二次函数与相似三角形综合.docx

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1、第10讲：二次函数中因动点产生的相似三角形问题l 二次函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径： 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析三角形的边和角的特点，进而得出三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中边与三角形的可能对应边分类讨论。 或利用三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。 假设两个三角形的各边均未给出，那么应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。例题1：抛物线的顶点为A2，1，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。1求抛物线的解析式；用顶点式求得抛物线的解析式为2连接OA、AB，如图2，在x

2、轴下方的抛物线上是否存在点P，使得OBP与OAB相似？假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，说明理由。例1题图图1图2解：如图2，由抛物线的对称性可知:AOAB,AOBABO.图2假设BOP与AOB相似,必须有POBBOABPO 设OP交抛物线的对称轴于A点,显然A(2,1)直线OP的解析式为由,得.P(6,3)过P作PEx轴,在RtBEP中,BE2,PE3,PB4.PBOB,BOPBPO,PBO与BAO不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得BOP与AOB相似. 例题2：如下图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C1求A、B、C三点

3、的坐标2过点A作APCB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积CBAPy3在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似假设存在，请求出M点的坐标；否那么，请说明理由解：1令，得 解得令，得 A B C2OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB=过点P作PE轴于E，那么APE为等腰直角三角形令OE=，那么PE= P点P在抛物线上 解得，不合题意，舍去PE=四边形ACBP的面积=ABOC+ABPE=(3) 假设存在PAB=BAC = PAACGM图2CByPAMG轴于点G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC=

4、AC=在RtPAE中，AE=PE= AP= 设M点的横坐标为，那么M 点M在轴左侧时，那么() 当AMG PCA时，有=GM图3CByPAAG=，MG=即解得舍去舍去() 当MAG PCA时有=即 解得：舍去M 点M在轴右侧时，那么() 当AMG PCA时有=AG=，MG= 解得舍去 M() 当MAGPCA时有=即 解得：舍去M存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为，练习：如图，抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E2，6，且ABE与ABC的面积之比为321求直线AD和抛物线的解析式；2抛物线的对称轴与轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且ABQ与ADF相似，求出点Q点的坐标【随堂练】 ：_班级：_1抛物线的顶点在y轴上，那么m的值等于2.如图，二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC (1)点A的坐标为_ ，点C的坐标为_ ； (2)线段AC上是否存在点E，使得EDC与AOC相似?假设存在，求出所有符合条件的点E的坐标；假设不存在，请说明理由；3.抛物线的图象如下图，该抛物线与轴交于、两点，顶点为C (1,4)，1根据图象所给信息，求出抛物线的解析式；2求直线与轴交点的坐标；3点是直线上的一点，且与相似，求点的坐标.5 / 5