复变函数与-积分变换重要复习重点归纳.doc

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1、#* 复变函数复习重点复变函数复习重点(一)复数的概念1. 1.复数的概念：复数的概念：，是实数, . zxiy, x y Re,Imxzyz21i 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2. 2.复数的表示复数的表示1 1）模：）模：；22zxy2 2）幅角）幅角：在时，矢量与 轴正向的夹角，记为（多值0z x Arg z函数） ；主值是位于中的幅角。 arg z(, 3）与之间的关系如下： arg zarctany x当 ；0,x argarctanyzx当；0,argarctan 0, 0,argarctanyyzxxyyzx 4）三角表示三角表示：，其中；注：中间一定是c

2、ossinzziarg z“+”号。5）指数表示指数表示：，其中。izz earg z(二) 复数的运算1. 1.加减法加减法：若，则111222,zxiy zxiy121212zzxxi yy2. 2.乘除法乘除法：1）若，则111222,zxiy zxiy；1 212122112z zx xy yi x yx y。 112211112121221 2222 22222222222xiyxiyzxiyx xy yy xy xizxiyxiyxiyxyxy2）若, 则12 1122,iizz ezz e1； 12 1 212iz zzz e121122izzezz3. 3.乘幂与方根乘幂与方根

3、1）若，则。(cossin )izziz e(cossin)nnninzzninz e2）若，则(cossin )izziz e（有 个相异的值）122cossin(0,1,21)nnkkzziknnnn（三）复变函数1 1复变函数：复变函数：，在几何上可以看作把 平面上的一 wf zz个点集 变到 平面上的一个点集 的映射.DwG2 2复初等函数复初等函数1 1）指数函数指数函数：，在 平面处处可导，处处解析；cossinzxeeyiyz且。 zzee注：是以为周期的周期函数。 （注意与实函数不同）ze2 i3）对数函数对数函数： （多值函数） ；ln(arg2)Lnzzizk(0, 1,

4、2)k 主值：。 （单值函数）lnlnargzziz的每一个主值分支在除去原点及负实轴的 平面内处处Lnzln zz解析，且；1lnzz注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同）3 3）乘幂与幂函数：）乘幂与幂函数：；(0)bbLnaaea(0)bbLnzzez注：在除去原点及负实轴的 平面内处处解析，且。z 1bbzbz4 4）三角函数三角函数： sincossin,cos,t,22cossinizizizizeeeezzzzgzctgzizz2在 平面内解析，且sin ,coszzzsincos , cossinzzzz 注：有界性不再成立；（与实函数不同）sin1, cos1zz4）双曲

5、函数双曲函数 ；,22zzzzeeeeshzchz奇函数，是偶函数。在 平面内解析，且shzchz,shz chzz。,shzchz chzshz（四）解析函数的概念1 1复变函数的导数复变函数的导数1 1）点可导点可导：=； 0fz 000lim zf zzf z z 2）区域可导区域可导： 在区域内点点可导。 f z2 2解析函数的概念解析函数的概念1）点解析： 在及其的邻域内可导，称在点解析； f z0z0z f z0z2）区域解析： 在区域内每一点解析，称在区域内解析； f z f z3）若在点不解析，称为的奇点；( )f z0z0z f z3 3解析函数的运算法则解析函数的运算法则：

6、解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1 1函数可导函数可导的充要条件的充要条件：在可导 ,f zu x yiv x yzxiy和在可微，且在 处满足条件：,u x y,v x y, x y, x yCD,uvuv xyyx 3此时， 有。 uvfzixx 2函数解析的充要条件函数解析的充要条件：在区域内解析 ,f zu x yiv x y和在在内可微，且满足条件：,u x y,v x y, x yDCD；,uvuv xyyx 此时。 uvfzixx 注意注意： 若在区域具有一阶连续偏导数，则 ,u x yv x

7、yD在区域内是可微的。因此在使用充要条件证明时， ,u x yv x yD只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时，函数, u vCR一定是可导或解析的。( )f zuiv3 3函数可导与解析的判别方法函数可导与解析的判别方法1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题 1）2）利用充要条件 （函数以形式给出，如第 ,f zu x yiv x y二章习题 2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。 （函数是以 的形 f zz式给出，如第二章习题 3）（六）复变函数积分的概念与性质1 1复变函数积分的概念：复变函数积分的概念：， 是光滑曲线。 1limnkkcnkf z dzfz c注：复变函数的

8、积分实际是复平面上的线积分。2 2复变函数积分的性质复变函数积分的性质41） （与 的方向相反） ； 1ccf z dzf z dz 1cc2）是常数； , , cccf zg z dzf z dzg z dz 3） 若曲线 由 与 连接而成，则。c1c2c 12cccf z dzf z dzf z dz3 3复变函数积分的一般计算法复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：；（常用于理论证明） cccf z dzudxvdyivdxudy2）参数方法：设曲线 ： ，其中 对应曲线 的起c ()zz tt c点， 对应曲线 的终点，则 。c ( ) cf z dzf z tz t dt（七）关于

9、复变函数积分的重要定理与结论1 1柯西柯西古萨基本定理古萨基本定理：设在单连域 内解析， 为 内任 f zBcB一闭曲线，则 0cf z dz A2 2复合闭路定理复合闭路定理： 设在多连域内解析， 为内任意一 f zDcD条简单闭曲线，是 内的简单闭曲线，它们互不包含互12,nc ccc不相交，并且以为边界的区域全含于内，则12,nc ccD 其中 与均取正向； cf z dz A 1,knkcf z dz Ackc ，其中 由 及所组成的复合闭路。 0f z dz Ac1(1,2,)ckn3 3闭路变形原理闭路变形原理 ： 一个在区域内的解析函数沿闭曲线D f z的积分，不因 在内作连续变

10、形而改变它的值，只要在变形ccD过程中 不经过使不解析的奇点。c f z4 4解析函数沿非闭曲线的积分解析函数沿非闭曲线的积分： 设在单连域 内解析， f zB为在 内的一个原函数，则 G z f zB5 212112( ,)zzf z dzG zG zz zB说明：解析函数沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算 f z时只要求出原函数即可。5 5。 柯西积分公式柯西积分公式：设在区域内解析， 为内任一正向简 f zDcD单闭曲线， 的内部完全属于，为 内任意一点，则cD0zc 0 02 cf zdzif zzz A6 6高阶导数公式高阶导数公式：解析函数的导数仍为解析函数，它的 阶 f zn导

11、数为 01 02(1,2)()!n ncf zidzfznzznA其中 为的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线，c f zD0z而且它的内部完全属于。D7重要结论重要结论：。 （ 是包含 的任意正向简单闭曲12,01 0,0()ncindznza Aca线）8 8复变函数积分的计算方法复变函数积分的计算方法1）若在区域内处处不解析，用一般积分法 f zD cf z dzf z tz t dt2）设在区域内解析， f zD是内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定理，cD 0 cf z dz A是内的一条非闭曲线，对应曲线 的起点和终点，则有cD12,z zc6 2121zczf z dzf z

12、 dzF zF z3）设在区域内不解析 f zD 曲线曲线 内仅有一个奇点内仅有一个奇点：（在 内解c 0 001 022 ()!cn ncf zdzi f zzzf zidzfzzzn AA( )f zc析） 曲线 内有多于一个奇点：（ 内只有一个c cf z dz A 1knkcf z dz Aic奇点）kz或：（留数基本定理） 12Re ( ),nk kcf z dzis f z z A 若被积函数不能表示成，则须改用第五章留数定理来 1()nof z zz计算。（八）解析函数与调和函数的关系1 1调和函数调和函数的概念：的概念：若二元实函数在内有二阶连续偏导( , )x yD数且满足，

13、22220xy为 内的调和函数。( , )x yD2 2解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系 解析函数的实部 与虚部 都是调和函数，并称虚部 f zuivuv为实部 的共轭调和函数。vu 两个调和函数 与 构成的函数不一定是解析函数；uv( )f zuiv但是若如果满足柯西, u v黎曼方程，则一定是解析函数。uiv73 3已知解析函数已知解析函数的实部或虚部，求解析函数的实部或虚部，求解析函数的方的方 f z f zuiv法。法。1）偏微分法偏微分法：若已知实部，利用条件，得；,uu x yCR,vv xy 对两边积分，得 （*）vu yx uvdyg xx再对（*）式两边对 求

14、偏导，得 （*） x vudygxxxx由条件，得，可求出 CRuv yx uudygxyxx ； g x代入（*）式，可求得 虚部 。 uvdyg xx2）线积分法线积分法：若已知实部，利用条件可得,uu x yCR，vvuudvdxdydxdyxyyx 故虚部为；00,x yxyuuvdxdycyx由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中与 是解析区域中的两点。00,xy, x y3）不定积分法不定积分法：若已知实部，根据解析函数的导数公式,uu x y和条件得知，CR uvuufziixyxy将此式右端表示成 的函数，由于仍为解析函数，故z U z fz（ 为实常数）

15、f zU z dzcc注：若已知虚部 也可用类似方法求出实部v. u8（九）复数项级数1 1复数列的极限复数列的极限1）复数列（）收敛于复数的充要条件nnnaib1,2n abi为（同时成立）lim,limnnnnaabb 2）复数列收敛实数列同时收敛。n, nnab2 2复数项级数复数项级数1）复数项级数收敛的充要条件是级数与同0()nnnn naib 0n na 0n nb时收敛；2）级数收敛的必要条件是。lim0nn 注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）幂级数的敛散性1幂级数的概念幂级数的概念：表达式或为幂级数。0 0()nn nczz 0n n nc

16、 z2 2幂级数的敛散性幂级数的敛散性1 1）幂级数的收敛定理）幂级数的收敛定理阿贝尔定理阿贝尔定理(Abel)(Abel)：如果幂级数在0n n nc z处收敛，那么对满足的一切 ，该级数绝对收敛；00z 0zzz如果在处发散，那么对满足的一切 ，级数必发散。0z0zzz2 2）幂级数的收敛域幂级数的收敛域圆域圆域幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。93 3）收敛半径的求法收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。 比值法 如果，则收敛半径；1lim0nnnc c1R 根值法 ，则收敛半径；lim0nnc 1R 如果，则；说明在整个复平面上处处收

17、敛；0R 如果，则；说明仅在或点收敛； 0R 0zz0z 注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。 （如）20n n nc z3 3幂级数幂级数的性质的性质1）代数性质代数性质：设的收敛半径分别为与，记00,nn nn nna zb z1R2R，12min,RR R则当时，有zR（线性运算）000()nnn nnnn nnnab za zb z（乘积运算）01 10 000()()()nnn nnnnn nnna zb za baba b z 2）复合性质复合性质：设当时，当时，解析r 0n n nfazR g z且， g zr则当时，。zR 0nn nf g za g z3）分析运

18、算性质分析运算性质：设幂级数的收敛半径为，则0n n na z0R 其和函数是收敛圆内的解析函数； 0n n nf za z10 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且 10n n nfzna z zR 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变； 1001znnnaf z dzzn zR（十一）幂函数的泰勒展开幂函数的泰勒展开1. 1. 泰勒展开：泰勒展开：设函数在圆域内解析，则在此圆域内 f z0zzR可以展开成幂级数 ；并且此展开式是唯 f z 0 0 0!n nnfzf zzzn一的。注：若在解析，则在的泰勒展开式成立的圆域的收敛 f z0z f z0z半径；0Rza其中 为从到的距最近一个奇

19、点 之间的距离。 R0z f z0za2 2常用函数在常用函数在的泰勒展开式的泰勒展开式00z 1） 23011!2!3!n znnzzzezznn z 2） 20111nnnzzzzz 1z 3） 35 21210( 1)( 1)sin(21)!3!5!(21)!nn nnnzzzzzznn z 4） 24 220( 1)( 1)cos1(2 )!2!4!(2 )!nn nnnzzzzznn z 3 3解析函数展开成泰勒级数的方法解析函数展开成泰勒级数的方法1）直接法：直接求出，于是。 01 !n ncfzn 0 0n n nf zczz2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算

20、、11复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。（十二）幂函数的洛朗展开1. 1. 洛朗级数洛朗级数的概念：的概念：，含正幂项和负幂项。0n n nczz2 2洛朗展开定理洛朗展开定理：设函数在圆环域内处处解析， f z102RzzR为圆环域内绕的任意一条正向简单闭曲线，则在此在c0z圆环域内，有 ，且展开式唯一。 0n n nf zczz3 3解析函数的洛朗展开法：解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4*4利用洛朗级数求围线积分：设利用洛朗级数求围线积分：设在内解析， 为 f z0rzzRc内的任何一条正向简单闭曲线，则 。其0rzzR 12 cf z dzic A中为

21、在内洛朗展开式中的系数。1c( )f z0rzzR01 zz说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中的系1 0()zz数。（十三）孤立奇点的概念与分类1 1。 孤立奇点的定义孤立奇点的定义 ：在点不解析,但在的内 f z0z0z00zz解析。2 2。孤立奇点的类型：。孤立奇点的类型：1）可去奇点：展开式中不含的负幂项；0zz 2 01020f zcczzczz2）极点：展开式中含有限项的负幂项；0zz (1)21 010201 000()()()()()mm mmcccf zcc zzc zzzzzzzz 0,()mg z zz其中在解析， 1 (1)01000()()()mm mmg

22、zcczzczzc zz 0z12且； 00,1,0mg zmc3）本性奇点：展开式中含无穷多项的负幂项；0zz 1 0100 00()()()()mm mmccf zcc zzczzzzzz（十四）孤立奇点的判别方法1可去奇点：常数； 00lim zzf zc 2极点： 0lim zzf z 3本性奇点：不存在且不为 。 0lim zzf z 4零点与极点的关系1）零点的概念：不恒为零的解析函数，如果能表示成 f z， 0()mf zzzz其中在解析，为正整数，称为的级零点； z0z 00,zm0z f zm2）零点级数判别的充要条件是的级零点0z f zm 000,(1,2,1)0nmfz

23、nmfz3）零点与极点的关系：是的级零点是的级极0z f zm0z 1 f zm点；4）重要结论若分别是与的级与 级零点，则za z zmn是的级零点；za zA zmn 当时，是的级零点；mnza z z mn当时，是的mnza z z 级极点；nm13当时，是的可去奇点；mnza z z 当时，是的 级零点，mnza zzlmin( , )lm n当时，是的 级零点，其中mnza zzl( )lm n（十五）留数的概念1 1留数留数的定义：的定义：设为的孤立奇点，在的去心邻域0z f z f z0z内解析， 为该域内包含的任一正向简单闭曲线，则00zzc0z称积分为在的留数（或残留） ，记

24、作 1 2cf z dzi A f z0z 0Re ,s f zz 1 2cf z dzi A2 2留数的计算方法留数的计算方法若是的孤立奇点，则，其中为0z f z 0Re ,s f zz1c1c在的去心邻域内洛朗展开式中的系数。 f z0z1 0()zz1 1）可去奇点处的留数：）可去奇点处的留数：若是的可去奇点，则0z f z 0Re ,s f zz02 2）级极点处的留数级极点处的留数m法则法则 I I 若是的级极点，则0z f zm 0Re ,s f zz 01011lim()(1)!m m mzzdzzf zmdz特别地，若是的一级极点，则0z f z 0Re ,s f zz 00

25、lim() zzzzf z 注：注：如果极点的实际级数比低，上述规则仍然有效。m法则法则 II II 设，在解析， P zf zQ z ,P zQ z0z 00,P z，则 000,0Q zQz 000Re ,P zP zszQ zQz（十六）留数基本定理14设在区域内除有限个孤立奇点外处处解析， f zD12,nz zz为内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则cD 12Re ,ncnf z dzis f zz A说明：说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数在 内各孤立奇点处留数的局部问题。 f zc积分变换复习提纲一、傅里叶变换的概念 ( )( )( )jwtF f tf

26、 t edtF w11 ( )( )( )2j tFFFedf t二、几个常用函数的傅里叶变换1 ( )F e tj1 ( )( )F u tj ( )1Ft12( )F 三、傅里叶变换的性质15 位移性（时域）：位移性（时域）：0 0 ()jwtF f tte ( )F f t 位移性（频域）：位移性（频域）： 000( )( )()jw t w w wF ef tF wF ww 位移性推论：位移性推论：0001sin( ) ()()2Fw t f tF wwF wwj 位移性推论：位移性推论：0001cos( ) ()()2Fw t f tF wwF ww 微分性（时域）微分性（时域）：

27、（） ，( )() ( )F f tjw F w,( )0tf t ， ( )( )()( )nnF ftjwF w(1),( )0ntft 微分性（频域）：微分性（频域）： ( )(),()( )( )nnFjt f tFwFjtf tFw 相似性：相似性： 1 ()()wF f atFaa(0)a 四、拉普拉斯变换的概念 0 ( )( )( )stL f tf t edtF s五、几个常用函数的拉普拉斯变换； 1ktL esk 是自然数是自然数 ；11(1)!(m mmmmL tmss)（）1(1)1, ( ), (1)( )2mmm；1 ( )1L u tLs ( )1Lt2222sin

28、,cosksLktLktsksk 2222s,ksLhktL chktsksk 设，则。 （是以 为周期的周()( )f tTf t 01 ( )( )1TTsL f tf t dte( )f tT期函数）六、拉普拉斯变换的性质 微分性（时域）微分性（时域）： 20 , ( )( )(0)(0)L ftsF sfL fts F ssff16 微分性（频域微分性（频域）：， ()Lt f tFs ( )()nnLtf tFs 积分性（时域积分性（时域）： 0tF sLf t dts 积分性（频域积分性（频域）：（收敛） sf tLF s dst 位移性（时域位移性（时域）： atL ef tF

29、sa 位移性（频域位移性（频域）：（,） sL f teF s00,( )0tf t 相似性：相似性： 1 ()( )sL f atFaa(0)a 七、卷积及卷积定理1212( )*( )( )()f tf tff td1212( )( )( )( )F f tf tF wF w12121( )( )( )( )2F f tf tF wF w1212( )( )( )( )L f tf tF sF s八、几个积分公式( ) ( )(0)f tt dtf00( ) ()( )f ttt dtf t1616 000( ) ( )( )f tdtL f t dsF s dst 0( ) ( )kt s kf t edtL f t