2022年数学归纳法教学设计 .docx

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1、精品_精品资料_ 数学归纳法（第一课时）巢湖市槐林中学汪庆东【教材分析】 数学归纳法是以解决与正整数有关问题的一种推理方法,它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程, 是证明与正整数有关问题的有力工具,本节课是数学归纳法第一课时, 主要是让同学明白数学归纳法原理, 并能够用数学归纳法解决一些简洁的实际应用问题.【学情分析】 同学在学习本节之前已经学习过归纳推理, 以及一些简洁的数学证明方法,并且已经开头使用与正整数有关的结论（在求曲边梯形面积中）,但同学只是停留在认知阶段, 对问题本质没有作更进一步的争论. 另外高二同学经过了一年半的高中学习之后, 已初步具有了发觉和探究问题的才能,这

2、为本节学习数学归纳法奠定了肯定的基础.【教学目标】 、学问与技能目标：（1） 明白数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简洁的与正整数有关的数学命题.（2） 进一步进展猜想归纳才能和创新才能,经受学问的构建过程, 体会类比的数学思想.2、过程与方法目标：（1） 通过对例题的探究,体会由猜想到证明的数学方法.（2） 努力创设积极摸索、大胆质疑的课堂愉悦情境,提高学习爱好和课堂效率.3、情感态度与价值观目标：通过对数学归纳法的学习, 进一步感受数学来源于生活, 并形成严谨的科学态度和勤于摸索、善于观看的学习习惯.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【教学重点】 数学归纳法产生过程的分

3、析和对数学归纳法的证题步骤的把握.【教学难点】 数学归纳法中递推思想的懂得.【教法预备】 讲授法,引导发觉法,合作探究法.【教具预备】 传统板书与多媒体帮助教学相结合.【教学过程】一、创设情境,引出课题1、复习旧知,铺垫新知：（1） 不完全归纳法：今日早上,我曾疑问,怎么贵中（贵池中学）只招男生吗由于早晨我在学校 门口看到第一个进校内的是男同学, 其次个进校内的也是男同学, 第三个进校内的仍是男同学. 于是我得出结论： 学校里全部都是男同学, 同学们说我的结论对吗（这明显是一个错误的结论, 说明不完全归纳的结论是不行靠的, 进而引出其次个问题）（2） 完全归纳法：同学们,我这里有一个火柴盒,里

4、面共有五根火柴,我抽出一根是红色的, 抽出其次根也是红色的, 请问我怎样验证五根火柴都是红色的了 （将火柴盒打开, 取出剩下的火柴,逐一进行验证. ）注：对于以上二例的结果是特别明显的, 教学中主要用以上二题引出数学归纳法.师：（出示投影）不完全归纳法 结论不行靠.完全归纳法 结论牢靠.以上问题都是与正整数有关的问题,从上例可以看出, 要想正确的解决一个与此有关的问题,就牢靠性而言,应当选用第几种方法（完全归纳法）2、问题情境,方法引入：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_情境一：1222235 .1262232347 .126223242459 .6可编辑资料 - - - 欢迎下

5、载精品_精品资料_12223242525611 .6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问 ： 请 同 学 们 观 察 以 上 等 式 , 可 以 猜 想 出 什 么 结 论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 122232+n2n n12n61 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于以上问题,你能完成证明吗注：对于第一个问题, 由于同学在学习求曲边梯形面积时已经用过,再结合归纳推理,同学很简洁得出结论.其次个问题,同学利用现有学问,无法完成证明. （可以让同学尝试运用完全归纳法,并点题.）师：利用完全归纳法得出的结论是牢靠的, 但对于解决与正整数有关

6、的问题却无法完成, 不完全归纳法虽然步骤有限, 但结论不肯定牢靠, 那么我们能不能找出一种方法, 既能使步骤有限又能使结论牢靠了同学们想不想知道这种方法（追问引出课题：数学归纳法）其实这种方法来源于生活,请同学们看多米诺骨牌的视频情境二：（播放多米诺骨牌视频）问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下二、师生合作,探究新知：探究一：让全部的多米诺骨牌全部倒下,必需具备什么条件条件一：第一张骨牌倒下.条件二：任意相邻的两张骨牌,前一张倒下肯定导致后一张倒下.注：此问题由同学合作沟通完成,必要时,老师重新播发视频或赐予提示.探 究 二 ： 同 学 们 在 看 完 多 米 诺 骨 牌 视 频 后 , 是 否

7、对 证 明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122232 +n2nn12n61) 有些启示 （证明此题对任意正整数都成立相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当于验证让骨牌全部倒下的条件）注：通过以上合作沟通,以及使骨牌全部倒下的两个条件,此时,师生共同探究得到解决引例的方法：（1） 第一块骨牌倒下相当于证明当 n1 时,命题成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 对于任一块骨牌倒下相邻的后一块也倒下, 相当于当nkk1,kN * 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时命题成立,证明当 nk1 时命题也成立.可编辑资料 - - - 欢

8、迎下载精品_精品资料_师：（投影）证明 122232+n2n n12n61) 的两个步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 证明当 n1 时,命题成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 假设当nkk1,kN* 时命题成立,证明当 nk1 时命题也成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_探究三：第一块骨牌不倒行不行假如从其次块、第三块骨牌开头将骨牌推 倒,结果会是怎样 （第一块骨牌必需倒,才能让全部的骨牌倒下.假如从其次块或第三块开头倒,就只能让该块骨牌后面的全部倒下. ）注：此问题说明第一块骨牌倒下对全部骨牌倒下的重要性,同时也说明在证

9、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明与正整数有关问题时,n0 是使命题成立的最小正整数,n0 不肯定取 1,也可以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取其它正整数.师：（板书） “数学归纳法”一般的,证明一个与正整数n 有关的命题,可按以下步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当 n取第一个值 n nN* 时命题成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_000（2）（归纳递推）假设 nkkn , kN* 时命题成立,证明当 nk1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_命题也成立.只要完成以上两个步骤,就可以判定命题对从n0 开头的全部正整数 n

10、都成立.上述方法叫做 数学归纳法 .三、错例辨析,突出重点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、求证：全部的奇数都是2 的倍数.证明：假设第 m 个奇数为 k,且 k 为 2 的倍数,就第 m+1 个奇数为 k + 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 k+2 也是 2 的倍数,所以命题成立.2、用数学归纳法证明： 135+2n-1=n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2证明：（ 1）当 n1 时,左边 1 ,右边 121 ,等式成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

11、- - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）假设当 nk （ k1,kN* ）时, 135+2k-1=k,那么：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_135也成立.+2k-1+2k+1=12k11k12 k12 ,就当 nk1时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据（ 1）和（ 2）,可知等式对任何nN * 都成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：对例 1,师先让同学争论一下数学归纳法中没有第一步行不行,进而说出这个例子,让同学懂得当 nn0 时,命题成立的

12、重要性,没有第一步,就如同空中阁楼,是不行靠的.另外在例 1 中,让同学明白假设是错误的,此处并不是把假设当作条件来用, 数学归纳法的其次步其实是一个条件命题, 第一步已体会证是正确的, 假如有怀疑,其次步中 k 可以取 n0,这其实是在证明一个传递性.对例 2,师第一说明在利用数学归纳法证题时,当nk1 时的证明必需可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用 nk 的归纳假设,并用课本上的摸索题举例：即猜想证明a1 ,在nkn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得到 ak 11时必需要利用 a k11这一步 .然后请同学观看例 2 并从中找出错k可编辑资料 - - -

13、欢迎下载精品_精品资料_误（其次步中的错误是没有利用n=k 的假设进行证明, 而直接利用了等差数列求和公式）,以增强同学对其次步的懂得.对于例 2 的证明,作为同学课后练习完成.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、典例分析：例 1：用数学归纳法证明 122232+n2nn12n61 nN* 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_师：（板书）证明：（1）当 n1 时,左边121 ,右边 11 12111,6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等式成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（2）假设当 当nkk1, kN *时,等式成立,即：可编

14、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122232+kkk12k61) ,那么：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1222kk3212k 261k+k k 7k6222k312kk12k16k12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1 k6112 k611可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：当 nk1 时,等式成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据（ 1）和（ 2）,可知等式对任何nN * 都成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载

15、精品_精品资料_注：上例让同学独立完成, 师板书写现完整过程, 以突出数学归纳法证题的一般步骤.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、反馈练习,加深懂得：用数学归纳法证明： 135+2n-1=n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、归纳小结,概念提升：问：今日我们学习了一种很重要的数学证明方法,通过本节课的学习, 你有哪些收成（同学总结,老师整理）1、数学来源于生活 ,生活中有很多形如“数学归纳法”这样的方法等着我们去发觉.2、数学归纳法中包蕴着一种很重要的数学思想：递推思想 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、数学归纳法一般步骤：可编辑资料

16、- - - 欢迎下载精品_精品资料_0如 nkkn , kN* 时 命 题 成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_验证 nn0 时命题成立立,证明当 nk1 时命题也成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_归纳奠基归纳递推命题对从 n0 开头全部的正整数 n 都成立4、应用数学归纳法要留意以下几点：（1） 第一步是基础 ,没有第一步,只有其次步就如空中楼阁,是不行靠的.（2） 其次步是证明传递性 ,只有第一步,没有其次步,只能是不完全归纳法.（3） n0 是使命题成立的最小正整数 , n0 不肯定取 1,也可取其它一些正整数.（4） 其次步的证明必需利用归纳假设 ,否就不能称作数学归纳法.七、布置作业：1、书面作业： P96 习题组,第 1 题（ 1）（3）.2、摸索：习题 2、3,A 组第 1 题其它证明方法.注：第 1 题书面作业帮忙同学巩固数学归纳法,第2 题可以利用数列求和, 让同学比较两种方法,说明数学归纳法并不是解决与正整数有关问题的唯独方法,同时也提示同学利用数学归纳法证明的其次步不能用数列求和公式.【板书设计】 数学归纳法（一）例 1：同学板演数学归纳法：证明：1.2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【教后反思】可编辑资料 - - - 欢迎下载