高中~数学必修一至必修五复习重点分析总结.doc

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1、-_必修必修 1 1 第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 aA ，相反，a 不属于集合 A 记作 aA 二、集合间的基本关系 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 B A 那就说集合

2、 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A) 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集(即找 公共部分)记作 AB(读作”A 交 B”)，即 AB=x|xA，且 xB 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。 （即 A 和 B 中所有的元素）记作：AB(读作”A 并 B”)，即 AB=x|xA，或 xB 4、全集与补集 （1）补集：设 S 是一个集合，A 是

3、 S 的一个子集（即 ） ，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集 合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集） （即除去 A 剩下的元素组成的集合） 四、函数的有关概念 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、 对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它 的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函 数的定义域还

4、要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 4了解区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示 7函数单调性 （1） 增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 a，b，当 a1010 L A B 公理 1 作用：判断直线是否在平面内. （2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面 ， 使 A、B、C。LA -_公理 2 作用：确定一个平面的依据

5、。 （3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P =L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线： 同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设 a、b、c 是三条直线ab cb 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。

6、3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4 注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与O的选择无关， 为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角 (0， )；2 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 有且只有

7、一个公共点 （3）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示a a=A a 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平 行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：a b = a ab 2.2.2 平面与平面平行的判定P L共面直线=ac-_1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab = P = a b 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （

8、2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交 线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：a a = ab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： = a = ab = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.12.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判

9、定1、定义：如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面 互相垂直，记 作 L，直线 L 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一 公共点 P 叫做垂足。PaL 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面 垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B-_2、二面角的记法：二面角 -l

10、- 或 -AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。第三章第三章 直线与方程直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我 们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180 （2）直线的斜率 定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线

11、的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在.当90,0时，0k； 当180,90时，0k； 当90时，k不存在。过两点的直线的斜率公式：)(21 1212xxxxyyk （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2）注意下面四点：(1)当21xx 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；(2)k与P1、P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐

12、标先求斜率得到。 （3）直线方程点斜式：)(11xxkyy直线斜率k，且过点11, yx注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐 标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：112121yyxx yyxx（1212,xxyy）直线两点11, yx，22,yx截矩式：1xy ab其中直线l与x轴交于点( ,0)a,与y轴交于点(0, )b,即l与x轴、y轴的截距分别为, a b。一般式：0CByAx（A，B不全为 0）注意：各式的适用范

13、围 特殊的方程如： 1 2平行于x轴的直线：by （b为常数） ； 平行于y轴的直线：ax （a为常数） ； （6）两直线平行与垂直 当111:bxkyl，222:bxkyl时，-_212121,/bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点0:1111CyBxAl 0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组 00222111 CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21/ll ； 方程组有无数解1l与2l重合（8）两点间距离公式：设1122( ,),A x yB xy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则22 2121|(

14、)()ABxxyy （9）点到直线距离公式：一点00, yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd （10）两平行直线距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为：，1l2l1l01CByAx：，则与的距离为2l02CByAx1l2l 2221 BACCd 第四章第四章 圆与方程圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程（1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为 r；点与圆的位置关系：00(,)M xy222()()xaybr当，点在圆外22 00()()xayb2r当=，点在圆上22 00()()xay

15、b2r当b 解的讨论； 一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.000二次函数cbxaxy2（0a）的图象一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221 无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或 abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx 对于 a0 的不等式可以先把 a 化为正后用上表来做即可。11、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数ab2abababab-_12、均值不等式定理均值不等式定理： 若，则，即0a 0b 2abab2abab13、常用的基本不等式常用的基本不等式：； ；222,abab a bR22 ,2ababa bR； 2 0,02ababab222 ,22ababa bR14、极值定理：设、都为正数，则有：xy若（和为定值） ，则当时，积取得最大值若（积为定值） ，则当xysxyxy24sxyp时，和取得最小值xyxy2p