概率论与数理统计习习题解答.docx

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1、欢迎阅读第一章随机事件及其概率1 .写出以下随机试验的样本空间：(1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；(2)在单位圆内任意一点，记录它的坐标；(3) 10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；(4)测量一汽车通过给定点的速度.解所求的样本空间如下(1) S=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12(2) S= (x, y) | x2+y20)2.设4、B、C为三个事件，用4、B、C的运算关系表示以下事件:(1),发生，8和C不发生；(2) 4与8都发生，而C不发生；(3) 4 B、C都发生；(4) 4 B

2、、C都不发生；(5) A B、C不都发生；(6) A B、C至少有一个发生；(7) 4 B、C不多于一个发生；(8) A B、C至少有两个发生.解 所求的事件表示如下欢迎阅读x k 468=0.104或者(1)P(X=6) =P(X=6)= =E-._E = 0.21487 -0.11067 =1一艺龙1=1-0.00284/110.1042. 卜4k0(2) P(XW10)-J- k=Q0.9971615 .设随机变量X服从泊松分布，且P（X=1） = P（X=2）,求P（X=4）e九=。一八解由可得，Tf 2!解得人=2,（入=0不合题意）24因此 P（ X- 4） =6-2 _ 0,09

3、.商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率 为0.003,求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有两只；（2） 小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率.解设X=1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数,那么X服从参数为n=1000, p=0.003的二项分布，即XB（1000, 0.003）,由于n比拟大，p比拟小，np=3,因此可以用泊松分布来近似，即X兀（3）.因此 P(X=2)=箱=0.224(2)v 3k 7 P(X2)=l-2- e-3 =1-0.8008=0.1992k=2 ,欢迎阅读 P(X2)=尸(X 2)=2匕-3 = 0.5768*！(4)P(X 21)e3

4、0.9502I k!17 .设连续型随机变量X的分布函数为0,x018 F(x) = kx2, 0x19 .求：(1)系数 k； (2) P(0.25X0.75)； (3) X 的密 度函数；(4)四次独立试验中有三次恰好在区间(0.25, 0.75)内取值的概率.解由于当OWxWl时，有F(x)=P(X x)=P(XO)+P(O X Wx)=kx2又 F(l)=l,所以 kX 12=1因此k=l.(2) P(0.25X0.75)= F(0.75)?F(0.25)= 0.752?0.252=0.5X的密度函数为(4)由(2)知，P(0.25X0,75) = 0.5, 故P四次独立试验中有三次在

5、(0.25, 0.75)内二C3 0.53 (1-0.5)4-3 = 0.25 420.设连续型随机变量X的密度函数为求：(1)系数k； (2)1)； (3) X的分布函数.解由题意,+oo00/(x)dx=l1/2-1/2(2)(11/2 k 1P x80/100P(Z0,8f, 12x(1_xMx=0.0272如果供电量只有80万千瓦，彳共电量不够用的概率为：P(Z90/100)=P(Z0.9)=Jtm-。.某仪器装有三只独立工作留同型号电子元件，其寿命(单 位小时)都服从同一指数分布，分布密度为试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子 元件损坏的概率.解设X表示该型号电子元件的

6、寿命，那么X服从指数分布，设 A=XW200,那么2001 一 x_1J e mdx=l-e3p(a)= o 600设Y二三只电子元件在200小时内损坏的数量,那么所 求的概率为：22 .设X为正态随机变量，且XN(2,o2)，又P(2X4)=0.3,求 P(X0)解中暨意知即 = 0.3+ 0.5 = 0.8I 故尸(乂-20-2、2、_ ng?1- kJ kJ.设随机变量X服从正态分布N(10, 4),求a,使P(|X-铲 10|aXr 0.9.a、2,用牛田1 p(|XT0|a)=P(-aX-10 (x2, +8)的概率之 比为3:4:5.解由题，查表可得解得,二 57.99查表可得解得

7、,x2 =60.63.25 .测量误差X (米)服从正态分布N(7.5, 102),必须进 行多少次测量才能使至少有一次误差的绝对值不超过10 米的概率大于0.98?解设一次测量的误差不超过10米的概率为p,那么由题可 知设Y为n次独立重复测量误差不超过10米出现的次数,那么 YB(n, 0.5586)于是 P(Y1)=1 ?P(X=0)=1 ?(1 ?0.5586)n0.980.4414n W 0.02, nN ln(0.02)/ln(0.4414)解得：n24.784取n=5,即，需要进行5次测量.26 .设随机变量X的分布列为X=202_3P -1-4327777试求：(1)2X的分布列

8、；(2) X2的分布列.解 (1)2X的分布列如下2X -4 046欢迎阅读P 1/7 1/7P 1/7 1/73/7-9-2/7(2) X2的分布列29.设X服从N(0, 1)分布, 求丫= I X I的密度函数.1/74/72/7y=|x|的反函数为而可得Y=|X|的密度函数为: 当y0时，f-x, xl, h(y)=_ L *因此有ylf (y) = y4 Y 0, other,yy的分布函数为：口.=?小尸一产1=1一产，Cl0,otherX.30 .设随机变量X的密度函数为试求Y=lnX的密度函数.解由于y = ln%严格单调，其反函数为/z(y)=e, ,且那么31 .设随机变量X

9、服从N( u ,6)分布，求丫=小的分布密度.解由于尸编严格单调，其反函数为的=3,国)y，y那么当”o时/欢迎阅读(y)=。欢迎阅读1_ 1 Qn y 一 日 )2因此 fY(y)=e2，0,y 033 .假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y=1_”,在区间(0, 1)上服从均匀分布.解由于尸I.”,在(0, +8)上单调增函数，其反函数为：h( y)=-n(l-y), 0 y 1,并且 1 ,那么当0y6)解 (1) X,Y可取的值都为2,3,4,那么(X,Y)的联合概率分 布为：x、23422/931/344/92/91/34/9(2) P(X+Y6)= P(X=3, Y=4)

10、 + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4)欢迎阅读=l/6+l/6+l/6=l/2.38.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F(x, y)=/尸+arctan f C+ arctan g,I 2 人 3)求：(1)系数A、B及C； (2) (X, Y)的联合概率密 度；(3) X, Y的边缘分布函数及边缘概率密度；(4) 随机变量X与Y是否独立？解 由(X,Y)的性质，F(x,-)=0, F(-oo,y)=0, F(- -) =0, F(+, +8)=1,前以得到如下方程组：解得：a =)71222(2) y) = 8F(x, y) dxdy 兀 2(4 + %2)(

11、9+ 驴)(3) X与Y的边缘分布函数为：X与Y的边缘概率密度为：(4)由(2),(3)可知:fx,y)=fx(x)fY ,所以 X，Y 相互独立.39 .设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为求分布函数F(x, y)； 求(X, Y)落在由x=0, y=0, x+y=l所围成的三 角形区域G内的概率.解 (1)当 X0,y0 时,f(%5 y) =yxe-(u+u)dudv=(l-e-x)(l-e-y) 否那么，Fxf y) = 0.(2)由题意，所余的概率为.设随机变量(X, Y)的联合概率密度为求：(1)常数A； (2) X, Y的边缘概率密度；(3)p(o x i, o y2)解

12、(1)由联合概率密度的性质，可得解得A=12.(2) X, Y的边缘概率密度分别为：(3) P(0 x 1, 0y2)欢迎阅读41 .设随机变量(X, Y)的联合概率密度为求P(X+YN1).解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线x=0 ,x=l, y=0,y=2,x+y=l围的区域6市，那么.设二维随机变量(X,Y)在图2.20所示的区域G上服 从均匀分布，试求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密 度.解由于(X,Y)服从均匀分布，那么G的面积A为:A = JJ /(x, y)dxdy =v dy 1 x-x2)dx =匕G(X, Y)的联合概率密度为:0 Vx 1 otherX,Y

13、的边缘概率密度为:43.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,0.2)上服从均匀分布，Y的概率密度是求：(1) X和Y和联合概率密度；(2) P(YWX).解由于X在(0, 0.2)上服从均匀分布，所以fxx = 1/ o,2 = 5(1)由于X, Y相互独立，因此X,Y的联合密度函数为:(2)由题意，所录的概率是由直线x=0,x=0.2,所围的区域，如右图所示，因此.设(X, Y)的联合概率密度为求X与Y中至少有一个小于二的概率.2解所求的概率为.设随机变量X与Y相互独立，且X -113Y -3 1P -3,P -L 3251044求二维随机变量(X, Y)的联合分布律.由独立性，计算

14、如下表欢迎阅读欢迎阅读3.在某小学的学生中任选一名，假设事件4表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运发动，那么 事件表示什么？在什么条件下，BC=C成立？在什么条件下关系式CuB是正确的？在什么条件下不8成立？解所求的事件表示如下 事件48表示该生是三年级男生，但不是运发动. 当全校运发动都是三年级男生时，成立.当全校运发动都是三年级学生时，关系式Cu8是正确的.当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，乱8成 立.4 .设 尸(4) = 07, P(A-B) = 0.3,试求网服)解由于八只尸(4)=0.7所以P(A? B) = P(A?AB) = P(A

15、)? P(AB) = 0.3,所以 尸(的=0.4,故 哂 =170.4=0.6.5 .对事件 A、B 和 C, P(A) = P(B) = P(C)=，P(AB) = P(CB) 4= 0,P(AC)= 1求A、B、C中至少有一个发生的概率. 8解 由于 ABCuAB,尸(48) = 0,故 P(ABC) = 0那么 P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) -P(AB) -P(BC)-P(AC)+P(ABC).设盒中有a只红球和b只白球，现从中随机地取出两只球，试求 以下事件的概率：A=两球颜色相同,B = 两球颜色不同.解由题意，基本领件总数为小，有利于A的事件数为4+ 4,有

16、利于B的事件数为 44 + 44 =244，贝I14+雇公b a 24A P()= 龙 P(B) = a+ba+b欢迎阅读-31/81/203/401/413/83/209/403/41/21/56/2046.设二维随机变量(乂 Y)的联合分布律为X1 2 3Y1 -L-69182 a b c(1)求常数a, b, c应满足的条件；(2)设随机变量X与Y相互独立，求常数a, b, c.解 由联合分布律的性质，有：；+。+。= 1，即 a+b+cq -6 9 183 3又，X, Y相互独立，可得九6 9 18从而可以得到：-1，, c， 399设二维随机变量(X, Y)的联合分布函数为求边缘分布

17、函数尸W与F(y),并判断随机变量X与Y是 否相互独立.解由题意，边缘分布函数下面计算Fy(j)可以看出，F(x,y)= Fx(x) Fy(y),因此，X, Y相互独立.47. 设二维随机变量(X, Y)的联合分布函数为求边缘概率密度f与/但，并判断随机变量X与Y是XY否相互独立.解先计算fxO,当XV 1时，4(%)= 0当 入21 时，f (x)=尸巳一,由=6一 + = 5_X1 X3X31 X3欢迎阅读再计算人，当*时，切=。当时,f(y)= -ydx=ei-y +0 = 61-, 丫1 X3X2 1可见，4(X)y),所以随机变量X,Y相互独立48. 设二维随机变量(X, Y)的联合

18、分布函数为求边缘概率密度/与/，并判断随机变量X与Y是否相互独立.“750.解先计算f (x),当% 1时，/ (x) = 0x.X1 1=x+_02再计算/，当yi时，切=。丫r/当时，y)=Ji%+ ydx= xy + _x2当时，f (x) xrx+ ydy = xy+ _y2o2丫 o由于 /(x, y) = x+yf (x)/ (y) =X YX,Y不独立1= y+_2Wy+，所以随机变量 2 A 2)设二维随机变量(X, Y)的联合分布 函数为求随机变量Z=X-2Y的分布密度.0 x先求Z的分布函数F(z)vF(z) = P(Z z) = PX-2Y z) = n y(x,y)dx

19、dyD:X-2Y0, y0, x?2yzz求倚 F(z) = f+x dy2+2 y2e-x-2ydx当z20时；积分区域为:D=(x,y) |x0,F(z)=J+codyiz+2y2e-x-2ydx由此，。随机变量z的分布函数为因此，得Z的密度函数为:51.设随机变量X和Y独立，Xn(lb)，Y服从b, b (b0)上的均匀分布，求随机变量Z=X +Y的分布密度.解解法一由题意，欢迎阅读52.令(z- y-a)/o = t, 解法二dy ye-b, b,那么设X服从参数为1的指数分布，丫服从 2参数为1的指数分布，且x与丫独立，求z=x+y的密3度函数.解 由题设，Xf （x） =Xf0,x

20、o=p x-z -x)dxz -x)dx并且，x, y相互独立，那么?=产/（x）/（ z-od x y（为）=0,因此=0.由于以仅在x0时有非零值，加z.x）仅当刀心0,即zx时有非零值，所以当z0时，有0zx,因此53.设(x, y)的联合分布律为X. X 0123y 000.050.080.1210.010.090.120.1520.020.110.130.12求：（1） Z=X+y 的分布律；（2） 7= max （X, 丫）的分布律；（3） V=min （X, Y）的分布律.解 (1) X+Y的可能取值为：0, 1, 2, 3, 4, 5,且有P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=

21、0P(Z=l)=P(X=l,Y=0) + P(X=0,Y=l) = 0.06P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1)= 0.35P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1)= 0.28P(Z=5)=P(X=3,Y=2)= 0.12Z=X+Y的分布如下z012345p00.060.190.350.280.12欢迎阅读同理，U=max(X,Y)的分布如下U 0/230.15 0.46 0.39司理，V=min(X,Y)的分布分别如下V 0

22、,1,2V012P0.280.470.25欢迎阅读第三章随机变量的数字特征1 .随机变量X的分布列为X -10122P X J-J-L366124求 E(X), E(X+l), E(X2)E( X) = -1 xj + 0 Li+x,+ lxj_+ 2 x 36261243E(- X + 1 ) = (-(- 1 ) + 1 ) X 4-+ (-0 + 1 ) x 4-+ (-4-+l)X+(-l + l)X 4_+ (-2 + l)X 4 =.、.3626124或者石(-X+l)=E(-X) + R1)=-E(X) + 1 = -l+1 = 2 33.一批零件中有9件合格品与三件废品，安装机

23、器时从这批零件中任取一件，如果取出的废品不再放回，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望.解 设取得合格品之前已经取出的废品数为x,x的取值为0, 1,2,3, Ak表示取出废品数为k的事件，那么有： K2 .离散型随机变量X的可能取值为一1、0、1, E(X)= 0.1, E(X2)= 0.9,求P(X=?1), P(X=0), P(X=1).解根据题意得：可以解得 P(X?1 )=0.4,P(X=1)=O.5,P(X=0) = 1? P(X?1)? P(X=1) = l?0.4?0.5=0.13 .设随机变量X的密度函数为求 E(X).l2(l-x)xdx =解由题意，(%)= f00

24、 xf(x)dx = f-oo4 .设随机变量X的密度函数为求 E(2X), E()解 E(2X) = f00 2xfxdx = 2xe-xdx -co05 .对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间a, b 上，求球的体积的数学期望.解 由题意，球的直接DU(a,b),球的体积32欢迎阅读因此，驱叱以佃U6 .设随机变量X, Y的密度函数分别为求 E(X+Y), E(2X-3Y2).角牟 E(X + Y) = E(X) + E(Y)7 .设随机函数X和Y相互独立，其密度函数为求 E(XY).解由于XY相互独立，因此有8 .设随机函数X的密度为求 E(X), D(X).解 E(X)=PvW =

25、-0010.设随机函数X服从瑞利(Rayleigh)分布, 其密度函数为其中。0是常数，求E(X), D(X).解 E(X) =+xf(x)dx = J -=-丁公=-xde- e 2a22q2-O00 O 2011. 抛掷12颗骰子，求出现的点数之和的数学期望与方差.解掷1颗骰子，点数的期望和方差分别为：E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6= 7/2E(X2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6因此 D (X) = E (X2) ? (E (X) 2=3 5 /12掷12颗骰子，每一颗骰子都是相互独立的，因此有：E(X1+X2+-+X12)=12E(X) =42D(

26、X1+X2+-+X12)=D(X1)+D(X2)+-+D(X12)=12D(X)=3512. 将n只球(1n号)随机地放进n只盒子(1-n号)中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记X为配对的 个数，求 E(X), D(X).欢迎阅读解 (1)直接求X的分布律有些困难，我们引进新的随 机变量X. KX =，第左只球装入第k号盒子，那么有：0,第左只球没装入第k号盒子x x , Xk服0-1分布 k= k因此：P(X =0) = 1 p = 1 1，P(X =1)=P = L kn kn(2) XQ,服从0-1分布，那么有故，E&)=D(X)=1.我们知道，泊松分

27、布具有期望与方差相等的性质，可以认 定，X服从参数为1的泊松分布.13. 在长为1的线段上任意选取两点，求两点间距离的数学期望及方差.解 设所取的两点为X,Y,那么X,Y为独立同分布的随机变 量，其密度函数为依题意有D(X?Y) = E(X?Y)2)?(E(X?Y)2 = kl2-l2=l26918设随机变量X服从均匀分布，其密度函数为求 E(2X2), D(2X2),解E(2X2)= 2E(X2)= 2 J m般 /(%)dx = 21；2%2公=；- 7.5) 2,5 = 7.5 24515. 在每次试验中，事件A发生的概率为0.5,如果作100次独立试验，设事件A发生的次数为X, 试利用

28、切比雪夫不等式估计X在40到60之间取值的概 率欢迎阅读解由题意，XB(100, 0.5),那么 E(X)=np = 50, D(X)=npq = 25根据切比雪夫不等式，有25 _ 3而4设连续型随机变量X的一切可能值在区间a, b内，其密度函数为了(X),证明：(1) aE(X)b； (2)解 (1)由题意，aWXWb,那么E(X) = J +8研x)dxa W x b,那么OD由于 J 口 / (x) dx = 1._00所以 a E(X) b(2)解法(一)-(a+ b)x+ ab 1)=1-p(x=o)=i- 0.1353 = 0.8647.(3)中心极限定近似计算. 一个部件包括1

29、0个局部，每局部的长度是一个随机变量, 它们相互独立，服从同一分布，数学期望为2mm，均方 差不0.05mm,规定部件总长度为20 0.1mm时为合格 品，求该部件为合格产品的概率.解 设Xj表示一局部的长度,i=l, 2,，10.由于X,X2,，Xo相互独立，且E(X) =2, D(Xj)=0.052,根据独立同分布中心极限定理，随机变量欢迎阅读!一 X 10 (X - 2)=!( X-20)近似地服从标准正态分布. 0.05 而 k=i a- 0.158于是.计算机在进行加法时，对每个加数取整(取为最接近于 它的整数)，设所有的取整误差是相互独立的，且它们 都在(-0.5, 0.5)上服从

30、均匀分布.(1)假设将1500个数相加，试求误差总和的绝对值超过15的概率；(2)多少个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.05的概率.解设Xj表示一个加数的误差,那么X-U(-0.5, 0.5), E(X,) =0,D(X.)=1/12(1)根据独立同分布中心极限定理，随机变量 近似地服从标准正态分布.于是因此所求的概率为：1-P(-15X15)= 1-0.8198 = 0.1802(2)由题意，设有n个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0. 90, X二nX,由独立同分布的中心极限定 理，随机变量(X .e(x；)=fx近似地服从标准正态o yfn /=i i y/n /12

31、 X 10 )/12 ，/12 4/12,分布.那么= 0.90PX 10) = P(-10X 10)=尸 T查表得 =1.645.7712解得：n=443 即443个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.05的概率.为了确定事件A的概率，进行了一系列试验.在100次 试验中，事件A发生了 36次，如果取频率0.36作为事 件A的概率p的近似值，求误差小于0.05的概率.欢迎阅读解(删除)3 .一个复杂系统由10000个相互独立的部件组成，在系统 运行期间，每个部件损坏的概率为0.1,又知为使系统正 常运行，至少有89%的部件工作.(1)求系统的可靠度(系统正常运行的概率)；(2)上述系

32、统由n个相互独立的部件组成，而且要求至少有87%的部件工作，才能使系统正常运行，问n至少为多在时，才能保证系统的可靠度到达97.72%?解 设X表示正常工作的部件数，X-B(10000, 0.9),(1)所求的概率为p(x 2 0.89x10000)，由于n比拟大，可以使 用中心极限定理，由于e(x)= /r = 9000, q(x)= mi-p)= 90(p 近Wfc有，XN(9000, 900),贝1J(2)根据题意，设X为正常工作的部件数，那么E(X) = np = 0.9”，D(X) = np(l-p) = 0.09n根据中心极限定理，近似地有XN(0.9n, 0.09n)查表得 ”=2 0，n=400,10即,n至少处00时，才能保证系统的可靠度到达 97.72%.4 .某单位有200台 分机，每台分机有5%的时间要使用 外线通话，假定每台分机