2022年高考数学导数题型归纳 2.docx

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1、精品_精品资料_文科导数题型归纳请同学们高度重视：第一, 关于二次函数的不等式 恒成立的主要解法：1、分别变量. 2 变更主元. 3 根分布. 4 判别式法5、二次函数区间最值求法： （ 1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系（ 2）端点处和顶点是最值所在其次, 分析每种题型的本质,你会发觉大部分都在解决“不等式恒成立问题” 以及“充分应用数形结合思想” ,创建不等关系求出取值范畴.最终,同学们在看例题时,请留意查找关键的等价变形和回来的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值.不等式恒成立.1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一步

2、：令f x0 得到两个根.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次步：画两图或列表. 第三步：由图表可知.其中 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,2、常见处理方法有三种：第一种：分别变量求最值 -用分别变量时要特殊留意是否需分类争论（0,=0,0 ）其次种：变更主元 （即关于某字母的一次函数） - （ 已知谁的范畴就把谁作为主元）.（请同学们参看 2022 省统测 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1：设函数yf x 在区间 D 上的导数为f x , f x 在区间 D 上的导数为gx ,如在区间D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上 ,

3、g x0 恒 成 立 , 就 称 函 数yf x在 区 间 D上 为 “ 凸 函 数 ”, 已 知 实 数 m是 常 数 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xx4mx33x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1262可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如yf x在区间 0,3 上为“凸函数” ,求 m 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如对满意 m值.2 的任何一个实数 m ,函数f x在区间a,b 上都为 “凸函数”,求 ba 的最大可编辑资料 - - -

4、欢迎下载精品_精品资料_x4mx33 x2x3mx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 由函数f x1262得 f x3x32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xx2mx3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） Q yf x 在区间0,3 上为“凸函数” ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就g xx2mx3 0 在区间 0,3 上恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：从 二次函数的区间最值 入手：等价于g max x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g 0030m2g 3093m30解

5、法二： 分别变量法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 时,g xx2mx330 恒成立 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0x3 时,gxx2mx30 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等价于x233mxxx的最大值（ 0x3 ）恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 hx3x（ 0xx3 ）是增函数,就hmax xh32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 当 m2 时 fx 在区间a, b 上都为“凸函数”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

6、_精品资料_就等价于当 m2时 g xx2mx30 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变更主元法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再等价于F mmxx230 在 m2 恒成立 （视为关于 m 的一次函数最值问题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F 202 xx230F 202 xx2301x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ba2-22请同学们参看 2022 第三次周考：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2：设函数f x1 x 332ax 23a 2 xb0a1,bR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

7、料_（）求函数 f（ x）的单调区间和极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如对任意的xa1,a2, 不等式f xa 恒成立,求 a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二次函数区间最值的例子）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（）f xx24ax3a2x3axa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Q 0a1f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a3aa3a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可

8、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 f x0, 得f x 的单调递增区间为（a,3a）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 f x0, 得f x 的单调递减区间为（, a）和（ 3a, +）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x=a 时,f x 微小值 =3 a3b; 当 x= 3a 时,4f x极大值 =b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）由 | fx | a,得：对任意的xa1,a2,ax24ax3a2a 恒成立可编辑资料 - -

9、- 欢迎下载精品_精品资料_gmax xa22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 等 价 于gx这 个 二 次 函 数gmin xg xxa4ax3a的 对 称 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2a Q 0a1, a1aa2a （放缩法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即定义域在对称轴的右边,g x这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xx24ax3a 2在 a1,a2 上是增函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g x maxg x ming aga22a1.14

10、a4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1,a2x2a于是,对任意 x a1, a2 ,不等式恒成立,等价于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_gaga24a412a1a, 解得 4a5a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 0a1, 4a1.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型特点：f xg x恒成立h xf xg x0 恒成立.从而转化为第一、

11、二种题型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3.已知函数f xx3ax2 图象上一点P1,b 处的切线斜率为3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xx3t6 x22t1x3t0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求a, b 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）当 x1,4时,求f x的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）当 x1,4时,不等式f xg x 恒成立,求实数t 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（）f / x3x22ax f / 13a3,解得可编辑资料 -

12、 - - 欢迎下载精品_精品资料_b1ab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）由（）知,f x在1,0 上单调递增,在0,2 上单调递减,在2,4 上单调递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f 14,f 00,f 24,f 416可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x 的值域是 4,16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）令h xf xgxt x22t1x3x1,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路 1：要使f xg x 恒成立,只需hx0 ,即t x22 x2 x6 分别变量可编辑资料 - - - 欢迎

13、下载精品_精品资料_思路 2：二次函数区间最值二、题型一： 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法 1： 转化为f x0或f x0 在给定区间上恒成立, 回来基础题型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法 2：利用子区间（即子集思想） .第一求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集.做题时肯定要看清晰“在（ m,n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”,要弄清晰两句话的区分：前者是后者的子集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4：已知 aR,函数f x1 x 312a1 x 2

14、2 4a1 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）假如函数g xf x是偶函数,求f x 的极大值和微小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）假如函数f x 是 , 上的单调函数,求 a 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： fx1 x24 a1x 4a1 .1312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）f x 是偶函数a,1.此时f xx123x , f(x) x3 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 f x0 ,解得： x2 3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列表如下：x,

15、23 23 23 ,23 2323 ,+ 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x+00+递增极大值递减微小值递增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可知：f x的极大值为f 23 43 ,f x 的微小值为f 23 4 3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（） 函数f x 是 , 上的单调函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x1 x24a1x214a10 ,在给定区间 R 上恒成立 判别式法2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就a144a1a42a0,解得： 0a2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

16、_精品资料_综上, a 的取值范畴是 a 0a2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5、已知函数f x1 x31 2a x21axa0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ I）求 f x32的单调区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II ）如f x 在0 , 1 上单调递增, 求 a 的取值范畴. 子集思想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ I） fxx22a) x1a x1x1a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

17、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 当a0时, f x x120恒成立 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 x1 时取“ =”号,f x在, 单调递增.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 当a0时,由f x0, 得x11, x2a1,且x1x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x单调增区间： ,1, a1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调增区间： 1,a1-1a-1可编辑资料 - - - 欢迎下

18、载精品_精品资料_（ II ）当Q f x在0,1 上单调递增, 就 0,1 是上述增区间的子集：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 a0 时,f x在, 单调递增 符合题意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 0,1a1,a10a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上, a 的取值范畴是 0 , 1 .三、题型二：根的个数问题题 1 函数 fx 与 gx（或与 x 轴）的交点 =即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不

19、等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”仍是“先减后增再减”.其次步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）. 主要看极大值和微小值与0 的关系.第三步：解不等式（组）即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6、已知函数f x1 x33 k12x 2 ,g x1kx ,且3f x在区间2, 上为增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） 求实数 k 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 如函数f x与 g x的图象有三个不同的交点,求实数k 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：

20、（ 1）由题意f xx 2k1x f x在区间2, 上为增函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xx2 k1 x0 在区间2, 上恒成立 （分别变量法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 k1x 恒成立,又 x2 , k1x 3k2 ,故 k11 k 的取值范畴为k11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设h xf xg x3x 2kx,23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h xx 2k1xk xk x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 h x0 得 xk 或 x1 由（ 1）知 k1 ,可编辑资料 -

21、 - - 欢迎下载精品_精品资料_当 k1 时,h xx1 20 , hx 在 R 上递增,明显不合题意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 k1 时,h x , h x 随 x 的变化情形如下表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x, kkk,111,h xh x0极大值0微小值k 3k 21k16232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 k120 ,欲使f x 与g x的图象有三个不同的交点,即方程h x0 有三个不同的实根,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 3k 21k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故需0

22、 ,即 k1 k 22k20 ,解得 k13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_623k 22k20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上,所求 k 的取值范畴为 k13根的个数知道,部分根可求或已知.312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7、已知函数f xaxx22 xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如 x1 是 fx 的极值点且f x的图像过原点,求f x 的极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如g

23、 x1 bx 22xd ,在（ 1）的条件下,是否存在实数b ,使得函数g x 的图像与函数f x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图像恒有含 x1 的三个不同交点？如存在,求出实数b 的取值范畴.否就说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（1）f x 的图像过原点,就f 00c0 fx3ax 2x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 x1 是 fx 的极值点,就f 13a120a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x2

24、f x3xx23 x32 x10222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-123f 极大值 xf 1f微小值2xf 37可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设函数gx 的图像与函数f x 的图像恒存在含 x1 的三个不同交点,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等价于f xg x 有含 x1 的三个根,即：f 1g1db12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_312121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx2 xbxxb1 整理得：222可编辑资料 - - - 欢迎下载精

25、品_精品资料_即： x31 b1x2x1 b10 恒有含 x1 的三个不等实根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22（运算难点来了：） hxx31 b1x2x1 b10 有含 x1 的根,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 h x 必可分解为 x1二次式220 ,故用 添项配凑法因式分解,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3x221xb1x21xb10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 x11 b1x2x1 b10可编辑资料 - -

26、 - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 x11 b21x22 xb10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十字相乘法分解：x x1b21xb1x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 x21 b1x1 b10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x31 b1x2x1 b10 恒有含 x221 的三个不等实根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等价于 xb1xb10 有两个不等于 -1 的

27、不等实根.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221 b1241 b10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_42b,11,33,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 121b11b10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22题 2：切线的条数问题 =以切点x0 为未知数的方程的根的个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7、已知函数f x32axbxcx 在点x0 处取得微小值 4,使其导数f x0 的 x 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 1,3 ,求：（ 1） 值范畴f x的解析式.（ 2）如过点P

28、1,m 可作曲线yf x 的三条切线,求实数m 的取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）由题意得：f x3ax22bxc3ax1x3, a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 ,1 上f x0 .在 1,3 上f x0 .在 3, 上f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此 fx在 x01 处取得微小值4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ abc4 ,af 13a12bc0 ,f 327a6bc0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由联立得：b6,c9f xx36 x29 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

29、_精品资料_（ 2）设切点 Q t ,f t ,yf t f ,t xt 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y3t12t39 xtt26t9t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3t 212t9 xt 3t 212t9tt 26t9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3t 212t9 xt 2t 26t 过 1,m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m 3t 212t912t 36t 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g t 2t32t 212t9m0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 g t 6t26t12

30、6t 2t20 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求得： t1,t2 ,方程gt0 有三个根.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g 10需：g 2023129m01612249m0m16m11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故： 11m16 .因此所求实数 m 的范畴为： 11,16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题 3：已知f x在给定区间上的极值点个数 就有导函数 =0 的根的个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法：根分布或判别式法例 8、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：函数的定义域为R （）当 m 4 时, f x 1x3 7x2 10x,32f x x 2 7x 10,令 f x0, 解得 x5, 或 x2.令 f x0 , 解得 2x5可知函数 fx的单调递增区间为,2 和（ 5,）,单调递减区间为2,5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）f x x 2 m 3x m 6,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资