勾股定理知识点、经典例题.docx

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1、勾股定理知识点及例题一、基础知识点：1:勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：J+b2=c2）要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。（3） 理解勾股定理的一些变式：C2=a2+b2,M=c2b2,b?=,c2=（a+b）22ab （4）直角三角形的两边求第三边（在AA5c中，NC = 90。，那么。=,+/一人=，/ 一 = Jc2/）2：勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。图中弘3+“+4、2 , ? 22所以a +b =c。方法二：将四个全等的

2、直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。方法三:$正方= （&-以）2+4义图（2）中222 .所以。=a +b。将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3） 1和（3） 2所示的两个形状相同的正方形。在（3） 1中，甲的面积二（大正方形面积）一（4个直角三角形面积），在（3） 2中，乙和丙的面积和二（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）,【变式3】如图正方形ABCD, E为BC中点，F为AB上一点，且BF= 4 AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。【答案答：DEEFo证明：设 BF=a,那么 BE=EC=2a, AF=3a, AB=4a,，EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；ADE

3、2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2o连接DF (如图)DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2oFDF2=EF2+DE2,bFElDEo练习题类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法国1、假设直角三角形两直角边的比是3： 4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定 理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是3x, 4x,根据题意得：(3x) 2+ (4x) 2 = 202化简得x2 = 16；1，直角三角形的面积=2 X3xX4x = 6x2 = 96

4、总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。【答案】如图，等边ABC,作AD_LBC于D1那么：bd=2bc (等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)7AB = AC = BC = 2 (等边三角形各边都相等)，BD = 1在直角三角形 ABD 中，AB2 = AD2+BD2,即：AD2 = AB2-BD2 = 4-1 = 3AAD=上2Saabc= 2 BC AD=注：等边三角形面积公式：假设等边三角形边长为a,那么其面积为4 a。【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角

5、形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x, y,根据题意得：%+y + 5 = 12(1)x2+/ = 52由(1)得：x+y=7,(x+y) 2=49, x2+2xy+y249 (3)(3)-(2),得：xy=12直角三角形的面积是5xy=5义12 = 6 (cm2)【变式3】假设直角三角形的三边长分别是n+1, n+2, n+3,求n。思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2= (n+3) 2化简得：n2=4/.n = 2,但当 n = -2 时，n+l = 1n,

6、 m , 为正整数）如果（a,b,c）是勾股数，当m0时，以am, bm, cm为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形规律方法指导（1） .勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。（2）勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。（3）勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。4：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c,那么有关系a2+b2=c:那么这个三角形是直角三角形。要点诠释:勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形来确定三

7、角形的可能 形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定城大边，不妨设法长边长为：c；（2）验证c?与cUb?是否具有相等关系，假设c2=a?+b2,那么 ABC是以NC为直角的直角三角形（假设c2a?+b2,那么 ABC是以NC为钝角的钝角三角形；假设c22+b2,那么 ABC为锐角三角形）。（定理中”及及+2=02只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长巴，小，满足足+。2=/乙 那么以巴，夕，为三边的三角形是直角三角形，但是由为斜边）5:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相

8、反，都与直角三角形有关。6：反证法证明命题时，首先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合条件，应用公理、定义、定理、 性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论, 以说明假设不正确，从而证明原命题成立.我们把它称之为反证法.注意：1 .关于反证法（1）反证法的原理是否认之否认等于肯定.即第一次否认一在假设中，否认了结论第二次否认一通过推理论证，又否认了假设(2)反证法的使用范围一般以下几种情况适宜使用反证法：结论本身是以否认形式出现的一类命题；有关结论是以“至多”或“至少”的形式出现的一类命题；关于唯一性、存在性的命题；结论的反面是比原结论更

9、具体、更容易研究的命题.使用反证法的主要步骤(4)准确地作出反设是反证法证题的前提，下面是常用词语的反设原结论反设原结论反设是不是至少有一个一个也没有都是至少有一个 不是至多有一个至少有两个大于小于等于至少有n个至多有(八一1)个小于大于等于至多有几个至少有S+1)个对所有X 成乂至少有一个X 不成立。或9非且非q对任何X 不成立至少有一个X 成。且a非P或非q运用反证法的五点说明反设时一定不能把“假设”写成“设”.当结论的反面有多种可能时，必须全部列出，否那么证明是不完整的.必须从结论的否认出发进行推理，就是一定把结论的否认作为推理的条件，只要推理中没有用到 “假设”就不是反证法.最后导出的

10、矛盾是多样的，可能与矛盾、与假设矛盾、与定义、定理、公式矛盾、与的 事实矛盾等，但矛盾必须是明显的.反证法是一种间接证明的方法.7：勾股定理易错点(1)勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，值得注意的是，只有在直角三角形中才有两边(较小 的两边)的平方和等于第三边(最长的边)的平方，非直角三角形不具备这种关系。因此，在非直角三 角形中或者是在不知道三角形是不是直角三角形的情况下，不能盲目地使用勾股定理。另一方面，假设已知三角形中有直角，使用勾股定理时也需谨慎，不能机械地把它记为。2+2=天，这只是nc = 9(T时的情形。当 NA = 90。时,有+/=/；当/8 = 90。时,a2+c2=b2

11、(2)注意隐含条件直角三角形的两边长分别为3cm, 4cm,求第三边的长由于思考不周全，忽略隐含条件，误认为一边是3cm, 一边是4cm,所以第三边就应该是5cm,实际上, 题目隐含着两种情况(3)注意应用的区别在直角的三角形中需要用到三边关系时用勾股定理，而三边长想用勾股定理进行有关计算或推理时,那么需先用勾股定理的逆定理判定它是不是直角三角形。(4)注意遇到求高问题常考虑用勾股定理解决经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在 RtZXABC 中，ZC=90 a=6, c=10,求 b, (2) a=40, b=9,求 c； c=25, b=15,求 a.思路点拨：写解的过程中，一定要先

12、写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：在4ABC中,(2)在ZkABC 中,(3) SAABC 中,ZC=90 , a=6, c=10,b=aZC=90 ， a=40,=8b 二 9,c二心 2 +62 =41ZC=90 , c=25, b=15,a=20总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规那么图形的面积，可转化总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规那么图形的面积，可转化为特殊图形求解，此题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。举一反三【变式】：如图NB=NACD

13、=90 ,八。二13工。二12, 803,贝1J AB的长是多少?【答案】V ZACD=90AD=13, CD=12aac2=ad2-cd2=132-122=25：.AC=5XVZABC=90 且 803由勾股定理可得ab2=ac2 -bc2=52 - 32=16：.AB=A AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，：在h4BC中，Z5 = 60,工C = 70,/B 二 30.求：bc的长.A思路点拨：由条件NB = 60。，想到构造含30。角的直角三角形，为此作工刀_LBC于 D,那么有BD = -AB = 15ABAD = 3092，再由勾股定理计算出A。、DC的长，进而求出8

14、c的长.解析：作于0,那么因NB = 60。，ABAD = 90-60 = 30 （及的两个锐角互余）BD = -AB=15：.2（在及中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在彪人4即中，J-B? 一如2 = J302 15二15、：*根据勾股定理，在见h4co中，CD = J-C? - Q = 7702-152x3 = 65. BC = BD + DC=65 + 5 = S0总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构 造直角三角形以便应用勾股定理.举一反三变式1】如图，：NC = 90。，AM

15、= CM 朋工B于p.求证：BP2 =AP2+BC思路点拨：图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形.因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连结8机 这样，实际上就得到了 4个直角三角形.那么根据勾股定理，可 明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结BM,根据勾股定理，在及中，BP2 = BM2-PM2而在凡人4也F中，那么根据勾股定理有MP2 = AM2- AP2.BP2 = BM2 - （AM2 - AP2） = BM2 - AM2 + AP1 又.: AM = CM （），；.BP2 = BM2-CM2+AP2在及ABCM中，根据勾股定理有 BM2-CM2

16、= BC2,.I BP2 = BC2 +AP2【变式2】：如图，ZB=ZD=90 , ZA=60 , AB=4, CD=2O求：四边形ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解此题的关键，可以连嘉AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据此题给定的角应选后两种，进一步根据此题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。VZA=Z60 , ZB=90 , A ZE=30 。.*.AE=2AB=8, CE=2CD=4,、 E.BE2=AE2-AB2=82-42=48, BE=.BE2=AE2-AB2=82-42=48, BE=痘二4妻VDE2=CE2-CD2=42-

17、22=12,；S 四边形 ABCD二SABE-SzCDE二2 AB BE- 2 CD DE=类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如下图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60。方向走了 500出m到达b点，然后再沿 北偏西30方向走了 500m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。解析：（1）过B点作BE/AD/. ZDAB=ZABE=60V30 +ZCBA+ZABE=180/. ZCBA=90即aABC为直角三角形由可得：BC=500m, AB=500百m由勾股定理可得：ac

18、2=bc2+ab2所以 AC = JBC2 +AB? = .00 2 + （500 后尸=1000（m）（2）在 RtAABC 中，V BC=500m, AC=1000mA ZCAB=30VZDAB=60/. ZDAC=3O即点C在点A的北偏东30。的方向总结升华：此题是一道实际问题，从条件出发判断出AABC是直角三角形是解决问题的关键。此题涉及平行线 的性质和勾股定理等知识。举反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如下图，点

19、D在离厂门 中线0.8米处，且CDJ.AB,与地面交于H.解：OC=1米（大门宽度一半），OD = Q8米 （卡车宽度一半）在RtOCD中，由勾股定理得：CD=Joc2 82=扪2 0.82=0.6 米，CH=0.6 + 2.3 = 2.9 （米）2.5 （米）. 因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.（二）用勾股定理求最短路线问题1、台阶中的最短问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和lcm, A和B是这个台阶的两个相对的端 点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线 路是多少？2、圆柱

20、中的最短问题如图，一圆柱体的底面周长为 2 4 cm, 高AB为 5 cm, BC 是上底面的直径. 一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面 爬行到点C,试求出爬行的最短路程.H解:如图，在RtZXABC中，B C=底面周长的一半=cm, 根据勾股定理得 （提问：勾股定理）AB2= AC2+ BC2=169,AB=13（m）.答：最短路程约为13cm.*教材帮180页例2在圆柱上绕4圈的问题；184页彳列8勾股定理与轴对称综合应用；另外在圣诞帽上缠彩带（圆 锥上绕一圈，在圆锥侧面展开图中，连接两个半径的线段）至少要多长的问题，都是求最短路程的问题 3、正方体中的最短问题 如图，边长为1的正方体

21、中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外外表爬到顶点B的最短距离是（）.（A） 3（B） J5 （C） 2（D） 1分析：由于蚂蚁是沿正方体的外外表爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.4、长方体中的最短问题如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的外表爬到对角顶点C1处（三条棱长如下图），问怎样走路线最短？最短路线长为多少?DiCi），由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短. 0abc .2ab2ac2bc, a+b2+c+2ab a=b+c+Zac 如果 A ABC 的三边分别为 a、b、c, a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断 ABC 的形状。思路点拨：要判

22、断AABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有 从该条件入手，解决问题。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,，(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0o(a-3)220, (b4)220, (c-5)220。 a=3, b=4, c=5。. 32+42=52,/. a2+b2=c2o由勾股定理的逆定理，得 ABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。举一反三【变式1】四边形ABCD中，ZB

23、=90 , AB=3, BC=4, CD=12, AD=13,求四边形ABCD的面积。 【答案工连结ACVZB=90 , AB=3, BC=4 AAC2=AB2+BC2=25 （勾股定理） /. AC=5 VAC2+CD2=169, AD2=169 aac2+cd2=ad2J ZACD=90 （勾股定理逆定理）S皿胫皿=sc + $3 4 0 初 +e = 36【变式2:ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数，且mn),判断4ABC是否为直角三角形. 分析:此题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:标+=c2即可证明.伽2 一一)2 +(2加=/一 2阴，+/ +4活.2 =/ + 2/甩，+/=(w2 4-2)2所以A8C是直角三角形.