概率论与-数理统计答案~(2~).doc

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1、-_习题二习题二1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律. 【解解】3 53 52 4 3 53,4,5 1(3)0.1C3(4)0.3CC(5)0.6CXP XP XP X故所求分布律为X345P0.10.30.62.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样， 以 X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3).133, 1, 1, 12222P XPXPXPX【解解】3 13 3 1512

2、 213 3 151 13 3 150,1,2.C22(0).C35C C12(1).C35C1(2).C35XP XP XP X故 X 的分布律为X012P22 3512 351 35（2） 当 xa 时，F（x）=1 即分布函数-_0,0( ),01,x xF xxaa xa 18.设随机变量 X 在2，5上服从均匀分布.现对 X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测 值大于 3 的概率. 【解解】XU2,5，即1,25( )3 0,xf x 其他5312(3)d33P Xx故所求概率为2233 3321220C ( )C ( )33327p 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（

3、以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗1( )5E口等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他 未等到服务而离开窗口的次数，试写出 Y 的分布律，并求 PY1.【解解】依题意知，即其密度函数为1( )5XE51e,0( )5 0,x xf x x0该顾客未等到服务而离开的概率为25 101(10)ede5x P Xx,即其分布律为2 (5,e )Yb22 5 52 5()C (e ) (1 e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1 (1 e )0.5167kkkP YkkP YP Y 20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交

4、通拥挤，所需时间 X 服从 N（40，102） ；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X 服从 N（50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有 45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解解】 （1） 若走第一条路，XN（40，102） ，则406040(60)(2)0.977271010xP XP-_若走第二条路，XN（50，42） ，则+506050(60)(2.5)0.993844XP XP故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若 XN（40，102） ，则404540(45)(0.5)0.6915

5、1010XP XP若 XN（50，42） ，则504550(45)( 1.25)44XP XP1(1.25)0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设 XN（3，22） ， （1） 求 P20;(2) f(x)= ., 0, 21,1, 10,2 他他xxxbx试确定常数 a,b，并求其分布函数 F（x）.【解】 （1） 由知( )d1f xx| |021ed2edxxaaxax 故 2a即密度函数为 e,02( ) e02xxx f x x 当 x0 时1( )( )de de22xxxxF xf xxx当 x0 时00( )( )de ded22xxxxF xf xxxx11

6、e2x -_故其分布函数11e,02( )1e ,02xxx F x x (2) 由12201111( )ddd22bf xxbx xxx得 b=1 即 X 的密度函数为2,01 1( ),120,xxf xxx 其他当 x0 时 F（x）=0当 00 时，( )()(e)(ln )x YFyP YyPyP Xyln( )dyXfxx 故 2/ 2lnd( )111( )(ln )e,0d2yY YxFyfyfyyyyy(2)2(21 1)1P YX 当 y1 时( )()0YFyP Yy当 y1 时2( )()(21)YFyP YyPXy 2111 222yyyP XPX(1)/2(1)/2

7、( )dyXyfxx故 d1211( )( )d4122YYXXyyfyFyffyy(1)/4121e,1212yyy(3) (0)1P Y 当 y0 时( )()0YFyP Yy当 y0 时( )(|)()YFyPXyPyXy-_( )dyXyfxx 故d( )( )( )()dYYXXfyFyfyfyy2/22e,02yy31.设随机变量 XU（0,1） ，试求： （1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=2lnX 的分布函数及密度函数.【解解】 （1） (01)1PX故 (1ee)1XPY当时1y ( )()0YFyP Yy当 10 时，( )()( 2ln)ZFzP ZzPX

8、z/2(ln)(e)2zzPXP X / 21/2ed1 ezzx -_即分布函数- /20,0( )1-e,ZzzFzz0故 Z 的密度函数为/21e,0( )2 0,zZzfz z 032.设随机变量 X 的密度函数为f(x)=22,0, 0,.xx 其他试求 Y=sinX 的密度函数.【解解】(01)1PY当 y0 时，( )()0YFyP Yy当 00）=1，故 06,则 P（X1 时，( )()(e)(ln )X YFyP YyPyP Xyln01e d1yxxy 即 11,1( ) 0,1YyyFy y 故 21,1( ) 0,1Yyyfy y -_51.设随机变量 X 的密度函数

9、为fX(x)=,)1 (12x求 Y=1的密度函数 fY(y). 3x【解解】33( )()(1)(1) )YFyP YyPXyP Xy332(1)(1)311darctg(1)1 arctg(1) 2yyxxxy 故 263(1)( )1 (1)Yyfyy52.假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N（t）服从参数为 t 的泊松分布. （1） 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布； （2） 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率 Q.（1993 研考）【解解】 （1） 当 tt与N(t)=0等价，有( )()1()1( )0)1 et TF tP TtP TtP N t 即 1 e,0( )0,0tTtF tt 即间隔时间 T 服从参数为的指数分布。（2） 16 8 8e(16|8)(16)/(8)eeQP TTP TP T 53.设随机变量 X 的绝对值不大于 1，PX=1=1/8，PX=1=1/4.在事件1P|Y-2|1，试比较 1与 2的大小. (2006 研考)解：解： 依题意 ，则11(0,1)XN :22(0,1)YN :，1 1 1111XP XP.2 2 2211YP YP因为，即1211P XP Y，11112211XYPP 所以有 ，即.1211 12