2022年高中数学知识点扫描五数列.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -五、数列一、数列定义：数列是根据肯定次序排列的一列数,那么它就必定有开头的数,有相继的其次个数,有第三个数,于是数列中的每一个数都对应一个序号.反过来,每一个序号也都对应于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列中的一个数.因此,数列就是定义在正整数集N * （或它的有限子集 1,2,3, n）上的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函 数 f n , 当 自 变 量 从1开 始 由 小 到 大 依 次 取 正 整 数 时 , 相 对

2、 应 的 一 列 函 数 值 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1, f2,.通常用a n 代替f n,于是数列的一般形式常记为a1 ,a 2 ,或简记为 an ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 a n 表示数列 a n的通项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：（1） a n 与 a n 是不同的概念, an 表示数列a1 ,a 2 ,而 a n 表示的是数列的第n 项.可编辑资料 - -

3、- 欢迎下载精品_精品资料_（2）数列的项与它的项数是不同的概念,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数, 它是一个函数值.而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） an 和 Sn 之间的关系：anS1 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SnSn 1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：已知 a n的 Sn 满意lg Sn1nnN * ,求a n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、等差数列、等比数列的性质：等差数列等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

4、假如一个数列从第2 项起,每一项与它定义的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫等差数列假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公差（比）ana n 1d nN * , n2 ,或an a n 1q nN * , n2 ,或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1a nd .a n 1a nq （ q0 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通项公式anamd=anam由错项相

5、减法推得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求和公式由倒序相加法推得Sn= q1 , Sn= q1 , Sn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用函数的思想如 a n 为等差数列a nanb ,就如 an 为等比数列anca n ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_懂得通a, b.a, c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6

6、 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项公式等差数列的图象是直线上的匀称排开的一群孤立的点如 an 为等比数列,SnAa nB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列 an , SnAn2BnC ,就 a. A. B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用函数的思想就 C. A. B.如 C0 ,说明：.（其中的系数与为互为相反数, 这是公式一很重要特点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精

7、品_精品资料_懂得求和公式 n,Sn 在二次函数的留意前提条件q0, q1 . ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 BA ,说明：.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象上,是一群孤立的点.等比数列 an , Sn3 na ,就 a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_增减性 a n a n a n 为递增数列.为递减数列.为常数列. a n a n a n a n 为递增数列.为递减数列.为常数列.为摇摆数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

8、料_等差任意两个数a, b 有且只有一个等差中（比） 中两 个 数 a, b的 等 比 中 项 为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项,即为.两个数的等差项中项就是这两个数的算术平均数.（ ab0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a na2 an ma1a na 2a n m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 a中a中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 mnpq ,就 .如 mnpq ,就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

9、精品资料_特殊当 mn2 p ,就.特殊当 mn2 p ,就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差（比） 数列的性 质在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项根据原先次序排列,构成的新数列仍旧是等差数列,但剩下的项按原次序构成的数列不肯定是等差数列.在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项根据原先的次序排列,构成的新数列仍旧是等比数列,剩下的项按原次序构成的数列也不肯定是等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： a1 ,a 3 , a5 ,.问公差为如： a1 ,a 3 , a5 ,.问公比为可编辑资料 - - -

10、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a 2a3 ,a 4a5a 6 , a 7a8a9a1a 2a 3 ,a 4a5a 6 , a 7a8a 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是数列.公差为.是数列.公比为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sm , S2 mSm , S3 mS2m ,成 等 差 数a1 a2 a3 , a 4 a5 a6 , a7 a8 a9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列.是数列.公比为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - -

11、 - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a 4a 7 , a 2a5a8 , a 3a 6a9a1a 4a 7 , a 2a5a8 , a 3a6a 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是数列.公差为.是数列.公比为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如数列 an 与 bn 均为等差数列,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

12、下载精品_精品资料_如数列 an 与 bn 均为等差数列,就 manb n仍为等比数列, 公比为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ mankbn 仍为等差数列, 公差为. man bn仍为等比数列,公比为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：（ 1）在等差数列 an 中 Sn10 ,S2 n30 ,就S3n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）在等比数列 an 中 Sn10 ,S2 n30 ,就S3n

13、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另外,等差数列中仍有以下性质须留意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）等差数列 a n中,如 anm, amn mn ,就a m n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）等差数列 a n中,如 Snm, Smn mn ,就Sm n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）等差数列 an 中,如 SnSm mn ,就am 1a m 2a n.Sm n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

14、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）如SPSq ,就 n时,Sn 最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5）如 an 与 bn 均为等差数列,且前n 项和分别为Sn 与 Tn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_amS amS 就.bmT bnT 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 6）项数为偶数2n 的等差数列 a ,有 Sna1a 2 n n aa （ a 与a为中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2 nnn 122nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下

15、载精品_精品资料_间的两项）S奇S偶S奇.S偶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项数为奇数2n1的等差数列 an ,有S2 n 12n1) a n （ an 为中间项）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S奇S偶S奇. S奇S偶.S偶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等比数列中仍有以下性质须留意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如 a n是等比数列, 就 an 0 ,|a n | 也是等比数列, 公比分别.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下

16、载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如 an 是等比数列,就 1 a n, an2 也是等比数列,公比分别.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、判定方法：（ 1）等差数列的判定方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义法：a n 1a nd 或 a na n 1d n2) （ d 为常数

17、） a n 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中项公式法：2a n 1a na n 2 an 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通项公式法：a npnq （p, q 为常数） a n是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前 n 项和公式法：SnAn 2Bn （A, B 为常数） a n 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

18、资料_留意：是用来证明 a n 是等差数列的理论依据.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）等比数列的判定方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义法：a n 1a nq 或 ana n 1d n2 （ q 是不为零的常数） a n 是等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中项公式法：2nan 1anan2 an an1an 20 an 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通项公式法：a ncq（ c,q 是不为零常数） an

19、 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前 n 项和公式法：Snkq 2k （ ka1是常数）q1 a n 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：是用来证明 a n 是等比数列的理论依据.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、数列的通项求法：（ 1）观看法：如： （ 1） 0.2,0.22 , 0.222,（ 2） 21,203, 2022, 20227,（ 2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列.可编辑资料 - - -

20、欢迎下载精品_精品资料_递推式为an 1a nd及 a n 1qa n （ d , q 为常数）：直接运用等差（比）数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递推式为an 1a nf1n ：迭加法1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：已知 a n中 a1, an 1an24n 2,求 an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递推式为an 1f n an ：迭乘法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如

21、：已知 a n中 a12 , an 1n1 a ,求 annn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递推式为an 1pa nq （ p, q 为常数）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_构造

22、法：、由an 1an 2pan pan 1q相减得qan 2a n 1 pan 1an ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a n 1an 为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、设a n 1t pa nt ,得到 pttq ,tq, 就 aq p1p1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：已知 a11, a n 12 a n5 ,求 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

23、_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递推式为an 1pa nq n （p,q 为常数）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两边同时除去q n 1 得an 1p a n1 ,令 ba nn,转化为 bp b1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_q n 1q q nqnqn 1nqq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再用法解决.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：已知 a n中, a15 , an161 an31 n21 ,求 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

24、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n递推式为an 2pa n 1qa n （p, q 为常数）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 a n 2pan 1qan 变形为an 2ta n 1s an 1ta n ,可得出stp解出stq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s, t ,于是 a n 1ta n 是公比为 s的等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：已知 an 中, a11,a 2

25、2 , an 221aan 1n ,求 a n33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）公式法：运用anS1, n1SS, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 Sn3n 25n1 ,求a n .已知 a n 中,Sn3 2a n ,求a n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 a n 中, a11, an22Snn2Sn12 ,求 a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

26、五、数列的求和法：（ 1）公式法：等差（比）数列前n 项和公式：123n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 122232n2n n12n61 . 132333n3 nn 21 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Cnnnn（ 2）倒序相加（乘）法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：求和：Sn02C 13C 2n1C n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料

27、- - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知a, b 为不相等的两个正数,如在a, b 之间插入 n 个正数,使它们构成以a 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_首项, b 为末项的等比数列,求插入的这n 个正数的积Pn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）错位相减法：如：求和：Sx2x 23 x3nx n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

28、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（ 4）裂项相消法：an1. a n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnk122334nn1113214315n1n2 如： S111nkn1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ S.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a n1nn1,就 Sn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5）并项法：如：求S100123499100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 6）拆

29、项组合法：如：在数列 a n 中, a n10n2n1,求Sn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、数列问题的解题的策略：（ 1）分类争论问题： 在等比数列中,用前 n 项和公式时, 要对公比 q 进行争论. 只有 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时才能用前n 项和公式,q1 时 S1na1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知Sn 求 a n 时,要对n1,n2 进行争论.最终看a1 满意不满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a

30、n n2 ,如满意a n 中的 n 扩展到N * ,不满意分段写成a n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设项的技巧：对于连续偶数项的等差数列,可设为, a3d , ad, ad ,a3d ,公差为2d .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于连续奇数项的等差数列,可设为, a2d , ad , a, ad , a2d ,公差为 d .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于连续偶数项的等比数列,可设为, a , a , aq, aq 3 , q 3q,公比为q 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于连续奇数项的等比数列,可设为, a , q 2a , a, aq, aq 2 , q公比为 q .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载