2022年高中数学数列知识点和常用的解题方法归纳.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数列学问点和常用的解题方法归纳一、等差数列的定义与性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义：a n 1a nd d为常数 , a na1n1 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差中项：x,A , y成等差数列2Axy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前n项和 Sna1a nn 2na1n n1d2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

2、- 欢迎下载精品_精品资料_性质：a n是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）如mnpq,就amanapaq .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2 ）数列a 2 n 1,a2 n,ka nb 仍为等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn ,S2 nSn ,S3nS2n , 仍为等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）如三个数成等差数列,可设为ad,a,ad.amS2 m 1（ 4 ）如 an , b n 是等差数列 Sn , Tn 为前 n项和,就.bm

3、T2 m 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5） a n为等差数列San2bn（ a, b为常数,是关于n的常数项为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n0 的二次函数）Sn 的最值可求二次函数S nan2bn的最值.或者求出a n中的正、负分界可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项,即：an0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当a10, d0,解不等式组可得Sn 达到最大值时的n值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 10

4、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当a10, d0,由an an 10可得Sn 达到最小值时的0n值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：等差数列a n, Sn18,a nan 1an 23,S31,就n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（由anan 1an 233an 13, an 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3又Sa1a3 2 33a121, a23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1可编辑资料 - - - 欢迎下

5、载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 Sna nna 2a n 1 n11 n318n27）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222二、等比数列的定义与性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义：a n 1q（ q为常数, q0）,aa q n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

6、_n12a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等比中项：x、G、y成等比数列Gxy,或Gxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na1 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前n项和： Sna1 1qnq1q（要留意 . ）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质：a n是等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）如mnpq,就am anap aq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）Sn ,S2nSn , S3 nS2 n , 仍为等比数列可编辑资料

7、- - - 欢迎下载精品_精品资料_三、求数列通项公式的常用方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、公式法2、 由Sn 求an . （n1时, a1S1 ,n2时, anSnSn 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、求差（商）法111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：a n满意a12 a 2,22n a n22 n51可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： n1时, 1 a215, a14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2 时, 1 a1 a,1a2 n1

8、52可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_212 2212 n 1n 1n 114 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12得：n a n22 , an2, an2 n 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习数列a n满意 SnS n 15an 1 , a134,求 a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（留意到aSS代入得：S n 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n 1nSn又S4 , S是等比数列,S4 nn11nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

9、品资料_n2时, anSnSn 1,3 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、叠乘法a n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如：数列a n中, a13,求 a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： a2

10、 a 3 ,a1a 2a na n 13an1 2 ,23n1n1 , a n1na1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又a13, a nn5、等差型递推公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由anan 1f n, a1a0 ,求an ,用迭加法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2 时, a 2a1a 3a2f 2f 3两边相加,得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a na n 1f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a

11、na1f 2f 3,f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ana0f 2f 3,f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习数列（ a na n, a1 1 3 n21, a n1 ）3n 1an 1n2 ,求 a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、等比型递推公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a nca n 1dc、 d为常数, c0, c1, d0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可转化为等比数列,设a nxc an

12、 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ancan 1c1 xd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令c1xd, xc1dd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a n是首项为 a1c1, c为公比的等比数列c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d a nc1d c n 1a1c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ aadc n 1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1c1c13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

13、资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列a n满意 a19 , 3a n 1a n4 ,求 a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ann 1841）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、倒数法例如： a1

14、1, a n 12a na n2,求 a n, 由已知得：1an 1a n22 an112a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111111,为等差数列,1,公差为a n 1a n2ana12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11n a n1 121n122, a nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、求数列前n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和,使之显现成对互为相反数的项.n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： a n是公差为d的等差数列,求k 1 ak ak 1可编

15、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由11111d0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ak ak 1ak akddakak 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 1 ak ak 1k 1 dakak 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11111,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_da1a2a2a3anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_da1an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

16、_精品资料_练习求和： 11121,1231123,n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ a n, ,S n2）n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、错位相减法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如a n为等差数列,b n为等比数列,求数列a n b n（差比数列）前n项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和,可由 SnqSn 求S n ,其中 q为 bn的公比.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - -

17、 - - - - - - - -第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： Sn12x3x 24x 3,nx n 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x Snx2 x 23x 34 x 4,n1 x n 1nx n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12： 11x1时, Snx Snx n21nxnxx 2,xn 1nx n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

18、1x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1时, Sn123,n n1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、倒序相加法：把数列的各项次序倒写,再与原先次序的数列相加.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sna 1a2,a n 1a n相加可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sna na n 1,a2a 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2Sna1a na 2a n 1,a1an ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

19、_练习已知f xx 21x 2,就f 1f 2f1f 32f1f 4f134可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（由f xf1xx 21x 221xx 221x 2111x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原式f 1f 2f1f 32f1f 4f134可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11113 1 ）22例 1 设 an 是等差数列,如a2=3 , a 7 =13 ,就数列 an 前 8 项的和为（）A 128B 80C64D 56 （福建卷第3

20、题）略解：a2 +a 7 = a 1 +a 8 = 16, an 前 8 项的和为64,故应选C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 已知等比数列 an 满意 a1a23, a2a36 ,就 a7（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 64B 81C 128D 243（全国卷第7 题）答案： A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 已知等差数列an中, a26 , a515 ,如 bna2n ,就数列bn的前 5 项和等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于（）5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选

21、- - - - - - - - - -第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -A 30B 45C 90D186 （北京卷第7 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_略解： a 5 -a 2 =3d=9, d=3 ,b 1 = a26 , b 5 =a 10 =30 , bn的前 5 项和等于90,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故答案是 C例 4 记等差数列的前n 项和为S

22、n ,如 S24, S420 ,就该数列的公差d（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2B 3C 6D 7 （广东卷第4 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_略解： S4S2S24d12,d3 ,应选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5 在数列 an 中, an524 n, a1a2anan2bn , nN *,其中a, b 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常数,就 ab（安徽卷第15 题）答案： 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6 在数列 a 中,

23、 a2 ,aaln11 ,就a（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n 1nnnA 2ln nB 2 n1ln n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 2答案： An lnnD 1nln n （江西卷第5 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7 设数列an中, a12,an 1ann1 ,就通项an （四川卷第可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16 题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式,抓住an 1ann1中 an1 ,

24、an 系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数相同是找到方法的突破口可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_略解：a12, an 1ann1 anan 1n11 , an 1an 2n21 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 2an 3n31, a3a221, a2a111 , a1211将以上各式相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1 nnn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_加,得 ann1n2n321n1n11,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应填 nn

25、n42221+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8如 x+ 12 x的绽开式中前三项的系数成等差数列,就绽开式中x 项的系数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 6B 7C 8D 9 重庆卷第10 题答案： B使用挑选题、 填空题形式考查的文科数列试题,充分考虑到文、 理科考生在才能上的差异,侧重于基础学问和基本方法的考查,命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主, 如,例 4 以前的例题 例 5 考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特别函数的懂得.例6、例 7 考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力.例 8 就考查二

26、项绽开式系数、等差数列等概念的综合运用重庆卷第1 题,浙江卷第46可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -题,陕西卷第4 题,天津卷第4 题,上海卷第14 题,全国卷第19 题等,都是关于数列的客观题,可供大家作为练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9 已知 an是正数组成的数列,a1=1,且点（a , a）（ nN* ）在函

27、数y=x2+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的图象上 . 求数列 an的通项公式. 如数列 bn满意 b1=1 ,bn +1=bn+2an,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bn bn+2 b2. （福建卷第20 题）n+1略解：（）由已知,得an+1-an=1,又 a1 =1,所以数列 an是以 1 为首项,公差为1 的等差数列故an=1+ n-1 1=n. 由（）知,an=n,从而 bn+1-bn=2n,bn= bn-bn-1+ bn-1-bn-2 +,+（b2 -b1）+b1=2n-1+2n-2

28、 +,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_+2+1=2 n-1 . b .b-b 2=2 n-12n+2 -1-2 n+ 1-1 2= -2 n 0, b b b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn+2n 1nn+2n 1对于第（）小题,我们也可以作如下的证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ bb2nn+12n+1bn bn2n+1 2n（ bn+1 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2=1, bnn +2- b n1 = bn+1-2bn+1+2- b n1 =2n+1-2n +1-2n+1-2可编辑资料 - - - 欢迎下载

29、精品_精品资料_=2n （ bn+2n -2n+1） =2n（ bn-2n） =,=2n（ b1-2） =-2 n0,bn-bn+2b2n+1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10 在数列a中, a1, a2a2n （）设 ban证明：数列b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n 1nnn 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是等差数列. （）求数列an的前 n 项和Sn （全国卷第19 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_naaa2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_略解：（）bb =n 1n=n 1n =

30、1,就b为等差数列,b1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n , an2n1（）S1 202 21n1 2nbnnn 1nn22n 12n2nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n22n 1n,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2Sn1 212 22n1 2n 1n 2n两式相减,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nSnn 21 20212n 1n 2n2n1 = n12n1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于例 10 第（）小题,基本的思路不外乎推出后项减前项差相等,即差是一个常数 可以用迭代法, 但不行由b2-

31、b1=1,b 3 -b 2 =1 等有限个的验证归纳得到bn为等差数列的结论,犯“以偏盖全”的错误第（）小题的“等比差数列”,在高考数列考题中显现的频率很高,求和中运用的“错项相减”的方法,在教材中求等比数列前n 项和时给出,是“等比差数列” 求和时最重要的方法一般的,数学学习中最为重要的内容经常并不在结论本身,而在于获得这一结论的路径赐予人们的有益启示例 9、例 10 是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型,类似的题目仍有浙江卷第 18 题,江苏卷第19 题,辽宁卷第20 题等,其共同特点就是以等差数列或等比数列为依靠构造新的数列主要考查等差数列、等比数列等基本学问,考查转化与化归思想,考查推理与运算才能考虑到文、理科考生在才能上的差异,与理科试卷侧重于理性思维,命题设计时以一般数列为主,以抽象思维和规律思维为主的特点不同.文科试卷就侧重于基础知 识和基本方法的考查,以考查详细思维、演绎思维为主7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳