2022年高中数学不等式超详细知识点总结 .docx

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1、精品_精品资料_选修4-5知识点1、不等式的基本性质（对称性） abba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（传递性）ab,bcac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（可加性） abacbcab, cdacbdab, cdacbd（同向可加性）（异向可减性）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（可积性） ab, c0acbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab, c0acbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（同向正数可乘性）ab0, cd0acbd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下

2、载精品_精品资料_（异向正数可除性）abab0,0cdcd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（平方法就）（开方法就）ab0ab0anbn nN, 且n1n an b nN ,且n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab0（倒数法就）11 ; ab011abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、几个重要不等式a 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b22ab a,bR,（当且仅当ab.a

3、b 时取 号） .变形公式：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（基本不等式）ababa,bR,（当且仅当 ab 时取到等号） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变形公式：abab2a b22ab.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用基本不等式求最值时（积定和最小,和定积最大）,要留意满意三个条件“一正、二定、三相等” .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三个正数的算术几何平均不等式）abc 33 abc a、 b、 cR （当且仅当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab

4、c时取到等号） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b2c2abbcca a, bR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（当且仅当 abc 时取到等号） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a3b3c33abc a0, b0, c0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（当且仅当 abc 时取到等号） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如ab0,就 baab2（当仅当 a=b 时取等号）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如ab0,就 baab2（当仅当 a=b 时

5、取等号）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bbm aam1anbnab ,（其中 ab0, m0, n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：小于 1 同加就变大,大于1 同加就变小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当a0时,xax2a2xa或xa;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xax2a2axa.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_肯定值三角不等式ababab .可编辑资

6、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、几个闻名不等式211平均不等式： ab号） .aba2b2ab22,（a ,bR,当且仅当ab 时取 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（即调和平均几何平均算术平均平方平均） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变形公式：2ababa2b2;a 2b2ab2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222幂平均不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2a 2.a 21 aa.a 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12nn12n可编

7、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二维形式的三角不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2x 2y 2 xx 2 yy 2x , y , x, yR.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112212121122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二维形式的柯西不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2 c2d 2 acbd 2 a,b, c, dR.adbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当时,等号成立 .三维形式的柯西不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 2a

8、2a 2 b 2b 2b 2a ba ba b 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1231231 12 23 3一般形式的柯西不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2a 2.a 2 b 2b 2.b 2 a ba b.a b 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n12n1 12 2n n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量形式的柯西不等式：设 ,是两个向量, 就, 当且仅当是零向量, 或存在实数 k ,使k时, 等号成立 .排序不等式（排序原理）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 a1a2.an

9、,b1b2.bn 为两组实数 . c1,c2,., cn 是b1,b2,., bn 的任一排列,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1bna2 bn 1.anb1a1c1a2 c2.an cna1b1a 2b 2.a b .n n（反序和乱序和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_次序和）,当且仅当 a1a2.an 或 b1b2.bn 时,反序和等于次序和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_琴生不等式 :（特例 :凸函数、凹函数）可编辑资料 - - - 欢迎下

10、载精品_精品资料_如定义在某区间上的函数f x ,对于定义域中任意两点x1 , x2 x1x2 , 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1x2 2f x1 2f x2 或f x1x2 2f x1 f 2x2 .就称 fx为凸（或凹）函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差,作商法）、综合法、分析法.其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.常见不等式的放缩方法： a1 23a1 2 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

11、舍去或加上一些项,如242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将分子或分母放大（缩小） ,11112212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k2k k1 ,如k 2k k1 ,2 kkkkkk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 kN* , k1kkk1等.5、一元二次不等式的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求一元二次不等式ax2bxc0或 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0,b 24ac0 解集的步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一化：化二次

12、项前的系数为正数.二判：判定对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：依据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿（奇穿偶切）,结合原式不等号的方向,写出不等式的解集 .7、分式不等式的解法：先移项通分标准化,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0g xf xg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0f x g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xg

13、x0（“或 ”时同理）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xaa0f xa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa a0f x02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xg xf xf x0g x0af x0或2g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xg xf x gxf x0g x0f x g x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精

14、品_精品资料_f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xg xg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 af x1a时,ag x f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0a1时,a f xag xf xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：依据指数函数的性质转化

15、. 10、对数不等式的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_logaf xlog ag xg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1时,f xfg xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log af xlogagxgx0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0a1时,f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：依据对数函数的性质转化. 11、含肯定值不等式

16、的解法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a定义法：aa0.a a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平方法：f xg xf 2 xg2 x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同解变形法,其同解定理有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xaaxaa0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xaxa或xaa0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xg xg xf xg

17、 x gx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xg xf xg x 或f xg x g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：关键是去掉肯定值的符号.12、含有两个（或两个以上）肯定值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段争论去肯定值、每段中取交集,最终取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解形如ax2bxc0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类争论,分类争论的标准有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_争论 a 与 0 的大小.争论与

18、0 的大小.争论两根的大小 . 14、恒成立问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式ax2bxc0 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0 时b0, c0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0当 a0 时0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式ax2bxc0 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0 时b0, c0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0当 a0 时0.可编

19、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xa 恒成立f xmaxa;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa 恒成立f xmaxa;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xa 恒成立f xmina;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa 恒成立f xmina.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15、线性规划问题常见的目标函数的类型：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

20、“截距”型：zAxBy;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z“斜率”型：y zyb ;x 或xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2“距离”型： zxy2zx2y2 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或z xa 2 yb2zxa2 yb2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或在求该 “三型” 的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简洁化 .可编辑资料 - - - 欢迎下载