2022年高数练习册第到章答案 .docx

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1、精品_精品资料_第九章 多元函数的微分法及其应用 1多元函数概念1、设.答案：2、求以下函数的定义域： 123、求以下极限：(1) 020 2偏导数1、设 z=,验证证明：,2、求空间曲线在点处切线与 x 轴正向夹角 3、设,求 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、设 u=x2+yz3 3 ,求及.解:=3x2+yz32 2x=6xx2+yz32,=3x2+yz32 z3=3z3x2+yz323x2+yz32 3yz2=9yz2x2+yz325、设,证明:6、设,求.解：7、设函数在点处的偏导数存在,求 3 全微分1、单项挑选题1 二元函数在点处连续是它在该点处偏导数存在的D

2、.(A) 必要条件而非充分条件B充分条件而非必要条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件2对于二元函数,以下有关偏导数与全微分关系中正确的选项是B.A 偏导数不连续,就全微分必不存在B偏导数连续,就全微分必存在C全微分存在,就偏导数必连续D全微分存在,而偏导数不肯定存在2、求以下函数的全微分：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 设求 dz解:2 设函数为常数且求.解:.3解：3、设,求 dz.1,1解:,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、设,求：5、争论函数在0,0点处的连续性、偏导数、可微性.解：,所以在0,0点处连续.,所以可微.4 多元复合函数的求导法就

3、、设,求解：2、设,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、设,其中具有二阶连续偏导数,求.解：.4、设,其中具有二阶连续偏导数,求,解：,=,5、设,其中对各变元具有二阶连续偏导数,求.解：6、设,证明：.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证：.类似可求得.所以. 5 隐函数的求导公式1、设,求解：令,2、设是由方程确定,求.解：=3、设,其中可微.证明 :解：;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=+y=4、设,求,5、设由方程所确定,可微,求解：令,就6、设函数是由方程所确定,求.解：TT7、设由方程所确定,证明：.证：.所以可编辑资料 - - -

4、 欢迎下载精品_精品资料_6 微分法在几何中的应用1、求螺旋线在对应于处的切线及法平面方程解：切线方程为法平面方程2、求曲线在 3, 4, 5处的切线及法平面方程解：切线方程为,法平面方程：3、求曲面上点 1,1,1处的切平面和法线方程.解：设,就.在 点 1,1,1处., 所 以 法 向 量切平面方程是：,即.法线方程是：7 方向导数与梯度1、设函数,1求该函数在点 1,3处的梯度. 2在点 1,3处沿着方向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的方向导数,并求方向导数到达最大和最小的方向解：梯度为, 方向导数到达最大值的方向为,方向导数到达最小值的方向为.2、求函数在 1,2,-

5、1 处沿方向角为的方向导数,并求在该点处方向导数到达最大值的方向及最大方向导数的值.解：方向导数为,该点处方向导数到达最大值的方向即为梯度的方向,此时最大值为3、求函数在 1,1,-1 处沿曲线在1,1,1 处的切线正方向对应于 增大的方向 的方向导数.解：,所以该函数在点 1,1,-1 处的方向导数为.4、求函数在1,1,-1 处的梯度.解：,8 多元函数的极值及求法1、求函数的极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：, 微小值点2、设函数由方程确定,求函数的驻点.解：设T驻点是 0,0.3、求的极值.解：.令=0,=0 ,得T=2 .=-1 .=1 .在1,0 点处=2

6、 , =1 ,0, 函数在 1,0点处有极值, 且由于A=20取微小值.4、求函数在条件下的条件极值.解：,微小值为5、欲造一个无盖的长方体容器,已知底部造价为3 元/ 平方,侧面造价均为1 元/ 平方,现想用 36 元造一个容积最大的容器,求它的尺寸.长和宽 2 米,高 3 米6、旋转抛物面被截成一椭圆,求原点到椭圆的最大与最小距离.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设为椭圆上的点,原点到的距离为,且满意条件：,.设令得方程组：解得：,依据实际问题,最大距离和最小距离存在,所以为最小距离.为最大距离.7、在第一卦限内作椭球面的切平面,使切平面与三个坐标面所围成的四周体体积最

7、小,求切点坐标.解：椭球面上的点.设,就在点的切平面法向量是,切平面方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_切平面在轴上的截距是：.切平面在轴上的截距是：.切平面在轴上的截距是：.三坐标面与切平面所围的四周体的体积是：.要求体积的最小值,只要求在条件下的最大值即可.设：, 令=0,=0,=0 ,并与条件联立解得由于依据实际情形,体积的最小值存在,且所求得驻点唯独,所以即为所求.第九章自测题一、挑选题： 每题 2 分,共 14 分1、设有二元函数就 B A、存在.B、不存在.C、存在, 且在0,0处不连续.D、存在, 且在0,0处连续.2、函数在各一阶偏导数存在且连续是在连续的 B

8、 A、必要条件.B、充分条件.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C、充要条件.D、既非必要也非充分条件.3、函数在0,0点处 D A、极限值为 1 .B、极限值为 -1 .C、连续.D、无极限.4、在处,存在是函数在该点可微分的 A A必要条件.B充分条件.C充要条件.D既非必要亦非充分条件.5、点是函数的BA微小值点. B驻点但非极值点.C极大值点.D最大值点.6、曲面在点 P2,1,0处的切平面方程是 CA.B.C.D7、已知函数均有一阶连续偏导数,那么 B A;B;C;D二、填空题： 每题分,共 18 分1、0、设,就、设就0、设,就在点处的全微分 dz=.、曲线在点处的切

9、线方程为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、曲线在点 1,1,1处的切线方程为 三、运算题每题6 分1、设,求的一阶偏导数.解：2、设,求的二阶偏导数.解：,3、设具有各二阶连续偏导数,求解：、设求和.解：不存在,故不存在,同理,也不存在.当时,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、设,求：.解： 1+T6、设,且具有二阶连续偏导数,求：,解：,7、,求：.解：,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,=四、试分解正数为三个正数之和,而使它们的倒数和为最小.解：设三个正数为,就,记,令就由解出.第十章重积分 1二重积分的概念与性质1、设 D 由圆求的

10、值解：由于 D 的面积为,故=2、由二重积分的几何意义求二重积分的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 D 为：解：=3、设 ft 连续,就由平面z=0 ,柱面和曲面所围的立体的体积可用二重积分表示为4、设 D 为圆域假设二重积分=,求 a 的值.解：=5、设 D：,比较与的大小关系解：在 D 上,故 2二重积分的运算法1、设,其中 D 是由抛物线与直线 y=x-4所围成的平面闭区域区域, 就 I= AA ：B：C：D：2、设 D 是由不等式所确定的有界区域,就二重积分为B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A ：0B：C：D ： 13、设 D 是由直线 x=0,

11、y=2及 y=x 所围成的区域,就二重积分的值为CA：B ：C ：D：4、 设 fx,y是连续函数,就二次积分交换积分次序后为DABCD5、设有界闭域D1 、D2 关于 oy 轴对称, f 是域 D=D1+D2上的连续函数,就二重积分为AABCD6、设 D1 是由 ox 轴、 oy 轴及直线 x+y=1 所围成的有界闭域, f 是域 D:|x|+|y| 1上的连续函数,就二重积分为BABCD7、设 fx,y 为连续函数,就交换积分次序的结果为 C AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CD8、设 I=,交换积分次序后 I 为： D9、转变二次积分的次序： =10、求,其中由 x=

12、2,y=x,xy=1所围成 .11、设 D=x,y|0 x 1,0 y 1,求的值解：=12、运算二重积分,其中 D=x,y| 0 x 1,0 y 1解：=13、运算二重积分,其中 D 是圆域解：=14、设 I=,其中 D 是由 x2+y2=Rx 所围城的区域,求I可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： I=15、运算二重积分,D：围成的闭区域解：= 3三重积分1、设是由 x=0 , y=0 , z=0 及 x+2y+z=1所围成的空间有界域,就化为三次定积分的结果为 AABCD2、设是由曲面 x2+y2=2z,及 z=2所围成的空间有界域,在柱面坐标系下将三重积分表示为累次积分

13、,就I= BABCD3、设是由所确定的有界闭域,求三重积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：先二后一法,=24 、 设是 由 曲 面 z=xy,y=x,x=1及 z=0所 围 成 的 空 间 区 域 , 求5、设是球域：,求利用偶倍奇零法. 因函数关于 z 为奇函数, 区域是球域关于 xoy 面对称,所以原式 =06、运算其中为：平面 z=2 与曲面所围成的区 域7 、 计 算其 中是 由 平 面 z=0,z=y,y=1以 及 y=x2所 围 成 的 闭 区 域2/274重积分的应用1 、 求 由 曲 面=2x,=4x,y=x,y=0所 围 成 的 图 形 面 积A2、求曲面

14、包含在圆柱内部的那部分面积解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、求圆柱体包含在抛物面和 xoy 平面之间那部分立体的体积解：4、 曲面将球面分割成三部分,由上至下依次记这三部分曲面的面积为s1, s2, s3,求 s1:s2:s3解：第十章自测题一、挑选题 : 40 分1、=DABCD.2、设为,当C时,.A 1BCD3、设,其中由所围成 ,就 =B .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A;BCD.4、设是由三个坐标面与平面=1 所围成的空间区域,就=A.ABCD.5、设为连续函数,就A.ABCD .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、运算,围成

15、的立体 ,就正确的为 B 和 CABCD .7、曲面AB包含在圆柱CD内部的那部分面积D .二、运算以下二重积分:20 分1、,其中是闭区域 : 原式=2、,其中是由直线及圆周,所围成的在第一象限内的闭区域 .原式3、,其中是由围成的闭区域 原式4、,其中:.三、作出积分区域图形并交换以下二次积分的次序: 15 分1、2、=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 、=四、运算以下三重积分:15 分1、其中是由平面上曲线绕 轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的区域.2、:所围成的闭区域原式或用球坐标运算,原式=五、5 分设为连续函数,且,其中D 是由所围成的区域,求解：设,就六、5分设

16、在上连续,试证:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=第十一章曲线积分与曲面积分1对弧长的曲线积分1、设关于轴对称,表示 在 轴上侧的部分,当关于是偶函数时,A.0 B.C.都不对2、设是以点为顶点的正方形边界,就=A. 4B.2C.D.3、有物质沿曲线：分布,其线密度为,就它的质量A. B.C.D.4. 求其中 L 为由所围区域的整个边界.解：5. 其中 L 为双纽线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原积分 =6. 其中 L 为.原积分7. 其中 L 为球面与平面的交线.解：将代入方程得于是L 的参数方程：,又原积分 =2 对坐标的曲线积分1. 设 关于轴对称

17、,表示在 轴上侧的部分,当关于 是偶函数时,A.0B.C.都不对2. 设 为的正向,就3. 为的正向,C.0D.4. ,其中由曲线从到方向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：5. 其中 是正向圆周曲线解： 由奇偶对称性, ：6. 其中为从点到的有向线段解： 方程：,7 、过和的曲线族,求曲线使沿该曲线从到的积分的值最小解：.最小,此时8、将积分化为对弧长的积分,其中 L 沿上半圆周解：,于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 格林公式及其应用1. 假设 是上半椭圆取顺时针方向 ,就=A.0B.C.D2. 设 为的正向,就A 2C.0D.3. 设 为曲线的正向,就

18、A9C. -9D.04. 设 是圆取逆时针方向,就解：将方程代入被积函数在由格林公式得5. 其中 为点到的抛物线的弧段解：因故积分与路径无关,取6. 求, 为 12 正方形边界的正向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1直接用格林公式 =0(2) 设为圆周：取逆时针方向,其参数方程原积分为所以7、验证在面上是某函数的全微分,求出解：,8、设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且,运算的值解：取路径：沿从到.再沿从到就或4对面积的曲面积分1、运算曲面积分,其中是平面在第一卦限的部分解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、求曲面积分,其中是界于平面 z=0 和

19、 z=H 之间的圆柱面解：=23、求曲面积分,其中是锥面被柱面所截得的有限部分解：= 5 对坐标的曲面积分1. 设 关于面对称反向,是 在面的前侧部分,假设关于 为偶函数,就A.0B.C.都不对2. 设 为球面取外侧 ,为其上半球面 ,就有A. B.C.D. 03. 其中由及三个坐标面所围成闭曲面的外侧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 其中 为锥面被平面所截部分的外侧5. 其中为被平面所截部分,其法向量与 z 轴成锐角6、用两类曲面积分之间的关系运算 1 求其 中是 柱 面在部 分 , 是 的外法线的方向余弦2其中为连续函数,为平面在第四卦限部分的上侧可编辑资料 - - -

20、 欢迎下载精品_精品资料_=6 高斯公式1. 设 是抛物面介于及之间部分的下侧,求解：做补面：取上侧, 就构成一个封闭曲面,取外侧, 由高斯公式知： 原式=2. 设 为平面在第一卦限部分的上侧,就=解：由轮换对称性知原式 =3. 求,其中有连续的二阶导数,是所围立体的外侧4. ,其中为取外侧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 斯托克斯公式1、设 为平面与坐标面交线,从z 轴看去为逆时针方向,求22.设 为圆周假设从轴正向看依逆时针方向,就3、其中为圆周假设从轴正向看依逆时针方向.综合练习一、填空1、设平面曲线为下半圆周,就曲线积分 2、设 为椭圆,其周长为,就123 、 设 为

21、 正 向 圆 周在 第 一 象 限 中 的 部 分 , 就 曲 线 积 分4、设是由锥面与半球面围成的空间区域,是的整个边界的外侧,就二、挑选题1、设是 在第一卦限部分 .就有 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB.C.2、设D.取上侧,就下述积分不正确的选项是AB.C.D.3、设 L 是从点 0,0沿折线、 y=1-|x-1|至点 A2,0 的折线段, 就曲线积分为A0B-1C 2D 2三、运算1运算曲面积分,其中为锥面在柱体内的部分2、运算曲线积分,其中是以为中心,为半径的圆周取逆时针方向解 ： 设为 圆 周 ：取 逆 时 针 方 向 , 其 参 数 方 程原积分为3 、

22、计 算 曲 面 积 分其 中是 曲面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的上侧.-解：取的下侧,就4 计 算 曲 面 积 分其 中 是 由 曲 面与 两 平 面围成立体外表的外侧解：面,=第十二章无穷级数 1 常数项级数的概念和性质1、 设级数,就其和为A. B .1C.D.2、 假设,就级数A. 收敛且和为 0B . 收敛但和不肯定为0C. 发散D.可能收敛也可能发散可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 、假设级数收敛于 S,就级数A .收敛于 2SB.收敛于 2S+C 收敛于 2S-D. 发散4、假设,求的值解：所以5、假设级数收敛,问数列 是否有界解：由于,故收

23、敛数列必有界.6、假设,求级数的值解：故7、求的值解：故=8、求的和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、对于级数是它收敛的依据定义判定以下级数的敛散性1 发散 条件必要可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 裂项相消收敛3 发散 2常数项级数的审敛法用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别以下级数的收敛性1、判定级数的敛散性解：由于,而级数发散,故发散3、判定敛散性收敛 ;1, 发散4、判定级数的敛散性故发散5、判定级数的敛散性由于而收敛,故原级数收敛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用比值或根值审敛法判别以下级数的收敛性6、判定级数的敛散性解：1, 所

24、以发散7、判定级数的敛散性解：,所以收敛8、收敛9、,收敛10、收敛判别以下级数是否收敛.假如收敛,是肯定收敛仍是条件收敛？11、条件收敛12、条件收敛13、肯定收敛14、肯定收敛15、解： |,用比值判别法知,所以肯定收敛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 幂级数1、设幂级数在 x=3 处收敛,就该级数在x=-1点处A. 肯定收敛B.条件收敛C. 发散D.可能收敛也可能发散2、级数的收敛域0, 43、 求幂级数的收敛半径 4、假设级数在 x=-2处收敛,就此级数在x=5 处是否收敛,假设收敛,是否肯定收敛肯定收敛 5、求幂级数的收敛域解：第一判定其收敛区间为-7 , -3 ,

25、当 x=-7 、-3 时,级数发散,所以级数的收敛域为 -7 ,-3 6、求的收敛域-1,17、求的收敛域-8、求幂级数的收敛域解：第一求得收敛区间为-3 , 3,而级数在 x=-3 处发散,在 x=3 处收敛,所以收敛域为 -3 , 39、求幂级数的和函数-1x110、求幂级数的和函数解：= -1x-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4函数绽开成幂级数1、将函数 fx=绽开成 x 的幂级数解： fx=由绽开式可得 fx=x2、将函数 fx=绽开成 x 的幂级数解：而=x两边积分得x3、将函数解：4、将解：5、将函数 fx=绽开成 x 的幂级数解： fx=6、解：=可编辑资料

26、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x7 傅里叶级数1、设 fx 是周期为的周期函数, 它在-上的表达式为fx=试将 fx绽开成傅立叶级数解：b=再将所求得的系数代入傅立叶级数可得傅立叶级数绽开式2、将函数绽开成正弦级数3、将函数绽开成正弦级数和余弦级数8 一般周期函数的傅立叶级数1、将 fx=2+|x|-1绽开成以 2 为周期的傅立叶级数后求的值解：绽开 fx=代 x=0 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=+得2、将 fx=x-10绽开成周期为 4 的余弦级数解：fx=03、将 fx=x-10绽开成周期为 4 的正弦级数的和函数为sx,求 s8解： s8=s0=综合练习一

27、挑选题 :1、以下级数中 ,收敛的是 .A. B.C.D. 2、以下级数中 ,收敛的是 .A. B.C.D. 3、以下级数中 ,收敛的是 A.B.C.D.4、部分和数列有界是正项级数收敛的 A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件5、设 为非零常数 ,就当 时,级数收敛 .A. B.C.D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、幂级数的收敛区域是 .A.B.C.0,2D.0,27、是级数收敛的 A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件8、幂级数的收敛区间是 A.B.C.D.二、判别以下级数的收敛性1、.2、三、判别级数的敛散性 .四、求极限.五、求以下幂级数的收敛区间:1、.2、.六、求幂级数的和函数 .七、求数项级数的和 .八、试将函数绽开成.自测题答案一、 1、B.2、B.3、C. 4 、C.5 、D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、.提示 :化成五、 1、.2、.六、.七、.八、九、十、.6、A. 7、 B. 8、B. 二、 1、发散. 2、收敛 . 三、条件收敛 .可编辑资料 - - - 欢迎下载