2022年高等数学教案函数与极限.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第一章 函数与极限目录第 I 条1. 1映射与函数 . I-4节 1.01一、集合 . I-4a1. 集合概念 . I-4b2. 集合的运算 . I-4c3. 区间和邻域 . I-5节 1.02二、映射 . I-6a1. 映射的概念 . I-6节 1.03三、函数 . I-7a1. 函数概念 . I-7b2. 函数的几种特性. I-9c3反函数与复合函数. I-11d4. 函数的运算 . I-12e5. 初等函数 . I-12第 II条12数列的极限. I I-14第 III条 13函数的极限. III-

2、19节 3.01一、函数极限的定义. III-191自变量趋于有限值时函数的极限. III-192自变量趋于无穷大时函数的极限. III-21二、函数极限的性质. III-22第 IV条14无穷小与无穷大. I V-24节 4.01一、无穷小 . I V-24节 4.02二、无穷大 . I V-25第 V 条16极限运算法就.V-27第 VI条1 7 极限存在准就两个重要极限. VI-32第 VII条18函数的连续性与间断点. VII-36节 7.01一、函数的连续性.VII-36节 7.02二、函数的间断点.VII-38可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 -

3、- - - - - - - - -第 1 页,共 44 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第 VIII条1 9连续函数的运算与初等函数的连续性. V III-39节 8.01一、连续函数的和、积及商的连续性. V III-39节 8.02二、反函数与复合函数的连续性. V III-39节 8.03三、初等函数的连续性. V III-41第 IX条110闭区间上连续函数的性质. IX-43a一、最大值与最小值. IX-43节 9.02二、介值定理. IX-43教学目的

4、：1、懂得函数的概念, 把握函数的表示方法, 并会建立简洁应用问题中的函数关系式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 44 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2、明白函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性.3、懂得复合函数及分段函数的概念,明白反函数及隐函数的概念.4、把握基本初等函数的性质及其图形.5、懂得极限的概念,懂得函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系

5、.6、把握极限的性质及四就运算法就.7、明白极限存在的两个准就,并会利用它们求极限, 把握利用两个重要极限求极限的方法.8、懂得无穷小、无穷大的概念,把握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限.9、懂得函数连续性的概念（含左连续与右连续）,会判别函数间断点的类型.10、明白连续函数的性质和初等函数的连续性,明白闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）,并会应用这些性质.教学重点：1、复合函数及分段函数的概念.2、基本初等函数的性质及其图形.3、极限的概念极限的性质及四就运算法就.4、两个重要极限.5、无穷小及无穷小的比较.6、函数连续性及初等函数的连续性.7、区间上连续函

6、数的性质.教学难点：1、 分段函数的建立与性质.2、 左极限与右极限概念及应用.3、 极限存在的两个准就的应用.4、 间断点及其分类.5、 闭区间上连续函数性质的应用.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 44 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第 I 条 1. 1映射与函数节 1.01一、集合(a) 1. 集合概念集合简称集 :集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用 A, B,

7、 C.等表示 .元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合 M 的元素表示为 aM.集合的表示 :列举法 : 把集合的全体元素一一列举出来.例如 A a, b, c, d, e, f, g.描述法 : 如集合 M 是由元素具有某种性质P 的元素 x 的全体所组成 , 就 M 可表示为A a1, a2, an,M x | x 具有性质 P .例如 M x, y| x, y 为实数, x2y21.几个数集 :N 表示全部自然数构成的集合, 称为自然数集 . N0, 1, 2, n,. N1, 2, n,.R 表示全部实数构成的集合, 称为实数集 .Z 表示全部整数构成的集合, 称为整数集

8、. Z,n,2,1, 0, 1, 2, n,.Q 表示全部有理数构成的集合, 称为有理数集 .p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Q| p qZ ,qN且p与q互质 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_子集: 如 xA,就必有 xB, 就称 A 是 B 的子集 , 记为 AB读作 A 包含于 B或 BA .假如集合 A 与集合 B 互为子集 , AB 且 BA, 就称集合 A 与集合 B 相等, 记作AB.如 AB 且 A B, 就称 A 是 B 的真子集 , 记作 AB . 例如, NZQR .不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集.(b)

9、2. 集合的运算设 A、B 是两个集合 , 由全部属于 A 或者属于 B 的元素组成的集合称为A 与 B的并集简称并 ,记作 AB,即AB x|xA 或 xB.设 A、B 是两个集合 , 由全部既属于A 又属于 B 的元素组成的集合称为A 与 B的交集简称交 ,记作 AB,即AB x|xA 且 xB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 44 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -设 A

10、、B 是两个集合 , 由全部属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合称为A 与 B的差集简称差 ,记作 A B, 即A B x|xA 且 xB.假如我们争论某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所争论的其他集合A 都是I 的子集 . 此时, 我们称集合 I 为全集或基本集 . 称 IA 为 A 的余集或补集 , 记作 AC.集合运算的法就 :设 A、B、C 为任意三个集合 , 就1交换律 ABBA, AB BA;2结合律ABCABC, ABCABC;3安排律ABCACBC, ABCACBC;4对偶律ABCACBC , ABCACBC. ABCACBC 的证明 :xABCxABxA 且 xBx

11、A C 且 xBCxACBC, 所以ABCACBC.直积笛卡儿乘积 :设 A、B 是任意两个集合 , 在集合 A 中任意取一个元素 x, 在集合 B 中任意取一个元素 y, 组成一个有序对 x, y, 把这样的有序对作为新元素 , 它们全体组成的集合称为集合 A 与集合 B 的直积 , 记为 A B, 即AB x, y|xA 且 yB.例如, RR x, y| xR 且 yR 即为 xOy 面上全体点的集合 , RR 常记作 R2.(c) 3. 区间和邻域有限区间 :设 ab, 称数集 x|axb 为开区间 , 记为a, b, 即a, b x|axb.类似的有 a, b x | axb 称为闭

12、区间 , a, b x | a xb 、a, b x | axb 称为半开区间 .其中 a 和 b 称为区间 a, b、a, b 、 a, b、a, b 的端点 , b a 称为区间的长度 .无限区间 : a, x | a x , , b x | x b , , x | | x | .区间在数轴上的表示 :邻域: 以点 a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域 , 记作 Ua.设 是一正数 , 就称开区间 a, a为点 a 的 邻域, 记作 Ua,即Ua, x | a x a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共

13、44 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - x | | x a| .其中点 a 称为邻域的中心 ,称为邻域的半径 .去心邻域 U a,:U a, x |0| xa |1 时, y1 x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如 f 1 21222 ;f 1212 ; f31 34.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(b) 2. 函数的几种特性1函数的有界性设函数 fx的定义域为 D, 数集 X D. 假如存在数 K1, 使对任一 x X, 有

14、 fx K1, 就称函数 fx在 X 上有上界 , 而称 K1 为函数 fx在 X 上的一个上界 . 图形特点是 y fx 的图形在直线 y K1 的下方 .假如存在数 K2, 使对任一 xX, 有 fxK2, 就称函数 fx在 X 上有下界 , 而称 K2为函数 fx在 X 上的一个下界 . 图形特点是 , 函数 yfx的图形在直线yK2 的上方 .假如存在正数 M, 使对任一 x X, 有| fx | M, 就称函数 fx在 X 上有界 ; 假如这样的 M 不存在 , 就称函数 fx在 X 上无界 . 图形特点是 , 函数 y fx的图形在直线y M 和 y M 的之间 .函数 fx无界,

15、 就是说对任何 M, 总存在 x1X, 使| fx | M.例如1fxsin x 在,上是有界的 : |sin x|1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 44 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2函数界.f x1 在开区间 0, 1内是无上界的 . 或者说它在 0, 1内有下界 , 无上x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这是由于 , 对于任一 M1, 总有 x1 : 0x11M1 , 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x11M ,x1可编辑资料 - -