2022年高考立体几何知识点详细总结.docx

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1、精品_精品资料_八、立体几何一、立体几何网络图：公理 4线线平行线面平行面面平行三垂线定理线线垂直线面垂直面面垂直三垂线逆定理（1） 线线平行的判定：平行于同始终线的两直线平行.假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.假如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.垂直于同一平面的两直线平行.（2） 线线垂直的判定：在平面内的一条直线,假如和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.在平面内的一条直线,假如和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直.如始终线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内全部直线.补充：一条直线和

2、两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条.（3） 线面平行的判定：假如平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.（4） 线面垂直的判定：假如始终线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面.假如两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.始终线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.假如两个平面垂直,那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面.（5） 面面平行的判定：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这

3、两个平面平行.垂直于同一条直线的两个平面平行.（6） 面面垂直的判定：一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面相互垂直.二、其他定理：（1） 确定平面的条件：不公线的三点.直线和直线外一点.相交直线.（2） 直线与直线的位置关系：相交 . 平行 . 异面 .直线与平面的位置关系：在平面内 . 平行 . 相交（垂直是它的特别情形）. 平面与平面的位置关系：相交 .平行 .（3） 等角定理：假如两个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等.假如两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角 或直角 相等.（4） 射影定理 （斜线长、 射影长定理） ：从平面外一点向这个平面所引

4、的垂线段和斜线段中, 射影相等的两条斜线段相等.射影较长的斜线段也较长.反之, 斜线段相等的射影相等. 斜线段较长的射影也较长. 垂线段比任何一条斜线段都短.（ 5）最小角定理： 斜线与平面内全部直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角.（6） 异面直线的判定：反证法.过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不过该点的直线是异面直线.（7） 过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内.（8） 假如直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于两个平面的交线.（9） 假如两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于第三个平面.三、唯独性定理：（1） 过已知点,有且只能

5、作始终线和已知平面垂直.（2） 过已知平面外一点,有且只能作一平面和已知平面平行.（3） 过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行.四、空间角的求法： （全部角的问题最终都要转化为解三角形的问题,特别是直角三角形）（1）异面直线所成的角：通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成的角.异面直线所成角的范畴：oo090 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：如异面直线中一条直线是三角形的一边,就平移时可找三角形的中位线.有的仍可以通过补形,如：将三棱柱补成四棱柱.将正方体再加上三个同样的正方可编辑资料 -

6、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_体,补成一个底面是正方形的长方体.（ 2）线面所成的角：线面平行或直线在平面内：线面所成的角为oo0 . 线面垂直：线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面所成的角为90 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜线与平面所成的角：范畴0 o90o.即也就是斜线与它在平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面内的射影所成的角.（3）二面角：关键是找出二面角的平面角.方法有：定义法.三垂线

7、定理法.垂面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法.留意：仍可以用射影法：cosS .其中为二面角l的大小, S 为内的S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一个封闭几何图形的面积.S 为内的一个封闭几何图形在内射影图形的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面积.一般用于解挑选、填空题.五、距离的求法：（1） 点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长.求它们第一要找到表示距离的线段,然后再运算.留意：求点到面的距离的方法：直接法： 直接确定点到平面

8、的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）.转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）.体积法：利用三棱锥体积公式.（2） 线线距离：关于异面直线的距离,常用方法有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义法,关键是确定出a, b 的公垂线段.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_转化为线面距离,即转化为a 与过 b 而平行于 a 的平面之间的距离,关键是找出或构造出这个平面.转化为面面距离.（3） 线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离经常相互转化.六、常用的结论：（1） 如直线 l 在平面内的射影是直线 l ,直线 m 是平面内经过

9、l 的斜足的一条直线, l与 l所成的角为1 , l 与 m 所成的角为2 ,l 与 m 所成的角为,就这三个角之间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的关系是coscos1 cos 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 如何确定点在平面的射影位置：、 假如一个角所在平面外一点到角两边距离相等,那么这点在平面上的射影在这个角的平分线上.、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线,假如斜线和这个角的两边夹角相等,那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上.、假如平面外一点到平面上两点的距离相等,就这一点在平面上的射影在以这两点为端点的线段的垂直平分线

10、上.垂线法：假如过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直,那么这一点在这平面上的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上 三垂线定理和逆定理 .垂面法：假如两平面相互垂直,那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面的交线上 面面垂直的性质定理 .整体法：确定点在平面的射影,可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影.（3） 在四周体 ABCD 中：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 ABCD , BCAD ,就 ACBD .且 A 在平面 BCD 上的射影是BCD 的垂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_心.如 AB

11、ACAD ,就 A 在平面 BCD 上的射影是BCD 的外心.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 A 到 BC, CD , BD 边的距离相等,就A 在平面 BCD 上的射影是BCD 的内心.a（ 4）异面直线上两点间的距离公式：如异面直线所成的角为,它们公垂E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线段 AA 的长为 d ,在AFn .a, b 上分别取一点E, F ,设A Em ,AEA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 EFd 2m2bn22mncosF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

12、（假如七、多面体：（1） 棱柱：E AF为锐角,公式中取负号,假如E AF为钝,公式中取正号）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义： 有两个面相互平行, 其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_侧棱不垂直于底面侧棱垂直于底面底面是正多边形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱.底面是平行四边形侧棱垂直于底面四 棱 柱平 行 六 面 体直 平 行 六 面 体可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_底面是矩形底面是正方形棱长都相等可编辑资料

13、- - - 欢迎下载精品_精品资料_长方体正四棱柱正方体.性质：、侧面都是平行四边形.、两底面是全等多边形. 、平行于底面的截面和底面全等.对角面是平行四边形. 、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面积：S直棱柱侧ch（ c 是底周长, h 是高）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_体积： V棱柱（2） 棱锥：ShS侧面 d（ S 为底面积, h 为高, d 为已知侧面与它对棱的距离）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义： 有一个面是多边形, 其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面围成的

14、几何体叫做棱锥.正棱锥： 底面是正多边形, 并且顶点在底面内的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥.性质： 、平行于底面的截面和底面相像,截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比. 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比.截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三角形.通过四个直角三角形Rt POH ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_RtPOB , RtPBH, RtBOH实现边,高,斜高间的换算可编辑资料 - - - 欢迎下

15、载精品_精品资料_面积：S正棱锥1 ch （ c 为底周长,2h 为斜高）P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_体积：（3） 正四周体：V棱锥1 Sh（ S 为底面积, h 为高）3DCOH2 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于棱长为 a 正四周体的问题可将它补成一个边长为a 的正方体问题.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对棱间的距离为2 a （正方体的边长）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正四周体的高6 a （32l正方体体对角线 ）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

16、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正四周体的体积为23a （ V正方体124V小三棱锥1V正方体 ）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正四周体的中心究竟面与顶点的距离之比为1 : 3 （11l正方体体对角线 ： l 62正方体体对角线 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_外接球的半径为6 a （是正方体的外接球,就半径41l 正方体体对角线 ）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_内切球的半径为6 a （是正四周体中心到四个面的距离,就

17、半径121l正方体体对角线）6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） 正多面体：定义： 每个面都是有相同边数的正多边形,且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的多面体叫做正多面体.正四周体正六面体正八面体正十二面体正二十面体可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面数F4681220顶点数V4862012棱数E612123030面的外形顶点的棱数欧拉公式： V正三角形3正方形3正三角形4FE2 （ V 为简洁多面体的顶点数,正五边形正三角形35F 为面数, E 为棱数）En1n2nFm1m2mV22（ ni 表示各个面上的棱数,mi 表示过各个顶点的棱数）八、球（1） 定义：球面：半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面.成的几何体.（2） 性质：球体：球面所围任意截面是圆面（经过球心的平面,圆）截得的圆叫大圆, 不经过球心的平面截得的圆叫小两点的球面距离,是指经过球面上这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长.球心和截面圆心的连线垂直于截面,并且rR2d 2,其中 R 为球半径, r 为截面半径, d 为球心的到截面的距离.（3）面积公式：S球面4 R2 （ R 为球半径）. （ 4）体积公式：V4球R3 （ R 为球半3径）可编辑资料 - - - 欢迎下载