《概率论与数理统计》第三版--课后习题标准答案.docx

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1、精品文档习题一:1.1写出以下随机实验的样本空间：某篮球运发动投篮时,连续5次都命中,观察其投篮次数。解：连续5次都命中，至少要投5次以上，故。=5,6,7, ；（2）掷一颗匀称的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和。解:。=2,3,4, 11,12）；观察某医院一天内前来就诊的人数。解:医院一天内前来就诊的人数理论上可以从o到无穷，所以。 =（0,1,2,.3从编号为1，2, 3, 4, 5的5件产品中任意取出两件，观察取出哪两件产品。解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：。 i y5 ；检查两件产品是否合格。解:用o表示合格表示不合格，那么。=（0,0）,（0,1）

2、,（1,0）,（1,1）；（6）观察某地一天内的最高气温和最低气温（假设最低气温不低于T1,最高气温不高于T2）o 解：用工表示最低气温,y表示最高气温。考虑到这是一个二维的样本空间，故：x y2 = 1- PX = 0- PX = 1= 1 e-2 -_e-2 = 1 _ 32 0!1!2.8 解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X,那么X 3(180,0.01) o依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于099,即P(X 0.99 ,也即P(Xm+1)0.01因为“180较大，p=o.oi较小，所以X近似服从参数为入=180x 0.01 =1.8的泊松分布。查泊松分布表

3、，得，当n?+l=7时上式成立，得m=6o故应至少配备6名设备维修人员。100015002.9 解：一个元件使用1500小时失效的概率为P(1000X1500)=产。100% =1000 X2设5个元件使用1500小时失效的元件数为匕那么丫3(5)。所求的概率为P(y=2) = C2(1)2 x(2)3 =52 = 0.3295 3335精品文档2.10 (1)假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，那么该地区每天供电量缺乏的概率 为：?0,8 XW112x(1 x)2dx=(6x28X3+3X4” = 0.0272 0.80.8(2)假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，那么该地区每天供电

4、量缺乏的概率为：P0.9 X 0解得K的取值范围为-8,-1 4,+00,又随机变量Ku(24)那么有实根的概率为-1-(-2)+ 4-3 1p =4-(-2)31212 解：X-P(A)= P(-)PX100 =卜 1dx =wo = 1_e7r e 200200山0 2000PXN300 =1 e-志dx=c鼎8 =e-l 300 200300(1) P100X300= f300 e-c/x=ewl300 = 100 200100_j _i _ 3PX 100,100 X 300= PX 100P100 X10) =E0.5e-0 5xdx=-e-0 5x+s = e-51010又设282

5、人中打 超过10分钟的人数为匕那么Y8(282, e-5)。精品文档因为“=282较大，P较小，所以y近似服从参数为九二282x6-5 2 1.9的泊松分布。所求的概率为p(y2)= 1 _p(y=o)_p(y= 1)=1 - e-19-1.9e1.9 = 1 一 29e-19 = 0.56625解：(1)P(X105) =产110)=(_0 42)= 1 _(0.42)12=1 - 0.6628 = 0.3372尸(100Xa = - PX a 0.01PX o,99a-170= 2.3362.19解:X的可能取值为1,2,3。A因为 P(X = 1) = . = _7 0.6 ； P( X

6、 = 3) =1 _ j_ = 0.1 ；C? 10C7 W55P(x =2) = 1-0.6-0.1 =0.3所以x的分布律为X123P0.60.30.1x的分布函数为精品文档0 x 10.6 1 x2FM = 0.9 2x3X.2.20(1)兀Py=0=PX=_=0.22PY=兀 2 = PX = 0+ PX=ti = 0.3+ 0.4 = 0.73兀PY = 4兀 2 = PX = = 0-12丫0兀24兀2q0.20.70.1(2)PY= -1 = PX= 0+ PX =兀 = 0.3+ 0.4 = 0.7713兀PY=1=PX =_+ PX = = 0.2+0.1 =0.3Y-11q

7、0.70.3i2.21 (1)当1x1 时，/(x) = PX = 1=0.3当1 W x 2 时，F(x)=PX =-1+ PX = 1= 0.3+ PX = 1= 0.8PX=1 = 0.8-0.3 = 0.5当 x N 2 时,F (x) = PX = -1+ PX = 1+ PX =2= 0.8 + PX = 2= 1pX=2=10.8 = 0.2精品文档精品文档(2)PY= 1 = PX =1+PX = 1 =0.3 +。.5 = 0.8PY=2 =PX =2=0.2(1)设Fy(w, 4(y)分别为随机变量丫的分布函数和概率密度函数那么y+i尸(y) = Pyy = P2X7 y=

8、PX=2 -=e 2dx(小2 y+1,1y2 -oo J2 兀(y+i)28 y e(-oo,oo)(y+i)28 y e(-oo,oo) 一( 2 片)丁一1对F (y)求关于y的导数，得f (y) =e 2 (r)=/ ?设Fjy),3)分别为随机变量丫的分布函数和概率密度函数，那么 当 y40 时，F(y)=PYy=Pe-x 。时，有()= = -x = In J 1 xlF y PY y P e y P X y P X y -=2,-ny J2n对尸(y)求关于y的导数，得精品文档I 1_(-lny)2 f 1_(lny)2 y0/e 2 (- Iny) = c 24(y)= 万反y

9、0y 0 设Fy（y）, f（y）分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，那么当 y0 时，F (y) = PYy= PX2 0时，F (y) = PK y= PX2 y= PX 1 （）2，_ f 1 _（lny）2y）=衣，2 雨 E 2（-6）=环e 21 0 X7U2.23 V X U (0,兀)fx(x)= 兀 0其它(1)当21n兀y 00时F(y) =Py= P2lnXy= Pln X2训=P0 = 0当一 oo y 21m 时F(y) =PYy=P2nXy = Pln X 2y = PX 2 ey= PX Je7 = el _dx Y0兀对3求关于y的导数，得到小）=加1 /

10、-00 y-21n兀2k 221n 兀 y oo精品文档精品文档(2)当 yl 或 yWT 时,F(y) = PYy = PCOS Xy= P0 = 0 Y当_1 ) 1 时= PYWy = PcosX arccosy = in l_dx Yarccos y 兀对方(y)求关于y的导数，得到 Y-1 (arccosy)=1y) = 717ijl y2y 0其它（3）当y2l或丫40时/（回=熠丫 =25小*、=20 = 0Y当 0y1 时，.F (y) = PY y = Psin Xy = PQ X arcsin y+ P兀- arcsin yXn0 兀 兀-arcsin y兀0 兀 兀-ar

11、csin y兀对尸（y）求关于y的导数，得到Y1，12c 4I _arcsiny_（兀 arcsiny），=Q y.：（）=1兀兀J-产0其它第三章随机向量3.1 P1X 2,3Y 5=F(2,5)+F(1,3)-F(1,5)-F(2,3)= _J_128精品文档3.2(3)P(X,y)QdJfJ(6x y)dx = J1(6-y)x- 12卜-Zy00 99 o20=J Ji( Jy2 6y + 51)力=l(ly3- 3y2 +5y)k=L9 上9 o 229 62 o 9 3 273.5 解：(1)/(y) =fvfv2e-(2u+v)dudv = f - e-vdvx2e-2udu =

12、(一一卜)(-e-2 卜)二(1 一 e-y)(1-e-2x)0 00000(2)p(y wx)= 1 J”2e-(2x+y)dxdy = f x 2e-2xdx x e-dy = J2e-2x-e-y x)dxf ( 22 1=J 2e-2x(1 = J 0(2e-2x 2e&)办=(e-2% 卜)+ e-x | = 1 _= _oo03 o 3 3解：如2+旌旬=7+二舛乃叱君春二x2+y2a2_ j 271 0 j 6/16?(1+r2)= - 1 x27l X 11 = 1 一 1_ 2o o 兀(1+-2)2兀2(1+r2)01 + Q2 1 + Q2精品文档参见课本后面P227的答

13、案3O (x)=J /(X, y)dy = J3o JX oIi3_xy2dy = _xo2/(%, y)dx = 2y2dx = 3yo2x 0x23y20 Wy (1/(y)= 1 或x 2x - _x2丫 )，24.8m1-2丁+1何),22f (x) = 0 1或00y 1 或y0时，X,y) = O ,43 = 0当 时，/ (y) = Ji4.8y(2 x)dx = 4,8y2x1问卜=4.8y1+ )何2 )，=2.4y(3_ 4y + y2)3.10 (1)参见课本后面P227的答案精品文档 &/)； 0x16. f (x)=，2x 0 其它 iol-x) 0 x 1其它6dx

14、 0 y 1 (6(p-y)0 y 1. 其它 0 其它3.11 参见课本后面P228的答案参见课本后面P228的答案3.13 (1)1(X2 +000 x1 2 0 x1I 2x2 + x=13其它其它孙J(X2 + )dx0y23其它1 yQy2 += 3 6、0 其它0 x 1 6x2+2xy 0 xoX孙 Qy2所以/ 3%)YX03其它3x+yQy26% + 2其它0精品文档A,B,c中恰有一个发生。ABCu ABCu 4BC ；a,b,c中至少有两个发生。ABj ACjBC ；a,b,c中至多有一个发生。AHuACuBC；a。Bo C中至多有两个发生。ABC(8) A,B,C 中恰

15、有两个发生.；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3设样本空间。；|owx艾，事件/A 二0.5xl,8=0.8具体写出以下各事件： /48。(2)A- B o (3)A-Bo (4)/Au B(1) /48=加.8 x1 ；(2) /4-8%|0.5夕(0.8；(3) A- B= x0.5)0.8x4u B= x 0.5o1.6 x 21.6 按从小到大次序排列门(A), P(Au B), P(AB), P(A)+ P(8),并说明理由.解：由于八814，之(八。8)，故PGB)vP(GwPGuB),而由加法公式，有:P(AuB)sP(A) + P(B)1.7解：昆虫出现残翅

16、或退化性眼睛对应事件概率为：E) = P(W) + P(E) - PWE) = 0.175精品文档PY wpX=x)p Y=y iiii所以X与Y不独立3.15由独立的条件pX =3=pX =x 尸 r=y那么123X的边缘分布1161911813213ab1+a+bY的边缘分布121 a+91b+最1PX = 2；y = 2 = PX = 2PY =2PX = 2;Y= 3 = PX = 2PY =32 pX = i = l可以列出方程精品文档39(1 +) +(2 + b) = b1831 1._ +_ + a + b= 3 3a Q,b 0%0x2(3尸0 3 13.16解(1)在 3.

17、8 中 fxM = 2/ (y)1其它K其它3当0xV2,时，f(x)f (y) = -xy2=f(2或x0 时，当 y1或y2 )w/(x,y)，所以X与Y之间不相互独立。3.17 解：f (x) = y)dy = xe-x 1 dy = xe-x精品文档f (y) - J+0O/(x, y)dy - dx= 18o (1 + y (1 + )2f (%),/ (y) = xe-x 1=/(%,y)x y (1+y)2故X与Y相互独立3.18参见课本后面P228的答案第四章数字特征4.1 解：(X) = Zxp-i if(y)=Eyp = 0.9i i甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零

18、件次品数，又两台机床的总的产量相同乙机床生产的零件的质量较好。4.2 解：X的所有可能取值为：3, 4, 5PX = 3=0.1C 3 5pX = 4=/=,35C2 PX=5 = u = 0.6 5E(X)=Zxp =3x0.1 + 4x0.3 + 5x0.6 = 4.54.3 参见课本230页参考答案4.4解:精品文档PX = /? =p(1 - p)-1, n = 1,2,3E(X) = E x p 5即(1-)-1= P _1.一 (1 P)2 一万i=14.6 参考课本230页参考答案4.7 解：设途中遇到红灯次数为X,那么X3(3,0.4)E(X)= = 4xO.3 = 1.24.

19、8 解+8E(X) = fxxdx1560 筋 3(fio1二亍+ -j-(x-300Q)xdx01500=500+1000=15004.9 参见课本后面230页参考答案4.10 参见课本后面231页参考答案4.11 解:设均值为日，方差为。2,那么x-N( Lo 2)根据题意有:P(X96) = 1-P(X96)= 1_P(X-N96-72) o o=1-= 2.3%=0.997,解得t=2即。=12精品文档精品文档所以成绩在60到84的概率为P(60X84) = P(60-72 X-pi 847212 o - 12 ,=-(-1)=2-1= 2x0.8413-1=0.68264.12 (%

20、2)= 0 x 0.4 +hx 0.3 + 22 x 0.2 + 3zx 0.1 = 2E(5 X 2 + 4) = 4 x 0.4 + (5x 12 + 4) x 0.3 + (5 x 22 + 4) x 0.2 + (5 x 32 + 4) x 0.1 = 14E(K) = E(2X) = rixe-xdx = 2rxd(-e-x) = 2-xe-x+ r e-dx4.13 解：。o。= 2(-67)1=2oE(Y) = E(e-zx) - e-2Xe-xdx =5=一=小00304兀Ri4.14 解：V =J,，/X、471( )3.兀E(V) = E( ) = E(_X3尸卜_X336

21、a 6设球的直径为X,那么：/（X）= j J ax y05E(XY) = JJ /(x, y)xydxdy= jj 12x S3dxdy =J1J V12x y3dydx = _o o20x10x)8 =，(5 + 1) = 43 553534.18, 4.19, 4.20参看课本后面231, 232页答案4.21设X表示10颗骰子出现的点数之和，X (1 = 1,2,.10)表示第i颗骰子出现的点 I数，那么x=*x,且X,X,X是 i1210Z=1111 21独立同分布的，又E(X) = 1x_ + 2x_ + 6x_ = M,666 6所以&X) = E(Ex ) = e(X )=10

22、x 21 =35i=1i=1i=1ii 6精品文档精品文档参看课本后面232页答案4.22 E(X2)= Ox 0.4 +12x 0.3 + 22x 0.2 + 32x 0.1 =2O(X) =4x2) (X)2 = 212 = 1E(Y2) = Ox 0.3 +I2x 0.5 + 22x 0.2 + 32x 0 = 1.3d(y)= E(y 2)囚 y)2= 1.3 - 0.92 = 0.49 f o 1 J f 4/ 14 119 r 11. 1 11 4(X2)= J X2 +J X2(_x + 1)dx= _X4 +_元4 +_X3 = 1+ _= _0 42416 01632-314

23、2D(X) = E(X2)_ 囚 X)2=-4=00f-1 -1 x 10其它Var(X) = 1(%2)-(%)2 =f1 号办一jcJx2-i22Jx1JJx1 J JY0其它=p一1 y 1 其它Var(Y) = E(/2)-E(y)2 = J1_ydy2-i2马2=X 1. V3 1 2.X J- V2 1 =1.2 3 .i 2 2- 344.26 因为 XNO4),Y-U(0,4)所以有 Var(X)=4 Var(Y)= 54 16故：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+ -= o o精品文档Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)= 4x4 + 9 =

24、2834.27 参看课本后面232页答案(Z)=后百 + 二+乂)= 己)+ 昂 +. . , + 仇上) n nn(x )+1e(X )+ +=12n n YlD(Z)=D(D(Z)=D(X+X+-+X XXX2= 0(寸)+ 0(-) + + 丁)nrlflR111102= _(X)+ 夙 X) + . + _E(X)= 一 02*= 2172222 n2n后面4题不作详解第五章极限理解：用x表示每包大M的重量，那么E(X ) = 11=10,Z)(X ) = 02 =0.1用 X N5国O2)= N(100x10,100x0.1) i/=1勇X-碍 Ex -100x10 x-1000Z

25、= -W =_J=4=N (0,1 )100x0.1 ypOQQn innn 2 X-1000P(99。见X .1Q10) = P(99Q-10Q0.JOWIOOQM 炳1010-10001010-1000L L L=皿)-(-=)=0(710)-(-匹=2中(炳)-1yfO85)=1-P(勇X 85)=1_p(对 /8590)i=1i=1=1一(-?)=皿!)=0.9525 33精品文档方法2：用X表示100个部件中正常工作的部件数，那么X 8(100,0.9)E(X)= 100x0.9 = 90 D(X) p) = 100x0.9x0.1 = 9X Nnp, np-p) =?/(90,9)

26、 Z= j - =X - 90 N(0,1) - p 35X np X - 90 八八Z = =N(0,1)J切(1-3Y-90 85-90P(X 2 85) = 1 - P( X 85) = 1 - P( )33=1(一?)=皿5=0.9525335.6略第六章样本与统计证明：由X=aX+b可得，对等式两边求和再除以n有XY Y(aX+b)i=1 = i=1nn由于n i nZ=1Z=1Z=1精品文档(2)由于事件IV可以分解为互斥事件IVE,IVE,昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛对应事件概率为：P(PVE) = P(H/)-P(IVE) = 0.1昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛的概率为：P

27、(W = 1 - P(IVu E) = 0.825.1.8 解：由于 ABA,ABB ,故 P(AB) P(A), P(AB) 解8),显然当，q 8 时 p(ab) 取到最大值。最大值是06(2)由于尸(88)=尸G)+P(B) 尸(AuB)。显然当尸(Au 8)=1时P(AB)取到最小 值，最小值是04解:因为P(AB) = 0,故P(ABC) = 0.A至少有一个发生的概率为:P(Au Bo C) = P(Z) + 尸(B) + P(C) P(AB)_ P(BC) P(AC) + P(ABC) = 0.7解(9)通过作图,可以知道,P(AB) = P(Au B) - P(B) = 0.3

28、(10) P(AB) = 1 尸(68) = 1 (尸(八)一尸(A B) = 0.6(3)由于P(，B) =尸(7VB)=1 - P(4dB)=1 (尸(Z)+P(8) P(4B)=1- P(A)- P(B)+ P(AB)P(B) = 1- P(A) = 071.11解：用勺.表示事件“杯中球的最大个数为个” /=l,2,3o三只球放入四只杯中，放法有 4x4x4 = 64种，每种放法等可能。精品文档所以由可得二X又包n i n Z=1n2 n26.3.2 因为 Z(y-r)二。.产=Z(x/)- ax+bZ=1/=1/=1=X X 2 + 2nabX + nb2 (* X2 + 2nabX

29、+ 人2) ii=1. .()=2乂2_2刀2 = 0 X2_Jf_2 iiz=1f=1=q(X2_2x.X+X2)IIZ=1= qZ(X,X)2=(H 1) 2 S2=(一1) S 2Y所以有= CI2S2YX6.2证明:e(均以ni ni=11 V* iZ, O2012Var(X) = Var( X)=心-2 ni=1精品文档C (Xj-1 T Y V v6.3 (1)2= a I =2L(A2-2A +工2)n -1 n -1i=l=_(XX2_2ZX + 用 2)n -1/，i=l= _(X22XX+不)n -1ii=l=J_(XX2一 不) n -1ii=l(2)由于V(X ) =

30、E(X 2)_ (石(X )2iii所以有 E(X2) = (E(X ,)2 + Vtzr(X )=母+。2 z1iE(X2)=(E102 + Mar()=田 + 2nn02E(E(X .)?)= (囚+0 2)_/7(曰2 + ) =(H -1)012曰X(x*)2两边同时除以(n-1)可得Eg)=。2即 e(S 2)=0 2n-6.4 同例可知P|-|Li|0.3右2(一仃)-1 = 20(0.3)-1 = 0.95o得(0.3如)=。.975查表可知。.3声=1.96又n Z根据题意可知n=43解(1)记这25个电阻的电阻值分别为用X2 X5 一物,它们来自均值为U=200欧姆，标 准差

31、为。=10欧姆的正态分布的样本那么根据题意有:精品文档P199X202 =P 199-200 X-日 202-200叫 F10/4= P-0.5_ Ho/6标（1） （一0.5）=0.5328(2)根据题意有pgX5100）ii=lpgX5100）ii=lX- LI=P25e 5100 = P_ 2 X （2） = 0.97726.5 解：(1)记一个月(30天)中每天的停机时间分别为打%必0,它们是来自均值为此4小时，标准差为60.8小时的总体的样本。根据题意有：1-4P1X5 = PX-|n5-40.8/V30 o/冉 0.8/月=口20.54 二6.846 o/Jnp (6.846) -

32、0(-20.54)X 1(注：3)当6时，3)的值趋近于I,相反当 -6时，其值趋近于o)(2)根据题意有：pX 115 = P3OX 115 = P_L14 ” (1.14) = 1一(1.14) = 0.1271ia/Vni=lX6.7证明：因为贝!J,随机变量T 二7一的密度函数为VY/ n精品文档200 1 00显然f(T)= 7(0 ,那么/为偶函数，那么E(T) = P/(功力=f+ 卜1 f(T)(T)出 + 1 f tdt = -P+ P = 0-00-oo6.8 解：记 |i = L50,。6.8 解：记 |i = L50,。二 25,贝！j xn(日户2),n=25 故P1

33、40X147.5 =140-150 -JLI P_ _ _147.5 -15025/05 o/625/姆5= P_22L-1.6 = 1-PX1.6=1pFo/百 0.5/V100=1- P产.2 o/4x 1-0(2)= 1-0.9772 =0.0228精品文档(2)PX/Vn 0.5/V100 a/Vn(3)PL2WXW1.6 = P L245 Xpi 13 = 1-PX 13 = 1-(1)依题意有= 1-0.8686 = 0.1314(2)要求样本的最小值小于10概率，即5个数中至少有一个小于10的概率，首先计算 每个样本小于10的概率：Xu in i?p = P(X 10) = P(-i)= i-p(x = o)= i-CopoG-