高一数学复习重点汇总讲解大全~.doc

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1、-_高中数学知识点汇总（高一）高中数学知识点汇总（高一）高中数学知识点汇总（高一）.1一、集合和命题.2二、不等式.4三、函数的基本性质.6四、幂函数、指数函数和对数函数.12（一）幂函数.12（二）指数&指数函数.13（三）反函数的概念及其性质.14（四）对数&对数函数.15五、三角比.17六、三角函数.24-_一、集合和命题一、集合和命题一、集合：一、集合：（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性；（2）元素与集合的关系：属于集合；aAaA不属于集合aAaA（3）常用的数集：自然数集；正整数集；整数集；N*NZ 有理数集；实数集；空集；复数集；QRC ；负整数集正整数集ZZ负有理数集

2、正有理数集QQ负实数集正实数集RR（4）集合的表示方法：集合； 描述法无限集列举法有限集例如：列举法：；描述法： , , , , z h a n g1x x （5）集合之间的关系：集合是集合的子集；特别地，；BA ABAAABACBC或集合与集合相等；BA AB AB AB集合是集合的真子集ABAB例：；NZQRCNZQRC空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集（6）集合的运算：交集：集合与集合的交集；BxAxxBA且AB并集：集合与集合的并集；BxAxxBA或AB补集：设为全集，集合是的子集，则由中所有不属于的元素组成的集合，叫UAUUA做集合在全集中的补集，记作AUACU-_得摩根定

3、律：；()UUUCABC AC B()UUUCABC AC B（7）集合的子集个数：若集合有个元素，那么该集合有个子集；个真子集；个非空子集；A*()n nN2n21n21n个非空真子集22n 二、四种命题的形式：二、四种命题的形式：（1）命题：能判断真假的语句（2）四种命题：如果用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，那么四种命题形式就是： 命题原命题逆命题否命题逆否命题表示形式若，则若，则；若，则；若，则逆命题关系原命题逆命题逆否命题否命题 否命题关系原命题否命题逆否命题逆命题 逆否命题关系 同真同假关系原命题逆否命题逆命题否命题（3）充分条件，必要条件，充要条件：若，那么叫

4、做的充分条件，叫做的必要条件；若且，即，那么既是的充分条件，又是的必要条件，也就是说，是的充分必要条件，简称充要条件欲证明条件是结论的充分必要条件，可分两步来证：第一步：证明充分性：条件结论；第二步：证明必要性：结论条件（4）子集与推出关系：设、是非空集合，AB具有性质xxA 具有性质yyB 则与等价BA 结论：小范围结论：小范围大范围；例如：小明是上海人大范围；例如：小明是上海人小明是中国人小明是中国人小范围是大范围的充分非必要条件；小范围是大范围的充分非必要条件；大范围是小范围的必要非充分条件大范围是小范围的必要非充分条件-_二、不等式二、不等式一、不等式的性质：一、不等式的性质：不等式的

5、性质1、； 2、；cacbba ,cbcaba3、； 4、；bcaccba0,dbcadcba ,5、； 6、；bdacdcba0, 0baba11007、； 8、)(0*Nnbabann) 1,(0*nNnbabann二、一元一次不等式：二、一元一次不等式：0a 一元一次不等式bax 0a0a 0b0b解集abx abx R三、一元二次不等式：三、一元二次不等式：)0(02acbxax的根的判别式042acb042acb042acb)0(2acbxaxy)0(02acbxax，,21xx21xx 0x)0(02acbxax12(,)(,)xx),(),(00xxR)0(02acbxax),(

6、21xx)0(02acbxax12(,)xxRR)0(02acbxax,21xx0x四、含有绝对值不等式的性质：四、含有绝对值不等式的性质：-_（1）； （2）bababannaaaaaa2121五、分式不等式：五、分式不等式：（1）； （2）0)(0dcxbaxdcxbax0)(0dcxbaxdcxbax六、含绝对值的不等式：六、含绝对值的不等式：ax ax ax ax 0a0a0a0a0a0a0a0a0a0aaxaaxax 或Raxa0xaxax 或R七、指数不等式：七、指数不等式：（1）； （2）)()() 1()()(xxfaaaxxf)()() 10()()(xxfaaaxxf八、对

7、数不等式：八、对数不等式：（1）； )()(0)() 1)(log)(logxxfxaxxfaa（2） )()(0)() 10)(log)(logxxfxfaxxfaa九、不等式的证明：九、不等式的证明：（1）常用的基本不等式：，当且仅当时取“”号 ；Rbaabba、(222ba )，当且仅当时取“”号 ；Rbaabba、(2ba )补充公式：222ab2abab2 11 ab ，当且仅当时取“”号 ；Rcbaabccba、(3333cba)，当且仅当时取“”号 ；Rcbaabccba、(33cba)为大于 1 的自然数，当且仅当naaanaaannn(2121Raaan,21时取“”号 ；n

8、aaa21)（2）证明不等式的常用方法：比较法； 分析法； 综合法-_三、函数的基本性质三、函数的基本性质一、函数的概念：一、函数的概念：（1）若自变量自变量因变量因变量，则就是的函数，记作；fx对应法则yyxDxxfy),(的取值范围函数的定义域定义域；的取值范围函数的值域值域xDy求定义域一般需要注意：，； ，；1 ( )yf x( )0f x ( )nyf x( )0f x ，； ，；0( ( )yf x( )0f x log( )ayf x( )0f x ，且( )logf xyN( )0f x ( )1f x （2）判断是否函数图像的方法：任取平行于轴的直线，与图像最多只有一个公共点

9、；y（3）判断两个函数是否同一个函数的方法：定义域是否相同；对应法则是否相同 二、函数的基本性质：二、函数的基本性质：（1）奇偶性：函数Dxxfy),(“定义域关于 0 对称”成立D前提条件)()(xfxf成立( )()f xfx 成立“定义域关于 0 对称” ；D“” ； “)()(xfxf”( )()f xfx 不成立或者或者成立、都不成立奇偶性偶函数奇函数 奇偶函数 图像性质关于轴对称y关于对称)0 , 0(O非奇非偶函数注意：注意：定义域包括 0 的奇函数必过原点(0,0)O（2）单调性和最值：前提条件，任取Dxxfy),(DI 12,x xI区间单调增函数或 )()(2121 xfx

10、fxx )()(2121 xfxfxx单调减函数或 )()(2121 xfxfxx )()(2121 xfxfxx最小值)(0minxfy任取00,( )()xDxD f xf x存在最大值)(0maxxfy00,( )()xDxD f xf x任取存在-_注意：注意：复合函数的单调性： 函数单调性外函数( )yf xAAAA内函数( )yg xAAAA复合函数 ( )yf g xAAAA如果函数在某个区间上是增（减）函数，那么函数在区间上是单调函单调函)(xfy I)(xfy I数数，区间叫做函数的单调区间单调区间I)(xfy （3）零点：若，且，则叫做函数的零点Dxxfy),(Dc0)(c

11、fcx )(xfy 零点定理零点定理：；特别地，特别地，当是单调函单调函 0)()(,),( bfafbaxxfy00( , )()0xa bf x 存在( ), , yf x xa b数数，且，则该函数在区间上有且仅有有且仅有一个零点，即存在唯一唯一，使( )( )0f af b , a b0( , )xa b得0()0f x（4）平移的规律：“左加右减，下加上减” 函数向左平移k向右平移k向上平移h向下平移h备注)(xfy )(kxfy)(kxfy)(xfhy)(xfhy0,hk（5）对称性：轴对称的两个函数：函数)(xfy 对称轴轴x轴yxy xymx ny 函数)(xfy )( xfy

12、)(yfx )( yfx)2(xmfy)(2xfyn中心对称的两个函数： 函数对称中心函数)(xfy ),(nm)2(2xmfyn轴对称的函数：函数)(xfy 对称轴轴ymx -_条件( )()f xfx( )(2)f xfmx注意：注意：关于对称；()()f axf bx( )f x2abx关于对称；()()f axf ax( )f xxa关于对称，即是偶函数( )()f xfx( )f x0x ( )f x中心对称的函数：函数)(xfy 对称中心( , )m n条件( )2(2)f xnfmx注意：注意：关于点对称；()()f axf bxc( )f x(, )22ab c关于点对称；()

13、()0f axf bx( )f x(,0)2ab关于点对称；()()2f axf axb( )f x( , )a b关于点对称，即是奇函数( )()0f xfx( )f x(0,0)( )f x（6）凹凸性：设函数，如果对任意，且，都有，则( ),yf x xD12,x xD12xx1212()() 22xxf xf xf称函数在上是凹函数；例如：( )yf xD2yx进一步，如果对任意，都有，则称函12,nx xxD1212()()()nnxxxf xf xf xfnn数在上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；( )yf xD设函数，如果对任意，且，都有，则( ),yf x xD1

14、2,x xD12xx1212()() 22xxf xf xf称函数在上是凸函数例如：( )yf xDlgyx进一步，如果对任意，都有，则称函12,nx xxD1212()()()nnxxxf xf xf xfnn数在上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式( )yf xD-_（7）翻折： 函数翻折后翻折过程()yfx将在轴右边的图像不变，并将其翻折到轴左边，并覆盖并覆盖( )yf xyy( )yf x将在轴上边的图像不变，并将其翻折到轴下边，并覆盖并覆盖( )yf xxx()yfx第一步：将在轴右边的图像不变，并将其翻折到左边，并覆盖并覆盖；( )yf xy第二步：将轴上边的图像不变，并

15、将其翻折到轴下边，并覆盖并覆盖xx( )yf x( )yf x将在轴上边的图像保持不变，并将轴下边的图像翻折到轴( )yf xxxx上边，不覆盖不覆盖（8）周期性：若，恒有，则称为这个函数的周期Rxxfy),(0TxR任取)()(xfTxfT注意：若是的周期，那么也是这个函数的周期；T)(xfy )0,(kZkkT周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期，是周期函数，且其中一个周期；()()f xaf xbab( )f xTab（阴影部分下略），；( )()f xf xp 0p 2Tp，；()()f xaf xb ab2Tab或，；1( )()f xf xp1( )()f xf xp 0

16、p 2Tp或，；1()( )1()f xpf xf xp() 1( )() 1f xpf xf xp0p 2Tp或，；1()( )1()f xpf xf xp() 1( )() 1f xpf xf xp0p 4Tp关于直线，都对称；( )f xxaxbab2Tab关于两点，都成中心对称；( )f x( , )a c( , )b cab2Tab关于点，成中心对称，且关于直线，对称；( )f x( , )a c0a xbab4Tab若（为常数，） ，则是以( )()(2 )()f xf xaf xaf xnamm*nN( )f x为周期的周期函数；(1)na-_若（为常数，为正偶数） ，则是以(

17、)()(2 )()f xf xaf xaf xnammn( )f x为周期的周期函数2(1)na三、三、V 函数：函数：定义形如的函数，称作 V 函数函数(0)ya xmh a分类,0ya xmh a,0ya xmh a图像定义域R值域 ,)h (, h对称轴xm 开口向上向下顶点(, )m h单调性在上单调递减；(,m 在上单调递增,)m在上单调递增；(,m 在上单调递减,)m注意当时，该函数为偶函数0m -_四、分式函数：四、分式函数：定义形如的函数，称作分式函数分式函数(0)ayxax分类（耐克函数耐克函数）,0ayxax,0ayxax图像定义域(,0)(0,)值域(, 22,)aa R

18、渐近线，0x yx单调性在，上单调递增；(,a ,)a 在，上单调递减,0)a(0,a在，上单调递增；(,0)(0,)五、曼哈顿距离：五、曼哈顿距离：在平面上，则称为的曼哈顿距离11( ,)M x y22(,)N xy1212dxxyyMN六、某类带有绝对值的函数：六、某类带有绝对值的函数：1、对于函数，在时取最小值；yxmxm2、对于函数，在时取最小值；yxmxnmn , xm n3、对于函数，在时取最小值；yxmxnxpmnpxn4、对于函数，在时取最小值；yxmxnxpxqmnpq , xn p5、推广到，在时取最小值；122nyxxxxxx122nxxx1,nnxxx，在时取最小值12

19、21nyxxxxxx1221nxxxnxx思考：对于函数，在_时取最小值1232yxxxx-_四、幂函数、指数函数和对数函数四、幂函数、指数函数和对数函数（一）幂函数（一）幂函数（1）幂函数的定义：形如的函数称作幂函数，定义域因而异)(Raxyaa（2）当时，幂函数在区间上的图像分三类，如图所示1 , 0a)(Raxya), 0 （3）作幂函数的草图，可分两步：) 1 , 0(axya根据的大小，作出该函数在区间上的图像；a), 0 根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在上的图像0 ,(（4）判断幂函数的的大小比较：)(Raxyaa方法一：与直线的交点越靠上，越大；)(Raxya(1)xm

20、 ma方法二：与直线的交点越靠下，越大)(Raxya(01)xmma（5）关于形如的变形幂函数的作图：()axbyccxd0作渐近线（用虚线）：、；dxc ayc选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取；(0,)b d画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下） -_（二）指数（二）指数&指数函数指数函数1、指数运算法则：、指数运算法则：；，其中yxyxaaaxyyxaa)(xxxbaba )( )x x xaa bb), 0,(Ryxba、2、指数函数图像及其性质：、指数函数图像及其性质：/) 1(aayx) 10(aayx图像定义域R值域), 0( 奇偶性非奇非偶

21、函数渐近线轴x单调性在上单调递增；(,) 在上单调递减；(,) 指数函数的函数值恒大于零； xay 指数函数的图像经过点；xay ) 1 , 0(性质当时，；0x1y当时，0x10 y当时，；0x10 y当时，0x1y3、判断指数函数、判断指数函数中参数中参数的大小：的大小：xyaa方法一：与直线的交点越靠上，越大；xya(0)xm ma方法二：与直线的交点越靠下，越大xya(0)xm ma-_（三）反函数的概念及其性质（三）反函数的概念及其性质1、反函数的概念：、反函数的概念：对于函数，设它的定义域为，值域为，如果对于中任意一个值，在中总有唯( )yf xDAAyD一确定的值与它对应，且满足

22、，这样得到的关于的函数叫做的反函数，记作x( )yf xxy( )yf x在习惯上，自变量常用表示，而函数用表示，所以把它改写为1( )xfyxy1( )()yfx xA2、求反函数的步骤：（、求反函数的步骤：（“解解”“换换”“求求” ）将看作方程，解出；( )yf x( )xf y将、互换，得到；xy1( )yfx标出反函数的定义域（原函数的值域） 3、反函数的条件：、反函数的条件：定义域与值域中的元素一一对应 4、反函数的性质：、反函数的性质：原函数过点，则反函数过点；)(xfy ),(nm)(1xfy),(mn原函数与反函数关于对称，且单调性相同；)(xfy )(1xfyxy 奇函数的

23、反函数必为奇函数 5、原函数与反函数的关系：、原函数与反函数的关系：/函数)(xfy )(1xfy定义域DA值域AD-_（四）对数（四）对数&对数函数对数函数1、指数与对数的关系：、指数与对数的关系： abNNab指数幂bNalog底数 对数真数2、对数的运算法则：、对数的运算法则：，；常用对数，自然对数；01loga1logaaNaNalogNN10loglgNNelogln，；NMMNaaaloglog)(logNMNMaaalogloglogMnMan aloglog，bNNaa blogloglogabbalog1logbnmbam anloglogbbac acloglogloglo

24、gNNbaab3、对数函数图像及其性质：、对数函数图像及其性质：/) 1(logaxya) 10(logaxya图像定义域), 0( 值域R奇偶性非奇非偶函数渐近线轴y单调性在上单调递增；), 0( 在上单调递减；), 0( 对数函数的图像在轴的右方；xyalogy对数函数的图像经过点；xyalog)0 , 1 (性质 当时，；1x0y当时，10 x0y当时，；1x0y当时，10 x0y -_4、判断对数函数、判断对数函数中参数中参数的大小：的大小：log,0ayx xa方法一：与直线的交点越靠右，越大；log,0ayx x(0)ym ma方法二：与直线的交点越靠左，越大log,0ayx x(

25、0)ym ma-_五、三角比五、三角比1、角的定义：、角的定义：（1）终边相同的角：与表示终边相同的角度；2,kkZ终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；与表示终边共线的角（同向或反向） ,kkZ（2）特殊位置的角的集合的表示：位置角的集合在轴正半轴上x2,kkZ 在轴负半轴上x2,kkZ 在轴上x,kkZ 在轴正半轴上y2,2kkZ 在轴负半轴上y32,2kkZ 在轴上y,2kkZ 在坐标轴上,2kkZ 在第一象限内22,2kkkZ在第二象限内22,2kkkZ在第三象限内322,2kkkZ在第四象限内3222 ,2kkkZ（3）弧度制与角度制互化：； ； 180rad1801rad

26、1180rad -_（4）扇形有关公式：；rl弧长公式：；rl扇形面积公式：（想象三角形面积公式） 211 22Slrr（5）集合中常见角的合并：2 2222 222,244 5424 24324 424xkxkxk kxxk xk xkkxkZxk xk xkkx xk xk xk （6）三角比公式及其在各象限的正负情况：以角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴建立直角坐标系，在的终边上任取一个异x于原点的点，点到原点的距离记为 ，则( , )P x yPr-_（7）特殊角的三角比：角度制030456090180270360 弧度制06 4 3 2232sin02122 231010cos12

27、3 22 210101tan03313无0无0（8）一些重要的结论：（注意，如果没有特别指明，的取值范围是）kkZ角和角的终边：角和角的终边关于轴对称x关于轴对称y关于原点对称sinsin coscos tantan sinsin coscos tantan sinsin coscos tantan 的终边与的终边的关系2的终边在第一象限；(2,2)2kk(,)24kk的终边在第二象限；(2,2)2kk(,)242kk的终边在第三象限；3(2,2)2kk3(,)224kk的终边在第四象限3(2,22 )2kk3(,)24kk与的大小关系：sincos的终边在直线右边（） ；sincos3(2,

28、2)44kkyx0xy的终边在直线左边（） ；sincos5(2,2)44kkyx0xy的终边在直线上（） sincos52244kk，yx0xy-_与的大小关系：sincos的终边在或；sincos(,)44kk0 0xy xy 0 0xy xy 的终边在或；sincos3(,)44kk0 0xy xy 0 0xy xy ，的终边在sincos344kk,kZyx 2、三角比公式：、三角比公式：（1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）第一组诱导公式： 第二组诱导公式： 第三组诱导公式：（周期性） （奇偶性） （中心对称性） cot)2cot(tan)2tan(cos)2cos

29、(sin)2sin(kkkk cot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin( cot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(第四组诱导公式： 第五组诱导公式： 第六组诱导公式：（轴对称） （互余性） cot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)2cot(cot)2tan(sin)2cos(cos)2sin(tan)2cot(cot)2tan(sin)2cos(cos)2sin(（2）同角三角比的关系：倒数关系： 商数关系： 平方关系：1cottan1seccos1cscsin )0(sinsincoscot)0(coscossin

30、tan222222csccot1sectan11cossin（3）两角和差的正弦公式：；sincoscossin)sin(两角和差的余弦公式：；sinsincoscos)cos(两角和差的正切公式：tantan1tantan)tan(-_（4）二倍角的正弦公式：；cossin22sin二倍角的余弦公式：；1cos2sin21sincos2cos2222二倍角的正切公式：；2tan1tan22tan降次公式： 万能置换公式： ； 22222221 cos2sin21 cos2sin21 cos2cos21 cos2cos21 sinsincos221 cos2tan1 cos21 sinsinc

31、os22 2222tan1tan22tantan1tan12costan1tan22sin半角公式：； sincos1 cos1sin 2tan（5）辅助角公式：版本一：，其中)sin(cossin22baba 2222cossin,20baabab版本二：，其中22sincossin()abab,0,0,tan2ba ba3、正余弦函数的五点法作图：、正余弦函数的五点法作图：以为例，令依次为，求出对应的与值，描点作图sin()yxx30, ,222xy( , )x y4、正弦定理和余弦定理：、正弦定理和余弦定理：（1）正弦定理：为外接圆半径 ；RRCc Bb Aa(2sinsinsin)其中

32、常见的结论有：，；ARasin2BRbsin2CRcsin2，；RaA2sinRbB2sinRcC2sin；cbaCBA:sin:sin:sin；22sinsinsinABCSRABCsinsinsinsinsinsinABCaRBCSbRACcRAB 4ABCabcSR-_（2）余弦定理：版本一：；版本二：； CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222abcabCacbcaBbcacbA2cos2cos2cos222222222（3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：coscos coscos coscosabCcB bcAaC caBbA 5、与三角形

33、有关的三角比：、与三角形有关的三角比：（1）三角形的面积：；1 2ABCSdh；111sinsinsin222ABCSabCbcAacB， 为的周长2222ABCllllSabclABC（2）在中，ABC；sinsincoscoscotcotabABABABAB若是锐角三角形，则；ABCsincosAB；sin()sin sin()sin sin()sinABC BCA ACB cos()cos cos()cos cos()cosABC BCA ACB tan()tan tan()tan tan()tanABC BCA ACB ；sincos22sincos22sincos22ABCBACCA

34、B tancot22tancot22tancot22ABCBACCAB ；sincos22sincos22ABAC sincos22sincos22BABC sincos22sincos22CACB ；sinsincoscos2222sinsincoscos2222sinsincoscos2222ABABACACBCBC sinsinsincoscoscos222222ABCABC-_；sinsinsin4coscoscos222coscoscos14sinsinsin222sinsinsin4sinsincos222ABCABCABCABCABCABC ；sin2sin2sin24sinsi

35、nsin cos2cos2cos24coscoscos1ABCABC ABCABC ；3 3sinsinsin(0,2 3coscoscos(1, 2ABCABC 3 3sinsinsin(0,8 sinsinsincoscoscos 1coscoscos( 1, 8ABCABCABCABC 其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明（3）在中，角、成等差数列ABCABC3B（4）的内切圆半径为ABC2Srabc 6、仰角、俯角、方位角：、仰角、俯角、方位角：略 7、和差化积与积化和差公式（理科）：、和差化积与积化和差公式（理科）：（1）积化和差公式： ；1sincossin()sin()2 1cossinsin()sin()2 1coscoscos()cos()2 1sinsincos()cos()2 （2）和差化积公式：sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22