《概率论与数理统计》期末考试试题及解答(DOC).docx

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1、一、填空题（每题3分，共15分）.设事件4 8仅发生一个的概率为0.3,且。(4+。(8)=0.5,那么43至少有一个不发 生的概率为.答案：0.3解：_P(AB + AB)= 0.3即_0.3 = P(A阴 + P(KB) = P(A) - P(AB) + P(B) - P(AB) = 0.5-2P(AB)所以P(A3) =0.1P(A B) = P(AB)=1- P(AB) = 0.9.1 .设随机变量X服从泊松分布，且尸（X 1） = 4尸（X =2）,那么P（X=3）=旦答案：1e-i6解答：九2P(X1) = P(X=0) + P(X =1) = 6-九 + 婕4, P( x=2)

2、= e-i由 P( X W1) = 4尸(X = 2) 知 e-九 + Md = 2九2-即 2Z2-Z-1 =0 解得九=1,故1 p(X=3)=_e-i6.设随机变量x在区间（0,2）上服从均匀分布，那么随机变量y = x2在区间（0,4）内的概率密度为/y（y）=. 答案：/ (y) = F 3 =YY0y4, 0 ,其它.解答：设y的分布函数为尸（y）, X的分布函数为b（X）,密度为了（X）那么 YXXF (y) = P(Yy) = P(X22 =(C)2 =(77 -1)52(D)X2.Z(X_四)2Z=1二、填空题(每空3分共15分)(1)如果 P(A) 0, P(B) 0, P

3、(带)=尸,那么 P(BA) = (2)设随机变量X的分布函数为1-(1 + x)e-x,x 0.那么X的密度函数/(%)=, P(X2)=(3),设0,0二0人是总体分布中参数e的无偏估计量,3=洲-用+30；123-X是来自总体X的9当a =卫时，0,也0是的无偏估计量.(4)设总体X和丫相互独立，且都服从N(0,1), X,X, 12样本，乙丫，y是来自总体丫的样本，那么统计量129服从 分布(要求给出自由度)。10二、填空题(每空3分共15分) xe-xL P(B) 2. /(x)=x 0x 1=1 -px=o4 分=1-Co(O.7)o(1-0.7)4=0.99196 分4五(6分)

4、设随机变量X的概率密度为/(x)= Z-s %0,0, 其它求随机变量Y=2X+1的概率密度。解：因为y = 2x + l是单调可导的，故可用公式法计算 1分当xo时，y12分由 y = 2x +1,得 x = 土 1 x = J4 分22从而y的密度函数为/(,)=15分r 0y 1111J126分0y 0 _1 J z2 2 4所以 x与y不相互独立 8分七（8分）设二维随机变量（x,y）的联合密度函数为12e-（3，+4y）, x0, y0, f（x、y） = v0,其他.求（1）尸（o4xi,oy42）；（2）求x的边缘密度。解:（1） P（0 X 1,0 7 2） = J i/xj

5、12e-（3xy）dy2 分f2=J 3e-3xcbc - J 4e-）dy= -e-3x 1 - e-y解：因为Xe（_）得/（x） =，4 4 * * * 4I 0 x。8 分 O x10100=1-px10100=1-px10100）3 分 X-1000x1010100-1000x10,14分6分7分X的密度函数为2分3分4分5分7分(5分)某商店每天每百元投资的利润率X NQ ,1)服从正态分布，均值为 四，长期以来方差。2稳定为1,现随机抽取的100天的利润，样本均值 为汇=5 ,试求日的置信水平为95%的置信区间。(05。) = 1 9, 0(1.96) = 0.975 )1000

6、XX 1-0(10100-1000x10nw解:1000xI w 000 X 3是取自总体X的一组样本值, 12 nf(0 +1)x0, 0 x 1,/(x)=甘/山0,其他，其中。0未知，求。的最大似然估计。最大似然函数为L(X1J,0)=H/(x ) = H(O+1)X0 n/i=(e+ 1)(x , ,x)e1n,x,e)= in(e+i)+eina, ,%)人 din _ n +ln(x , 于是0的最大似然估计:0 x, x 11n,x ) = 0n0 =-1 -In ln(x 516X-|Ll1分2分解：因为o，且一厂尸N(0,1)故 Pl 0,那么尸(用A)=0.离散型随机变量X

7、的分布律为PX=k=bXk,伏= 1,2, )的充分必要条件是().(A)匕0 且 0v 入 v1;(B) 。=1入且 Ov 入 = _L 且80.0 x1连续随机变量X的概率密度为连续随机变量X的概率密度为f(x) =42 x,0,1 %2其它那么随机变量X落在区间(0.4, 1.2)内的概率为(A) 0.64 ;(A) 0.64 ;(C)0.5;(D) 0.42.设随机变量XN(-3, 1), yN(2, 1),且X与y相互独 立，令 Z = X-2Y+7 ,那么 Z ().(A)N(O, 5)；(B)N(O, 3)；(C)N(O, 46);(D)N(0,54).18（5）设（斗,。2）是

8、参数0的置信度为1-a的区间估计，那么以下 结论正确的选项是（）.（A）参数0落在区间（0r02）之内的概率为1-a ;（B）参数0落在区间（01,。2）之外的概率为a；（C）区间（01,。2）包含参数0的概率为1-a ；（D）对不同的样本观测值，区间（斗,。?）的长度相同.二填空题（每空2分共12分）（D设总体x与丫相互独立，且都服从正态分布n（o,i）.（x , ,x） 19是从总体X中抽取的一个样本，（/，是从总体r中抽取的 一个样本，那么统计量服从 分布，参数为.（6）设000人是总体分布中参数0的无偏估计量m+30；123123当a包时，3也6是的无偏估计量.（7）设总体XN，1）,

9、日是未知参数，X，X2是样本，那么2111日=：X +X 及+：X1 3 1 3 22 1 2 2都是N的无偏估计，但 有效.（8）设样本（X1，X2,x）抽自总体XN（也0 2）.也0 2均未知.要对日作假设检验，统计假设为“：口=日， 00（四0），“1：口。曰0,那么要用检验统计量为，给定显著水平a,那么检验的拒绝区间为.19另解所以另解所以在(0,2)上函数y = %2严格单调，反函数为/z(y)=1/ (y)=f(Jy)-=丫 x y 2 邪0 y i)= e-2,那么 入=卫，Pmin(X,y)l=.答案：九二2, Pmin(X,y)l=l-e-4解答：P(X1)= 1 P(X l

10、) = e4 = e-2,故九=2 Pmin(X9y) 1 =1- P(X 1)P(K 1) =1 e-4.设总体X的概率密度为小)(。+1)。,。_10, 其它X ,X , ,X是来自X的样本，那么未知参数0的极大似然估计量为12n答案：9 =1-11 2 In xn ，i=l解答：似然函数为,x ；e)= rT(e+i)xo=(a+i)(x，,工)。Ini1nz=lIn L = nln(0 +1)+0 In x/ i=dnLdnL0+1=Qi=解似然方程得e的极大似然估计为三、(7分)?G) = 0.5, P(B) = 0.6,条件概率户目八)=0.8,试求产(八8).四、(9分).设随机

11、变量X的分布函数为F(x) = A+ Barctan x, -oo x +oo, 求：(1)常数AB； (2) P(|X| 0, y 0, f（x, y）=0,其他.求（1）p（oxi,or2）；（2）求x,y的边缘密度；（3）判断x与y是 否相互独立23十、(8分).设随机变量(x,y)的联合密度函数为卜2y2, /（九 y）=卜2y2, /（九 y）=0,0 yx 其他求(X), E(y), (XY),进一步判别x与丫是否不相关。24卜一、（7分）.设X ,X , ,X是来自总体X的一个简单随机样本，总体X的密度函数 12n为i2x, oxo, 占。）=120, 其他，求0的矩估计量。十二

12、、（5分）总体XNM ,1）测得样本容量为100的样本均值1=5,求X的数学期望N的置信度等于0. 95的置信区间。（S.05（100）= L99,0（1.96） = 0.975）25一、单项选择题：（15分）1、D2、D3、B4、A5、C二、填空题：（12分）1、钉 9 ;2、-1三(7分)解：三(7分)解：3、|1 更 2(X Z (/? 1)=, X + t(n 1) yz)；a/2 VM a/2P(A3) = P(A)P(5 | A)4分=0.5x0.8 = 0.47分(9分)7T(1)由 1 =尸(+00)= A + 3 分2ji0 = F(oo) = A B 2分2得 A= , B

13、 = _3 分271F(x) = _+ _arctan x4分2兀(2) P(|X|) = F(1)-F(-1) = 16分(3)/(%)=7(M1K (1 + x2)(-00 X +oo)9分五（6分）26解：8 = 从仓库随机提出的一台是合格品A =提出的一台是第/车间生产（/= 1,2） ic八23尸(力)=:尸(8)=：2分1525?(8|4) = 1-0.15 = 0.85,户(8|4) = 1-0.12 = 0.883分12那么 P(B) = PAP(BA) + P(A )P(B|Z )5 分11229Q=Zx0.85+_x0.88=0.8686分55六、（8分）解：设用X表示乙箱

14、中次品件数，那么X的分布律为QC3 _ 1尸(X=0)=-= 7 C3 206尸(X=2) = /色=9C3 20 6X的分布函数F(x)为p(X=C3C3 = 9C3 206尸(X=3)=虫= 1C3 2064分01x 0乎0x1尸(x)=(21 x28 分192 x3203xu（7 分） 解：27Y = ex可能取值范围为口,内），丫的分布函数为（y） = P（Y y） = P（exy） 当 yl 时，q（y）=o 当 时,F (y)=P(Xlny) = F (Iny)那么y的密度函数为(F (ln1 /(V)=xy 0y 1e-i”. y = y ，0y 17分0y八、（6分） 解：设X

15、为100根钢材小于3加的钢材根数那么 X B( 100,0.2)2分E(X) = 100x0.2=20, D(X) = 100x0.2x0.8=163分由中心极限定理：X-20 30-20 P(X 30)=P( 5分J16 屈 0(2.5) = 0.99386分九(10分)解：(1) P(0 X 1,0 y 00x0y08分（3）因为/(x,y)=/ Wf (y) (-oo% +cc, -ooj 2)的值为x与丫独立.D(X-Y) = DX-DY.答案(A)解答：X N (0,1)所以尸(I XI2) = 1 尸(I X| 2)=1-P(-2 X2)=1 + (2) = 12(2)=(2)应选

16、(A).3设随机变量x和y不相关，那么以下结论中正确的选项是(B) D(X-Y) = DX + DY.(D) D(XY) = DXDY.解：因为0=1,所以的置信度为0.95=1-0.05的置信区间为(X u , X + m -/a/2 Jn a/2 Jn 其中a=0.050.025, u =1.96,=100, X = 52a/2所求区间为 (4.804, 5.196)共8页第8页30答案(B)解答：由不相关的等价条件知，PsLncov (x, y) =0D(X y) =DX+Z)y+2cov (x, y)应选(B).4设离散型随机变量x和y的联合概率分布为(XI) (1,1) (1,2)

17、(1,3) (2,1) (2,2) (2,3)69183假设X,y独立，那么a, P的值为2 (A) a =91(C) a = _6(A) a =9 B=i95(D) a=_ 18B = 2.18答案：(A)= P(X = 2, y=2)=P(X=2)P(y=2)1 12 1= (_+a + P)(_+a) = _(_+a)2 1， a = _ , P = _99故应选(A).5设总体X的数学期望为(i,X ,X ,.，X为来自X的样本，那么以下结论中1 2n正确的选项是(A)菅是目的无偏估计量.(B)是目的极大似然估计量.(C)X是目的相合(一致)估计量.(D) X不是目的估计量.()11答

18、案：(A)解答：EX =目，所以X是目的无偏估计，应选(A).11三、(7分)一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.05, 一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求(1) 一个产品经检查后被认为是合格品的概率；一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设人=任取一产品，经检验认为是合格品 B=任取一产品确是合格品I_那么(1) P(A) = P(B)P(A | B) + P(B)P(A | B)=0.9x0.95+ 0.1 x 0.02 = 0.857.(2) P(B | A) = P(A3) _ 0.9xS95 = 0.9977 .尸(A)0

19、.857四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为2 3P(X=/c) = Ck(Jk( J3-/C/c = 0,1,2,3.X的分布函数为2754125125236125381253 5 5x 0,除 成幻=诲11712551 ,EX=3x2 =除 成幻=诲11712551 ,EX=3x2 =0 x1,1 % 2,2 x 3.五、密度.5 5 DX_3x2x3-18 5 5 25（10分）设二维随机变量（X,y）在区域。=（%,切|

20、%0, zy0, x+yVl上服从均匀分布.求（1） （X,y）关于X的边缘概率密度；（2） Z=X + Y的分布函数与概率（1）（x,y）的概率密度为12, （x, y）sD 2飞其它.r /也-2% 0x1-81 0 ,其匕(2)利用公式/ (z)=J /(%, z-x)dx Z-002, 0x1,0z-x1-x 2, 0x1, xz1.其中%)=其它0,其它.当 z1 时(z) =0 尸0z1flt f 0 =2i Zdx=2x = 2z，z 00故Z的概率密度为z的分布函数为z的分布函数为4(Z)H2z, 0 z1,0,其它.-00 Zz 0z2ydy, 0z1 = Z2, 0 z1或

21、利用分布函数法或利用分布函数法z 0,F (z) = P(Zz) = P(X+ yz) = jn 2dxdy, 0z1, zz0, 0z1.0 z%2( - 1). oa1592%2=15x1.6 = 24, %2 (15)=24.9960.10.05因为 Z2= 24 P(A ) + P(A )-11 212(C) P(A) = P(4q) (D) P(A) WP(AJ +尸(4)-1(4) 设随机变量XN(-3, 1), yN(2, 1),且X与y相互独立，令 Z = X-2Y+7 ,那么 Z ().(A) N(0, 5);(B) N( 0,3)；(C) N(0, 46);(D) N(0, 54).用丫表示出售一台设备的净盈利y=1 100X1100300 0X 114