概率论与数理统计习题及答案----第3章习题详解.docx

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1、概率论与数理统计习题及答案第3章习题详解(2) x与y是否相互独立？【解】(1) x与y的联合分布律如下表345PX = xi111C? io52 2 c7=io53 3 c7=io5610201 1c7=io52 2 c7=io53103001 1C7=W51TOPy-yi1103W6Topx= ipy=3=_lxJL=wLpx= i,y=3, 10 10 100 10故x与y不独立口 .设二维随机变量(x, y)的联合分布律为0.40.80.40.80.150.050.300.120.350.03 x与y是否相互独立？【解】(1) x和y的边缘分布如下表PY=yjBocker(2)因0.4

2、0.150.300.350.80.80.050.120.030.2PX = xi0.20.420.381 7 ipX= 2 Ry= 0.4= o.2x 0.8 = 0.16 w 0.15 = P(X=2,Y=0A),故x与y不独立14.设x和y是两个相互独立的随机变量，x在(0, 1)(0, 1)CD上服从均匀分布，y的概率密度为A (I)=卜/2, y”|0, 其他求x和y的联合概率密度；【解】(1)因 1，0%1,f (x)=x 其他；/(y)=Y1 _z2e 20,其他.设含有a的二次方程为2+2X+y=0, 试求a有实根的概率.0x0,于5 y)X,y独(x)M 3 = ! 2e-y/

3、2 X r 0,方程 2 + 2X. + L。有实根的条件是A = (2X)2-4K0Bocker故X2Y9从而方程有实根的概率为:PX 2 Y= n /(x, y)dxdy%2 y=f1dxf x2J_e-/2dyo o 2=1-服及-（0）-q -|44515.设x和y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设x和y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为100010001 x210,x1000, 其他.求2=聚/的概率密度.【解】如图,Z的分布函数x尸（z） = PZ z =P z当把0时，殳)=。(2) 当 0z2型工+(103 10e4 1n+8 2-_ dy=1_io3(y2Z

4、y3 J2z即f 112z/(z)，Z 20,z21,0 z 1,0 z 180Pmin(X,X , X, X ) 218OX 之间独立PX N11234PX 1801 PX 180= 1-PX 180yi-PX 180yi-PX 180yi-PX 180180-160 评= 1-PX 180卜二| 1|20111 L 【 JJ二1 (1)卜=(0.158)4=0.00063.17 .设x, y是相互独立的随机变量，其分布律分别为PX=k=p Qk), k=0, 19 2,，Py=H=q (r), r=0, 1, 2,.证明随机变量z=x+y的分布律为PZ=i= p（k）q（k），i= L 2

5、, k =o【证明】因X和y所有可能值都是非负整数, 所以z=i = x + y=。=x =o,y=，|jx=i,y= i-1|J 四=。=。于是BockerkY=i-kkY=i-kpz =， = Xpx = k、Y = i%x,y相互独立 S px =k=Qk=Qk=Q=X p(k)q(i - k) k =o.设x, y是相互独立的随机变量，它们都服从 参数为n, P的二项分布.证明z=x+y服从 参数为2% p的二项分布.【证明】方法一：x+y可能取值为o, i, 2, In.尸X + y =哥= pX= i,Y=k-ii=Q= p(X=O PY=k-ii=Q立i=Q立(npiqn-inp

6、k-iqn-k+ipkq2n-kpkq2n-k，均服2n方1 2 n从两点分布(参数为p),贝(IX= + +12nY=u112nXY=u + + + + +12n 12Bocker布.所以，x+y服从参数为（2的二项分19,设随机变量（x, y）的分布律为yr o1345012300.050.010.050.010.050.010.060.010.070.090.020.060.080.030.050.060.020.060.052030.040.050.04(1) PX=2 | y=2, PY=3 | X=0(2)求 V=max (X,y）的分布律;(3)求 t/=min (X,y）的分布

7、律;(4)求w=x+y的分布律.PX =2Y = 2= PX =2,y=2 PY=2PX=2,V = 2I5 PX=i,Y = 2i=Q0.05 _ 1 0252BockerPY = 3X = 0Y= X =0PX=0?x = o,y=m*x = o,y = /=odOl三0.03 3(2)尸丫= = pmax(X,F)= iPX= z,K z+ PX i+ PX i,Y= i= ZpX= i,Y=Q+ Z PX=k.Y= i07U=min(X,y)心08W=X+ 0 1BockerP 0 0.0 OeO Oel 0.1 02 0.1 Oel (H)Bocker26394925y）在屏幕上服从

8、均匀分布.求 pyo I yx；(2) 设 M=maxX, Y9 求 PM0.yRR x()y=x题20图【解】因（x, y）的联合概率密度为f(x,y) =兀R2,X2 + y2o|yx二py o,yXTH /(x,y)do/(x,y)doyx兀/40 兀RJ：7rde Jt汨厂n/403/8 3l/2 4(2)PM O = Pmax(X,y)O= 1 -Pmax(X,Y)Bocker相聿论与会般计灯鼓及冬索-一第目曳详解习题三1 .将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正 面的次数，以y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出x和y 的联合分布律.【解】x和y的联合分布律如

9、表:X0123101113cJrex2x2 = 81 1 1Ctl2x2x2 = 3/80318001111-2XX=82,盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以y表示取到红球的只数,求X和y的联合分【解】x和y的联合分布律如表:2C2C23口_2C47C2 C2, 3n 2,=C473535C3 cl 3n 2, C4735C3 clC4735Bocker= i-pxo,ro=i-If 应。三工4 4xOyO21 .设平面区域D由曲线 尸1/x及直线所围成，二维随机变量（x, y）在区域d上服从均匀分布，求（x, y）关于x的边缘概率密度在X=2

10、处的值为多少?yO e2 x题21图【解】区域D的面积为s-J-dx = lnk2（X，V）o J x的联合密度函数为,1 xe2,0y-/(%/) =42xo,其他（x, y）关于x的边缘密度函数为4 /x Ldy =/ (%)=)o 2x 。，,1 x0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的 概率为p （0pl）,且中途下车与否相互独 立，以y表示在中途下车的人数，求：（1） 在发车时有n个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X, Y） 的概率分布.Bocker【解】 PY=mX=n=Cm pm (1 p)n-m ,0 K 772 W ，/I = 0,1 ,2,n(2)尸

11、x = n,Y = m = PX = it = m X = ne-九=Cm pm (1 P)n-m X ，,2 m072, = 0,1,2, .n11n23 .设随机变量X和y独立，其中X的概率分布为XH1 23而y的概率密度为八y),求随10.3 0.7)机变量u=x+y的概率密度g(u).【解】设方是y的分布函数，那么由全概率 公式，知gx+y的分布函数为G()=PX+ Yii = Q.3PX+ YuX= 1+0.7PX+ YuX=2= 0.3PYu-X= 1+0.7Py w-2 | X=2由于x和y独立，可见G()= 0.3PY u -1+ 0.7Py u-2= 0.3F(-1)+0.7

12、F(w-2).由此，得u的概率密度为g() = G()= 0.3F(-1)+ Q.7Fu- 2)=0 .J3 u(- 1+) JO 47- (25. 25.设随机变量X与丫相互独立，且均 服从区间0,3上的均匀分布，求PmaxX,KW 1).解：因为随即变量服从0, 3上的均匀分布,Bocker于是有/(%)了 10,0x3,x0,x3;Qy3, /(y) =，30, y3.因为X, y相互独立,所以/(X, 丁)= 9,0x3,03,推得推得0, x 0, y 3, y 3.PmaxX,K 1=，926.设二维随机变量（X, y）的概率分布为0.20.2其礼期望E(X)=- 0-2,Py0|

13、X0=0.5,记2=*+丫,求:(1) a,b,c 的值；BockerZ的概率分布;(3)(3)PX=Z.(1)由概率分布的性质知,a+b+c+Q,6=a+b+c+Q,6=即 a+b+c = 0-4.由中 E(X) = 0.2ci + c 0.1PY00=PXQ,Y0PX 0+ Z? + 0.1 cu. U.oa+/? + 0.5解以上关于a，a + b = 0.3b，c的三个方程得 = 0.2,Z? = 0.1,c = 0.1(2)Z的可能取值为-2, -1, 0, 1, 2,Pz = -2 = PX = -1,r = -1 = 0.2 9pz=-i = px=-i5y=o+ px=o,y=

14、-i= 0.1 9PZ=Q = PX=-,Y= 1+ PX=0,Y= 0+ PX= 1 ,y = -1 = 0.3 9pz=i = px=i,y=o+ px=o,y=i = o.39pz=2 = px=i,y=i = o.i,即z的概率分布为z-2- 1012p020.103Bocker0.30.1(3)BockerBockerPX=Z = Pr=0=0.1+Z? + 0.2 = 0.1+ 0.1+0.2 = 0.4红,2白）=C2 c2/C4=L2口 27353.设二维随机变量（x, y）的联合分布函数为 F （x, j） =k/v” sinxsin y,。22o,其他.求二维随机变量（x,

15、 y）在长方形域 n n冗内的概率. 0 x_,_y_I 4 6 3J【解】如图 P0 X 匕三 y 0, y 0,0,其他.求(1)(2)(3)常数A；廨1(1)廨1(1)由 f(x,y)dxdy =1+00J物AAe-(3A+4y)dxdy= !得(2)8-00A=12由定义，有厂(%, y) = J J f(u, v)dwdv00 00(1-e-3x)(1-e-4y)0.1 ，(3)poxi,oy 0,x 0, 其他= poxi,oy2J1J212e-(3x+4,)dxdy = (1-e-3)(1-e-8) 0.9499.5 ,设随机变量(x, y)的概率密度为随机变量(x, y)的分布

16、函数; pox 1, oy2.f(X, j) =J曲6-1-y), 0x2,2y4,1 0.其他.(1)确定常数k；(2)求 pxvi, y3；(3)求 Pxvl.5；(4)求 PX+Y4.【解】(1)由性质有Bocker卜/(x, y)dxdy = f2f4Z:(6-x-y)dydx =8k = 1,-co -oo0 2故 R = 1PXPXi,r3=I1 J38 88f(x, y)dydx=1小 Jk(6 一 x 一 y)dydx =:0288JJ /(x, y)dxdy如图y)dxdyA1 .5=J15dxj41(6-x-y)6y =乌. px+y4= 11X+Y0,0,其他.求：x与y

17、的联合分布密度；（2）p困BockeryyO0.2=x题6图【解】（1）因X在（0, 02）上服从均匀分布,所以X的密度函数为f a)=3.2 X0cx 0.2,0, 其他.5e-5y, y0, /(y)=1y 0, 其他.所以如金画一也（）!ox5e-5v10，125e-5.y3 0 x 0,o, 其他()P(Y X) = JJ /(x,25e-5.vddyy 0, y 0,其他.求（x, y）的联合分布密度.Bocker【解】【解】d2F(x.y) f 8e-y),一 二 O,y 0, 其他.xO,y 0, 其他.8.设二维随机变量（X,y）的概率密度为O,f(X, j)4 8y(2a 0

18、xlOy1 O %求边缘概率密度.【解】(x)=J/(x,y)dy X-00.Jx4.8y(2-工妙 cO0xIy)=hfy)dxY-004.8丁(2於 2.4y(34y + y2)id 1。0yyy9 .设二维随机变量（x, y）的概率密度为e-y, 0 x Q 其他.【解】Je-ydyXO00 =卜口 f(x,y)dx一8Bocker| e-dx)00，| e-dx)00，ye-x, yo,0, 其他.y=xyi题10图.设二维随机变量（X, V）的概率密度为f (%， y)=cx2y, X2y o,f (x, y) =, o, x, 0 x 1, 其他.Bocker求条件概率密度/(J | X), / (x | J).YXX Y题11图【解】卜 1dy=2x, 0 cx 1,I -x10,其他.1 1dx = 1 + y,/(y) = p 丫-oo一)y0,-1 o,o1, 其他.所以/(% y)f (田幻=f (x 及)=)xlr 4I3Vx1,.=12x0,其他.1y，yx1, 1-y1 , -1 + y0, 其他.12 .袋中有五个号码1, 2,3, 4, 5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X,最大(1)求x与y的联合概率分布;Bocker