于直线户4对称C. P（X b） = 2P（vX v + b）+P（XN + b）D.函数/（x） = P（Xx）在R上单调递增【答案】BC【详解】选项A.曲线y = /（x）与元轴围成的几何图形的面积等于1, 所以A不正确.选项 B. /(x + 4)= J e 2,，/(以一%)=

11、/_ 兀 oy/27ia 所以/(x + ) = /(-x),所以函数/(X)图象关于直线x = 4对称，所以选项B正确.选项 C.因为 P(4X一b) = P(vX +。)所以 PX 4一b) = P(pi-a /z + o-) = 2P( x)随X的增大而减小，是减函数，所以选项D不正确.应选：BC6.(多项选择题)(2021 .山东德州市高二期末)“杂交水稻之父”袁隆平致力于杂交水稻技术的研究、应 用与推广，创造“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创立了超级杂交稻技术体 系，为我国粮食平安、农业科学开展和世界粮食供给做出杰出贡献.某水稻种植研究所调查某地水 稻的株高，得

12、出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度函数为(X-100)2(x) =200 ,xg (-00, +00),那么以下说法正确的选项是()10v2A.该地水稻的平均株高为100cmB.该地水稻株高的方差为10C.该地水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多D.随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)(单位：cm)的概率一样大【答案】AC(x-100)2【详解】因为密度函数为R(x) = 二./一，所以4 = 100,b = 10,即均值为100,标准差 10后为10,方差为100,故A正确，B错误；根据正态曲线的特征可知C正确，D错误.应选：AC.二

13、、填空题(2021 .安徽宣城市高二期末)设XN(5,/)，假设X5,9)的概率为0.45,那么Xl,+x)的 概率为.【答案】0.95【详解】V P(5 X 9) = 0.45,J P(1 v X v5) = 0.45 , P(X 1) = -P(lxl) = l-P(X 0) +尸(XN4)=1,那么=.【答案】-2【详解】因为尸(X0)+P(XN4)=1,又 P(X0) = P(X-4).因此正态曲线的对称轴为工=-2,所以 =一2.8. (2021 .江苏连云港市高三开学考试)中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动工程,在某校的 一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布

14、N(80/00),成绩在90分以上(含 90分)的学生有32名,那么参赛的学生总数约为.(参考数据：P(一X + cr) = 0.683 , P(/-2a X 1200)= q, P(8OO1200)= =。(4800),又。(80040力012(12 I、人 b 4a+ = + (2a + /7) = 4 + + a bh)a h2a + b = l 4当且仅当I 7 C ，即:时取等号.b = 2a .1ib = 2三、解答题IL (2021 .江西高二期末)某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布 A(500,52)(单位：g).(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖

15、，质量小于485g的概率约为多少?（2）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g,检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理巾.附：X N.d）,那么 p（一段ijv 4 + b）e0.6826, P（-2忌心 +2b） 20.9544 ,P（4 3卢卜 /， + 3b） 2 0.9974.【详解】解：（1 ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg ,由题意可知XA（500,52）.由于485 = 500 3x5 ,所以根据正态分布的对称性与“3。原那么可知1P（X 485） = （1 - P（500-3x5

16、X500 + 3x5）-x 0.0026 = 0.0013.检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（I）可知，随机抽取两包检查，质量都小于485g的概率约为3 = 0.00000169 = 1.69x10-6,几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认 为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.12. （2021 .全国高二课时练）为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度（单位：cm）, 其频率分布直方图如下图.（1）求该植物样本高度的平均数万和样本方差/（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）假设该植物的高度Z服从正态分布（/Ab2）,其中近似为样本平

17、均数工,近似为样本方 差利用该正态分布求产（64.5效必96）.附：而6比10.5.假设2（,。2）,那么P（4遍必 + b）p68.3%,P（一 2超必 + 2。）295.4%.【详解】(1)由题意可得平均数5=55x0.1 + 65x0.2 + 75x0.35 + 85x0.3+95x0.05 = 75,/ =(55 - 75)2 x 0.1 + (65 75)2 x 0.2 + (75 - 75)2 x 0.35 + (85 - 75)2 x 0.3 + (95 - 75)2 x 0.05 = 110(2)由(1)知，Z N(75,110),从而尸(64.5张/ 75) = xP(75

18、10.5强以 75 + 10.5)68.3% = 34.15%P(75麴2 96) = -xP(75-2x10.51 75 + 2x 10.5)-x95.4% = 47.7% 22所以 P(64.5张必 96) = P(64.5殁必 75) + P(75 0),假设在(80,120)内的概率为0.6,那么任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为( )A. 0.16B. 0.24C. 0.32D. 0.48【答案】C【详解】解：/服从正态分布NQOO,),二曲线的对称轴是直线1=100,占在(80,120)内取值的概率为06 .*在(80,100)内取值的概率为0.3,在(Q8

19、O)内取值的概率为0.5 0.3 = 0.2.现任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率尸= C；x0.2x(l0.2)= 0.32,应选：C1. (2021.全国高二课时练)设X其正态分布密度曲线如下图，那么从正方形ABCD中 随机取10000个点，那么取自阴影局部的点的个数的估计值是()B. 6038C. 7028(注：假设X (,(？)，那么 P(a bvXK + b)aO.6827)D. 6587【答案】D【详解】因为X所以4 = l,b = L4 + b = l,4 b = 0,又因为 PR bvX，+ b）。0.6827 ,所以。（0 v X 2） - 0.6827

20、 , P（1 X 2） 0.34135 , 所以阴影局部的面积为10.34135 = 0.65865,所以从正方形A5CO中随机取10000个点，那么取自 阴影局部的点的个数的估计值是6587,应选：D.2. （2021 .广东深圳市高二月考）随机变量JN（,b2）,有以下四个命题：甲：P/Pya + 2） 乙：a） = 0.5丙：（4 ）= 0.5 丁： P（a （7 +1） P（a +1 / + 2）为真命题，所以丁为假命题.并且，P（ v J v +1） P（4 +1 v J v + 2） 所以假命题的是丁.应选：D3. （2021 .山东泰安一中高二月考）某工厂的一台流水线生产质量稳定

21、可靠，在正常工作状态下 生产线上生产的零件内径尺寸Z （单位：根）服从正态分布N（60,4）.甲、乙两名同学正进行尺寸测 量练习.甲、乙对各自抽取的5个零件测量零件内径尺寸（单位：加）如下，甲同学测量数据：59,60, 62, 63, 65；乙同学测量数据：52, 53, 55, 57, 62.那么可以判断（）A.甲、乙两个同学测量都正确B.甲、乙两个同学测量都错误C.甲同学测量正确，乙同学测量错误 D.甲同学测量错误，乙同学测量正确【答案】C【详解】Z N（60,4）, .P（3crZ + 3b） = 0.9974,即 P（54Z66） = 0.9974； 甲同学测量的数据均落在（54,66

22、）之间，测量数据正确；乙同学测量的数据中有两个数据落在 （54,66）之外，即小概率事件发生，知其测量错误.应选：C.4. （多项选择题）（2021 .全国高二课时练）甲、乙两类水果的质量（单位:kg）分别服从正态分布NR,媪）， Ng 因），其正态分布的密度曲线如下图，那么以下说法正确的选项是（）A.甲类水果的平均质量川=0.4 kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小D.乙类水果的质量服从正态分布的参数a=1.99【答案】ABC【详解】由图像可知，甲类水果的平均质量N=0.4kg,乙类水果的平均质量2=0.8kg,故A, C正确；甲图

23、像比乙图像更高瘦，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正1确；乙类水果的质量服从的正态分布的最大值为1.99, BfJ-7=-=1.99, 1.99,故D错误.应选:ABC(多项选择题)(2021 .扬州大学附属中学高二月考)医用口罩面体分为内、中、外三层，内层为亲肤 材质，中层为隔离过滤层，外层为特殊材料抑菌层,根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率 是重要的指标,根据长期生产经验,某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率()xN(094,0012),(尸(_2bVx + 2b)=0.954, P(/z-3crx/ + 3cr) = 0.997 , O.9

24、985100 = 0.86)P(x 0.9) 0.5A. P(x0.4)1.5)P(x 0.96) = 0.023D.假设生产状态正常，记X表示抽取的100只口罩中过滤率大于+ 3。的数量，那么P(X 1)0.14【答案】ACD【详解】A： P(x 0.9) P(x 0.94) = 0.5,正确；B：因为尸(九 v 0.4) = P(x 0.94) - P(0.4 x 1.5) = P(x 1.5) = P(x 0.94) - P(0.38 % 。(尤 1.5),错误；1-0 954C： P(x 0.96) = Px 0.94 + 0.02) = Px 2cr)=-=0.023,正确；1-0

25、997D：2(x + 3b) = 0.0015 ,贝ij P(x V + 3。)= 1 - P(x + 3。)= 1 -0.0015 = 0.9985 ,由 P(X 21) = 1 P(X = 0) = 10.9985 21-0.86 = 0.14 .应选：acd二、填空题(2021 .全国高二专题练)某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X(单位：千克)服从正态分 布N(25, 0.22),任意选取一袋这种大米，质量在24.825.4千克的概率为.(附：假设Z N )，那么 P(|Z-川Vo)=0.6826, P(|Z|V2Q=0.954 4,尸(|Z川 V3。) = 0.997 4)【答案】0.818 5【详解】:XNQ5, 0.22), /=25, 7=0.2.Z. P(24.8X25.4) = P(/z-oX95)=(1 A4 3那么全市随机抽取的4名同学中恰有2名的英语成绩超过95分的概率是P = C：- =-.8(2021 .湖南衡阳市八中高二月考)俗话说：“一心不能二用，意思是我们做事情要专心，那么， “一心”到底能否“二用”，某高二几个学生在学完统计后，做了一个研究，他们在本年级随机抽 取男生和女生各100名，要求他们同时做一道数学题和英语听力题，然后将这些同学完成问题所用 时间制成分布图如下，