平方根和开平方（提高）知识讲解.docx

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1、平方根和开平方（提高）责编：杜少波【学习目标】1. 了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2. 了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方 根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1 .平方根的定义如果那么X叫做。的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.。叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2 .算术平方根的定义正数。的两个平方根可以用“土右”表示，其中G表示。的正平方根（又叫算术平 方根），读作“根号表示的负平方根，读作“负根号要点诠释：当式子夜有意义时，。一定表示一个非负数，即620,。三0.要点二、平方根和算术平方根的区别

2、与联系1 .区别： （1）定义不同；（2）结果不同：和JZ2 .联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；3 3） 0的平方根和算术平方根均为要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方 根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的 另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质a 6/ 0（G） = a a 0）要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位,例如：J62500 = 250

3、, 7625 = 25, 7625 = 2.5 , J0.0625 = 0.25 .【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念【高清课堂：389316平方根：例11、若2加一4与3加一1是同一个正数的两个平方根，求加的值.【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m -4=- (3m - 1),解方程即可求解.【答案与解析】解：依题意得2m 4= (3m 1),解得m =1；：m的值为1.【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.举一反三：【变式】已知2。一1与一。+2是加的平方根，求机的值.【答案】2a与一。+2是根的平方根，所以2

4、。-1与一。+2相等或互为相反数.解：当 2 -1 = 一 q+2 时，a =1,所以，=(2-1)2 =(2xl-l)2 =1当 2。-1+ (一+2) =0 时，。=1,所以(2一l=2x(1) lf=(3=9C2、%为何值时，下列各式有意义？(1)；(2) Jx 4 ；(3) Jx +1 + Jl x ；(4)- .x 3【答案与解析】解：(1)因为/N0,所以当x取任何值时，都有意义.(2)由题意可知：x-40,所以x24时，陋工有意义.x + l0/ I(3)由题意可知：4 解得：一所以一时+有意 l-x0义.(4)由题意可知：X 一 ,解得xNl且xw3.x-3。01 x 1所以当

5、且XW3时又一有意义.x -3【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨 论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义.(2)当分母中含有字母时，只有当分母不 为0时; 式子才有意义.举一反三：【变式】已知。= 4j3a-2 + 2j2-3+2,求 + 的算术平方根.a b【答案】(3a 220,2113 1解：根据题意，得1则=,所以8=2, 一 + =二+ = 2,2-361 0.3a h 2 2的算术平方根为 a b a b类型二、平方根的运算3、求下列各式的值.(1) V252-242 .732+42 ； (2) J20i-V036-iV900.【

6、思路点拨】(1)首先要弄清楚每个符号表示的意义.(2)注意运算顺序.【答案与解析】解：1252 24? 6+42 =闻后= 7x5 = 35；(2) j20-V036-y/m=J-x0.6-x30 =-0.2-6 =-1.7 .V 4 35 V 4 352【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先 后顺序进行.(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根 据 V? = a(a 0)来解.类型三、利用平方根解方程 4、求下列各式中的1.(1) V361 = 0;(2) (x + l)2 =289；(3) 9(3x + 2)2-64

7、 = 0【答案与解析】 解:(1) V %2-361 = 0Y =361/. x = j361 = 19(2)(x + 1)2=289A x + 1 = a/289Ax+l = 17x =16 或 x = 18.(3)9(3x + 2)2-64 = 0，（3x + 2）2 =/. 3x + 2 = 3. 2r1499【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2） （3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：.【变式】（2015春乌兰察布校级期中）求x的值：-1 （x-2） 2=4.9【答案】解：工（x - 2 ） 2=4，9，（x-2） 2=36,x -

8、 2=6 或 x - 2= - 6,解得：xi=8, x2= - 4.类型四、平方根的综合应用C5、（2014秋沙坪坝区校级期末）若x, y为实数，且满足在F+ly-3l二0求4x2+4xy+ y2 的值.【答案与解析】解.倔二T+轲x=, y=, 42“g卜 L f i Y , i_1 f 1 y_ n_i_r_则原式=j4x +4 x x + / + + V1丫 4 2 y2） V4 2 4【总结升华】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x, y,然后代 入求值即可.举一反三：【高清课堂：389316平方根：例5练习】【变式】若4r11 + 历1 = 0,求工2”+2。“

9、的值.【答案】 解：由/42-1 + Jy + l = 0,得f1 = 0, y + i=0,即 = 1, y = -1当=1, y= 1 时，x20 + /0,2 = 120,1+(-1)20I2=2.当 =-1, y= 1 时，20+/。】2=(一1)2。 +(1)2012=0.【高清课堂：389316平方根：例6】C6、小丽想用一块面积为4005?的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2 的长方形纸片，使它长宽之比为3:2,请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求 的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x 0) cm ,则宽为2xcvn,依题意得3x.2x = 3OO.6x2 = 300.x2=50.x0,x = 50 .长方形纸片的长为3病0%.5049,V50 7. 375021,即长方形纸片的长大于20o% .由正方形纸片的面积为400 cm2,可知其边长为200%,长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答：小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.