第5讲角含半角模型（原卷版）.docx

《第5讲角含半角模型（原卷版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第5讲角含半角模型（原卷版）.docx（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、中考数学几何模型5 :角含半角模型允 模型1:截长补短模型 模型2：共顶点模型 模型3：对角互补模型 模型4：中点模型 模型5：角含半角模型 模型6：弦图模型 模型7：轴对称最值模型 模型8：费马点最值模型 模型9：隐圆模型 模型10：胡不归最值模型 模型11：阿氏圆最值模型 模型12：主从联动模型3 .小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形A8CO,点瓜 F、G、”分别在边A8、BC、CD、D4上，若EGLFH,则EG=/77.为了解决这个问题，经过思考, 大家给出了以下两个方案：方案一：过点A作AM狼交3。于点过点B作BNEG交CD于点、N；方案二

2、：过点A作AM狼交3C于点过点A作ANEG交C。于点M (1)对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明(如图(1).(2)如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB=2, BC=3 (如图(2),是探究EG、FH之 间有怎样的数量关系，并证明你的结论.(3)如果把条件中的“EGLFH改为EG与尸”的夹角为45。”，并假设正方形ABCD的边长为1, 出/的长为正(如图(3),试求EG的长度.24 .已知：如图，正方形ABCD的边长为a, BM, DN分别平分正方形的两个外角，且满足NMAN=45 ,连 接 MC, NC, MN.(1)填空：与ABM相似的三角形是, BM*DN

3、=；(用含a的代数式表示)(2)求NMCN的度数；(3)猜想线段BM, DN和MN之间的等量关系并证明你的结论.拨开云雾开门见山名师点睛角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角 模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折 目标三角形法。类型一：等腰直角三角形角含半角模型(1)如图，在AABC 中，AB=AC, ZBAC=90，点 D, E 在 BC 上，且NDAE=45。,则：BD2+CE2=DE2.图示(1)作法1：将4ABD旋转90 作法2：分别翻折ABD,ZACE(2)如图，在AABC 中，

4、AB=AC,ZBAC=90，点D在BC上，点E在BC延长线上，且NDAE=45。，贝U： bd2+ce2=de2.旋转法翻折法(3)如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理.任意等腰三角形旋转法类型二：正方形中角含半角模型图示(1)(1)如图，在正方形ABCD中，点E, F分别在边BC, CD上，ZEAF=45 ,连接EF,过点A作AGL 于 EF 于点 G,贝I： EF=BE+DF, AG=AD.作法：将4ABE绕点A逆时针旋转90。图示(2)(2)如图，在正方形ABCD中，点E, F分别在边CB,DC的延长线上，NEAF=45。，连接EF,则：EF=DFBE

5、.作法：将4ABE绕点A逆时针旋转90(3)如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD, NBAD+N图木(3)0180。,点 E, F 分别在边 BC, CD 上，ZEAF=-ZBAD,连接 EF,则：EF=BE+DF. 2作法：将4ABE绕点A逆时针旋转NBAD的大小典题探究启迪思维探究重点例题L如图，正方形ABC。的边长为4,点E,尸分别在A&上，若CE=5,且/石Cb=45。，WO CF的长为 .DCA E B变式练习1 .如图四边形 A8CO 中，AD/BC, ZBCD=90 , AB=BC+AD, NZ)AC=45 , E 为 CD 上一点,且

6、N777D.50例题2.在正方形A3CQ中，连接(1)如图1, AELBDE.直接写出N84E的度数.(2)如图1,在(1)的条件下，将以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30后得到AB Ef , AB与50交于M, AEf的延长线与3。交于N.依题意补全图1;用等式表示线段ON和之间的数量关系，并证明.(3)如图2, E、F是边BC、C。上的点，周长是正方形A3CQ周长的一半，AE. A/分别与3。交于M、N,写出判断线段8M、DN、MN之间数量关系的思路.(不必写出完整推理过程)变式练习2 . (1)【探索发现】如图1,正方形A3C。中，点M、N分别是边BC、CQ上的点，ZMAN=45 ,若将D

7、4N绕点A顺时 针旋转90到84G位置，可得MAN也M4G,若MCN的周长为6,则正方形A3C。的边长为二(2)【类比延伸】如图(2),四边形 A3CD 中，AB=AD, ZBAD=20 , ZB+Z=180，点 M、N分别在边 3C、CD 上的点，ZMAN60 ,请判断线段DN, MN之间的数量关系，并说明理由.(3)【拓展应用】如图3,四边形A3C。中，AB=AD=10, ZAZ)C= 120 ,点N分别在边3C, CD上,连接AM,MN, ABM是等边三角形，AMLAD, DN=5 (近-1),请直接写出MN的长.BC上的点,例题3.如图，在四边形ABCD中，AB=BC, ZA=ZC=9

8、0 , ZB=135 , K, N分别是AB, 若ABKN的周长为AB的2倍，求NKDN的度数.变式练习若矩形PFCH3 .如图，正方形被两条与边平行的线段EF, GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点, 的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定NHAF的大小并证明你的结论.A ED例题 4.如图，在四边形 A5CZ)中，AB=AD, BC=CD, ZABC= ZADC =90 , ZMAN=ZBAD.2(1)如图1,将NM4N绕着A点旋转，它的两边分别交边5C、于M、N,试判断这一过程中线段 BM、DN和之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；(2)如图2,将NM4N绕着A点旋转，

9、它的两边分别交边5C、CD的延长线于M、N,试判断这一过 程中线段BM、ON和N之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；(3)如图3,将NM4N绕着A点旋转，它的两边分别交边3C、CQ的反向延长线于M、N,试判断这 一过程中线段8M、ON和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明.达标检测领悟提升强化落实1.请阅读下列材料：问题：正方形A3CD中，M, N分别是直线C3、0c上的动点，ZMAN=45 ,当/MAN交边CB、DC于点M、N (如图)时，线段3M、ON和之间有怎样的数量关系？小聪同学的思路是：延长C3至E使并连接AE,构造全等三角形经过推理使问题得到解决.请 你参考小聪同学的

10、思路，探究并解决下列问题：(1)直接写出上面问题中，线段ON和之间的数量关系；(2)当NMAN分别交边C& 0c的延长线于点M/N时(如图)，线段8M, ON和MN之间的又有怎 样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；(3)在图中，若正方形的边长为16cm,请利用(1)中的结论，试求MN的长.2的数量关系，并证明2. (1)如图1,在四边形A3C。中，AB=AD, ZB=ZD=90 , E、尸分别是边BC、CO上的点，且/ 胡方=/胡。.试探究图中线段3、EF、尸。之间的数量关系.2(1)小王同学探究此问题的方法是：延长 跖到点G,使BG=DF,连结AG,先证明A3G名AOF 再证明AAEG丝4产,可得出结论，他的结论应是.(2)如图2,在四边形A3CZ)中，AB=AD, ZB+ZD= 180 , E、尸分别是边BC、CO上的点，且N EAF=ZBAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由.2(3)如图3,在四边形ABC。中，A3=AO, NB+NAOC=180。，E、/分别是边8C、C。延长线上的 点，且/4/=二/84。，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间