概率论与数理统计许承德习题二课后答案.docx

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1、习题二1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%, 30%, 10%,从中任取一件，发现它不 是三等品，求它是一等品的概率.解 设八=任取一件是/等品2, ,37所求概率为p(a*M2,1 3 区)因为 A = A+ A 312所以 P(A )=P(修 0.+6 J 3 0. 9P(A-A)= 入 岭 0. 6131故c cP(A E)=6=213932 .设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，所取两件中有一件是不合格品， 求另一件也是不合格品的概率.解 设八=所取两件中有一件是不合格品B =所取两件中恰有，件不合格/=1, 2.7那么A=B +B12Cl C C2尸 G) = p+ P

2、(B)=e+ k12 c2。21010所求概率为P(B ) C2 1P(B A)= v 2=4=.2 P(A) CC + C2 54 643 .袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色 是黑色的概率.解设发现是同一颜色B=全是白色C=全是黑色那么a=b+c9C3 /。3611所求概率为?53= %)P(A) P(B+C) C3/C3 + C3/C3 3 6115114 .从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概 率.解 设八=至少有3张黑桃，B =9张中恰有/张黑桃，/=3,4,5,a9=13=。3。2 +。4 C +。51 6

3、8613 3913 3913a9=13=。3。2 +。4 C +。51 68613 3913 3913所求概率为P(AB P(BP(BA)= v 5 =Os P(A) P(B + B + B )3455.设尸(G = 0.5,尸(切=06 P(8G = 0.8求尸(4 8)与尸(8 A).解 P(A 9= 汽凡号 R A郑 1- P(A)P(&| A) 1. 1=0 P(B -A) = P(B) - P(AB) = 0.6 - 0.4 = 0.2 .6甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放 入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。解 设，=从乙袋中取出

4、的是白球，B,=，从甲袋中取出的两球恰有/个白球， i=0,1,2.P(A) = P(B)P(A B)+P(B )P(A B)+P(B )P(A B)C2 4 CiC?i 1 C2 6 122=_2_ _ +3 2 - _ + _3_ _ =.瓦 W C2 210 255557 一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛 后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概解 设方=第二次取出的均为新球B =第一次取出的3个球恰有/个新球i=0, 1,2, 3. /由全杷E公sXP(A)= P(B)P(A Bf) P(B)P(AI+B

5、) P( B ) P(川 B ) P(B) P(AB)C3 C3C 匕2C31C2 cl匕比C3 233=_6_ _9_+9 6 _8_+9 6 7 +9 _6_=旅。0.08959158电报发射台发出 一和-的比例为5:3,由于干扰，传送(?时失真的概率为2/5,传送-时失真的概率为1/3,求接受台收到时发出信号恰是的概率。解设人=收到 J , 8=发出 ，由贝叶斯公式5 3P(BIQ= P(B)P(Z|B) .鼠 3_3P(8)PG|B) + P(B)PG|B) 5 3 + 3 J “8,5 8 39在第6题中，从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概1CC C2x4 15

6、3 25之解 事件如第6题所设，所求概率为P(B)P(A B)小一”(一 D 一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率 是0.02, 一个次品被误认为是合格品的概率是0.05,求在检查后认为是合格品的产品确是合 格品的概率。解设人=任取一产品，经检查是合格品，B=任取一产品确是合格品，A = BA+BAP(A) = P(B)P(A B) + P(BP(A B)=0.96x 0.98 + 0.04x 0.05 = 0.9428 ,所求概率为P(BA) =尸G)0.9428P(B)P(|B)_ 0.96x0.98 = o,998.11假设有两箱同种零件：第一箱内装50件

7、，其中10件一等品；第二箱内装30件其 中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的 零件均不放回)，试求：(1)先取出的零件是一等品的概率；(2)在先取的零件是一等品的 条件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率.解 设4=第/次取出的零件是一等品，/ = 1,2.00(1) P(A)=P(B)P(A B) + P(B )P(A |8) = 1(+_3)/1112122 5 55P(AA) P(AAB +AAB)(2) P M)=2，= 1 2 112 22 1P(A) 否=P(BJPAA2 B)+ P(B2)P(AA2 B) 环 1 C2C211|10+1

8、8/ = 0.4856.2 rr or f 9 51)= L 5030=+2(49 29；52 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0, 1, 2只残次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1, 一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地观察四只，假设无残次品， 那么买下该箱，否那么退回。试求：(1)顾客买下该箱的概率a；(2)在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率B.解 设人=顾客买下该箱(1)(1)B=箱中恰有，件残次品，0/2,a = P( A) =P(B )P(A | B) +P(B )P(* B ) +P(B )P(A | B )6=0.8+0.1 x C420oc 4

9、C4+ 1 X _誓=C40.94；(2)-利085 U .OvJ .P(A) 0.94为3份、设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份求先取到的一份为女生表的概率P；后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率4 .设人=先取到的是女生表，B=后取到的是男生表，(1)p = P( )P(A| q ) +P(C )P(A| C) +P(C )P(A I C)1L乙/oo13=_ + =3110 15 25 J29390(2)29因为先取出的是女生表的概率为 yu所以先取出的是男生表的概率为史，按抓90

10、61阉问题的道理，后取的是男生表的概率P(5)二90于是(2)P(AB) P(ABC +ABC + ABC )q = P(A | B) =j 23p仍)p仍)P(ABC )+ P(AB | C ) + P(AB C )321一袋中装有机枚正品硬币，枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽)从袋中任取一枚，将它投掷次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少?解设4=任取一枚硬币掷厂次得厂个国徽，B=任取一枚硬币是正品，A = BA + BA9所求概率为P/|A) = _P(8)P(A | B)P网P(A | B) +P(B)P(A | B)C =取到第z个地区的表，；123.mm . . n

11、m + n-2/ m 4- n 2+ m -nB 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5,现目标 被击中，求甲击中的概率.解 设4=目标被击中，B =，第，个人击中，/=152 ,所求概率为尸仍P(B) P(B)P(B | A) =1=1 =Oi_1 PU) p(b1 +4)1- p(4.=66=0751 1 16 三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是一,一,一，求他们将此密码译5 3 41 1 16 三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是一,一,一，求他们将此密码译5 3 4出的概率.解 设人=将密码译出，B =，第，个人译出，=1,2,3. 1/

12、那么P(A) =P(B1 +B+B3)=P(q ) + P(g) + P(g) P(BB) -P(BB)-P(B B )+P(B BB)= 1 + 1 + 1-lx 1-lxl-1x12 3，12 35345354341 1 1 3 2+ _ x 勺=0.6 .5 3 4 5解事件如上所设，那么24 2 3 3尸(A)=1 P(用=1 P(8 8 8 ) = 1-_ 2 勺 二=。6.12 35 3 4 517 甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为0.4, 0.5, 0.7o设飞机 中一弹而被击落的概率为02中两弹而被击落的概率为06中三弹必然被击落，今三人各 射击一次，求飞机

13、被击落的概率.解设4二飞机被击落，B =，飞机中,弹，=1,2,.3i那么尸=尸()尸(A B)+P(B2)P(A | B) + 尸(%)P( A |B)=0.2P(4)+ 0.6P(B ) + P(g)设C =第i个人命中，i = 123 ,那么P(B ) = P(CCC ) + P(CCC ) + P(CCC)11 2 312 312 3=0.4x0.5x0.3+ 0.6x0.5x0.7 + 0.6x0.5x0.3 = 0.36 ,P(B ) = P(C C C ) + P(CC C ) + P(C C C) 21 2 32 312 3=0.4x 0.5x 0.3+ 0.4x 0.5x 0

14、.7 + 0.6x 0.5x 0.7 = 0.41,P(B ) = P(C C C ) = 0.4x0,5x0.7 = 0.14, 312 3所以P(Z) = o.2x 0.36 + o.6x 0.41 + 0.14 = 0.458 .B 某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的 概率相等；假设有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该 生能借到此书的概率.解 设4=该生能借到此书二B =，从第/馆借到，/= 1,2,3. 1 /那么P(BJ = P(B )=尸(耳)=尸(第/馆有此书且能借到)Id,J1 1 12 2 4 P(BB)

15、 = P(BB )=尸(88) Jx)=L1 21 3234 4 16x 1 1 1 1 P(BBB=_.123444 64于是P(4=尸件 + 4 + B3)= P(B)+ P(B)+ P(B)-P(B B)-P(B B)3 371 643 371 64-P(BB) + P(BBB)=。_1+1=沌 2 31-4J解 2 P(A)= 1-1解3事件如解1所设，MA=B +B B +BBB911212 3故尸G) = P(BJ+P(耳 g)+P(耳目耳)1 3 1 3 3 1 37二X X =4 4 4 4 4 4 64 ,?设门(A)0, P(B)0,证明，、8互不相容与，、8相互独立不能同

16、时成立.证 假设人、口互不相容，那么八8 =。，于是P(4B) = 0hP(4)P(8)0所以4、B不 相互独立.假设4、B相互独立，那么P(AB) = P(A)P(B)09于是，Bw。，即4、8不是互不 相容的.注：从上面的证明可得到如下结论：1)假设2、B互不相容，那么4、8又是相互独立的o尸(入)=0或尸(8)=0.2 因 2= BA+ BA,所以尸(八)二尸(8Z) + P(BA)如果 P(B)= 1 贝ijP(B4) = 0,从而P(AB) = P(A) = P(A)P(B)可见概率是1的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立.如果尸(8) = 0,那么尸(八8) = 0

17、=尸(4)尸(8),即概率是零的事件与任意事件独立，自 然，不可能事件与任何事件独立。2)证明假设三事件A民。相互独立，那么八8及八-8都与C独立。证 R(AB)胃 P( AC 即 p 4)C (P田C (p ABC=P(B)P(C) + P(B)P(C) - P(A)P(B)P(C)二P(A) + P(B) - P(AB)P(C)= P(A B)P(C)即A B与C独立.P A- B) C PA B 穹甲/ p 耳令 pARpC= P(A-B)P(C)即 AB与。相互独立.2 一个教室里有4名一年级男生，6名一年级女生，6名二年级男生，假设干名二年级 女生，为要我们在随机地选择一名学生时，性

18、别和年级是相互独立的，教室里的二年级女生应为 多少名？解 设还应有N名二年级女生，A=任选一名学生为男生B=任选一名学生为 一年级，那么RA)= 10 , P(E)= 10 , P(AB)= 10 4 _ 47V+167V+167V+16 10 N+16欲性别和年级相互独立，即4P(AB) = P(A)P(B),= 10 . 107V+16 7V+16 7V+16所以N=9,即教室里的二年级女生应为9名。2 图中1, 2, 3, 4, 5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为p , 且设各继电器闭合与否相互独立，求力至K是通路的概率.12L_R345解 设A= R是通路耳=，第i个接

19、点闭合，1= 1,2,3, 4,5 ,那么A=B B BB BBB BBB 1 24 51 3 54 3 2R A)= R BB)+ R B 耳 p B B用 (PB B-)B1 24 51 3 54 3 22 3 4 51 2-TB BBB )- P(B BBB )- P(B BBB)- P(B BBBB )1 2 4 51 2 3 51 3 4 51 2 3 4 5+P(B B B B B )+ P(B B B B B )+ P(B B B B B )12 3 4 512 3 4 51 2 3 4 5+RB BBBB )- P(B BBBB ) = 2P2 + 2P3 5P4 + 2P5.

20、12 3 4 512 3 4 53 一射手对同一目标独立地进行四次射击，假设至少命中一次的概率为80/81,求该射 手的命中率。解 设该射手的命中率为，由题意= 1-(1-P)4 , (1-/7)4 = J_ , 1 -P=-818132所以 P =3z 设一批晶体管的次品率为0.01,今从这批晶体管中抽取4个，求其中恰有一个次品 和恰有两个次品的概率。解 尸=C (0.01)(0.99)3 = 0.0388.44P(2) = C2(0.01)2(0.99)2 =0.000588.4425考试时有四道选择题，每题附有4个答案，其中只有一个是正确的。一个考生随意 地选择每题的答案，求他至少答对三

21、道题的概率。1解答对每道题的概率为了，所求概率为4尸 ”(4)=C3(1Y2+QY=21-444 4； 4256S 设在伯努里试验中，成功的概率为p ,求第次试验时得到第一次成功的概率.解 设4=第次试验时得到第次成功，那么A=前-1次试验，成功r-1次，第次试验出现成功， 所以P(A) = P (前一1次试验，成功-1次)P (第九次试验成功)=G-1 p -1 (1 p)一-.p = Cr-1 pr(1-p)一 n-1n-12 设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试， 经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品，不能出厂。现该厂生产了( 2)

22、 台仪器(假定各台仪器的生产过程相互独立)。求(1)全部能出厂的概率。；(2)其中恰 有两台不能出厂的概率P ;(3)其中至少有两台不能出厂的概率。o解 设人=任取一台可以出厂，B=可直接出厂C=需进一步调试 那么A = BA + CA 9P(A) = P(3)P(A | B) + P(C)P(A | C) = 0.7 + 0.3x 0.8 = 0.94 = p将台仪器看作重伯努里试验，成功的概率为p,于是 a = (0.94),(2) p=。2(0.06)2(0.94)-2, n(3)。= 1 - (0.94)一 nx(0.06)x(0.94)-i。入kW 设昆虫产左个卵的概率为P又设一个虫

23、卵能孵化成昆虫的概率为k k假设卵的孵化是相互独立的，问此昆虫的下一代有L条的概率是多少?解设人=下一代有条B =，产%个卵，k = L、L+1,那么 KP(A) = E P(B )尸(A I 3 ) =L pL (1 一 p)k-LkkK!k_(九 Pg,AD(1 P)W_(九 Pg,AD(1 P)Wk(j! k=Lk=Lk=L k=LCkpy - Qp)l。-入cmi-d)=e-XpLL3 一台仪器中装有2000个同样的元件，每个元件损坏的概率为0.0005,如果任一元 件损坏，那么仪器停止工作，求仪器停止工作的概率.解 考察一个元件，可视为一次贝努里试验,2000个元件为2000重贝努里试验。取二1 , 利用泊松逼近定理，所求概率为=燮优)=婴.7代0.63216.2000K, !A=1k=A3)某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过假设干时间后，发现一盒火柴 已经用完，如果最初两盒中各有根火柴，求这时另一盒中还有一根的概率。解 设4=发现一盒已经用完另一盒还有厂根，B=发现甲盒已经用完乙盒还有厂根。那么尸(A)=2尸仍)8发生o甲盒拿了+1次，乙盒拿了 一八次，共进行了 2+1次试验，而且前 2 一厂次试验，甲发生次，第2 + 1-r次试验甲发生。故P=a2f 12 J2从而P(A) = 2P 网=G2 T2n-r 2 J