数学建模教学插件： 多目标决策模型：层次分析法(AHP)、代数模型、.docx

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1、层次分析析法建模模课件层次分析析法（AAHPAnaalyttic Hiieraachyy pproccesss）- 多目标标决策方方法70 年年代由美美国运筹筹学家TTLSattty提提出的，是一种种定性与与定量分分析相结结合的多多目标决决策分析析方法论论。吸收收利用行行为科学学的特点点，是将将决策者者的经验验判断给给予量化化，对目目标（因因素）结结构复杂杂而且缺缺乏必要要的数据据情况下下，採用用此方法法较为实实用，是是一种系系统科学学中，常常用的一一种系统统分析方方法，因因而成为为系统分分析的数数学工具具之一。传统的常常用的研研究自然然科学和和社会科科学的方方法有：机理分析析方法：利用经经典

2、的数数学工具具分析观观察的因因果关系系；统计分析析方法：利用大大量观测测数据寻寻求统计计规律，用随机机数学方方法描述述（自然然现象、社会现现象）现现象的规规律。基本内容容：（11）多目目标决策策问题举举例AHHP建模模方法（2）AAHP建建模方法法基本步步骤（3）AAHP建建模方法法基本算算法（3）AAHP建建模方法法理论算算法应用用的若干干问题。参考书： 1、姜启源源，数学学模型（第二版版，第99章；第第三版，第8章章），高高等教育育出版社社2、程理理民等， 运筹筹学模型型与方法法教程，（第110章），清华华大学出出版社3、运运筹学编写组组，运筹筹学（修修订版），第111章，第7节节，清华华

3、大学出出版社一、问题题举例：A大学学毕业生生就业选选择问题题获得大学学毕业学学位的毕毕业生，“双向选选择”时，用用人单位位与毕业业生都有有各自的的选择标标准和要要求。就就毕业生生来说选选择单位位的标准准和要求求是多方方面的，例如： 能发挥自自己的才才干为国国家作出出较好贡贡献（即即工作岗岗位适合合发挥专专长）； 工作收入入较好（待遇好好）； 生活环境境好（大大城市、气候等等工作条条件等）； 单位名声声好（声声誉-RRepuutattionn）； 工作环境境好（人人际关系系和谐等等） 发展晋升升（prromoote, prromootioon）机机会多（如新单单位或单单位发展展有后劲劲）等。问题

4、：现现在有多多个用人人单位可可供他选选择，因因此，他他面临多多种选择择和决策策，问题题是他将将如何作作出决策策和选择择？或者说说他将用用什么方方法将可可供选择择的工作作单位排排序？工作选择生活环境工作环境声誉收入发展贡献可供选择的单位P1 P2 - Pn .假期期旅游地地点选择择暑假有33个旅游游胜地可可供选择择。例如如：苏苏州杭州州，北戴戴河，桂桂林，到到底到哪哪个地方方去旅游游最好？要作出出决策和和选择。为此，要把三三个旅游游地的特特点，例例如：景色；费用；居住；环境；旅途条条件等作作一些比比较建立一一个决策策的准则则，最后后综合评评判确定定出一个个可选择择的最优优方案。选择旅游地目标层居

5、住旅途景色费用饮食准则层P1P2P3方案层C资源源开发的的综合判判断7种金属属可供开开发，开开发后对对国家贡贡献可以以通过两两两比较较得到，决定对对哪种资资源先开开发，效效用最用用。对经济发展、贡献U经济价值战略重要性交通条件要求量风险费开採费金Go铝Al钿Ur磷酸盐铁In铜Co二、问题题分析：例如旅游游地选择择问题：一般说说来，此此决策问问题可按按如下步步骤进行行：（S1）将决策策解分解解为三个个层次，即：目标层：（选择择旅游地地）准则层：（景色色、费用用、居住住、饮食食、旅途途等5个个准则）方案层：（有，三个选选择地点点）并用直线线连接各各层次。（S2）互相比比较各准准则对目目标的权权重，

6、各各方案对对每一个个准则的的权重。这些权权限重在在人的思思维过程程中常是是定性的的。例如：经经济好，身体好好的人：会将景景色好作作为第一一选择；中老年人人：会将将居住、饮食好好作为第第一选择择；经济不好好的人：会把费费用低作作为第一一选择。而层次分分析方法法则应给给出确定定权重的的定量分分析方法法。（S3）将方案案后对准准则层的的权重，及准则则后对目目标层的的权重进进行综合合。（S4）最终得得出方案案层对目目标层的的权重，从而作作出决策策。以上步骤骤和方法法即是AAHP的的决策分分析方法法。三、确定定各层次次互相比比较的方方法成对比比较矩阵阵和权向向量在确定各各层次各各因素之之间的权权重时，如

7、果只只是定性性的结果果，则常常常不容容易被别别人接受受，因而而Sannty等等人提出出：一致致矩阵法法即：1. 不把把所有因因素放在在一起比比较，而而是两两两相互比比较2. 对对此时採採用相对对尺度，以尽可可能减少少性质不不同的诸诸因素相相互比较较的困难难，提高高准确度度。因素比较较方法成对对比较矩矩阵法：目的是，要比较较某一层层个因素素对上一一层因素素O的影影响（例例如：旅旅游决策策解中，比较景景色等55个准则则在选择择旅游地地这个目目标中的的重要性性）。採用的方方法是：每次取取两个因因素和比较其其对目标标因素OO的影响响，并用用表示，全部比比较的结结果用成成对比较较矩阵表表示，即即： （1

8、）由于上述述成对比比较矩阵阵有特点点： 故可称为为正互反反矩阵：显然，由 ，即：，故有有：例如：在在旅游决决策问题题中：= 表示示：故：= 表示：即：景色色为4，居住为为1。= 表示：即：费用用重要性性为7，居住重重要性为为1。因此有成成对比较较矩阵：？问题题：稍加加分析就就发现上上述成对对比较矩矩阵的问问题： 即存在有有各元素素的不一一致性，例如：既然：所以应该该有：而不应为为矩阵中中的成对比比较矩阵阵比较的的次数要要求太，因因：个元元素比较较次数为为：次，因此，问问题是：如何改改造成对对比较矩矩阵，使使由其能能确定诸诸因素对对上层因因素O的的权重？对此Saaotyy提出了了：在成成对比较较

9、出现不不一致情情况下，计算各各因素对对因素（上层因因素）OO的权重重方法，并确定定了这种种不一致致的容许许误差范范围。为此，先先看成对对比较矩矩阵的完完全一致致性成对比比较完全全一致性性四：一致致性矩阵阵Def：设有正正互反成成对比较较矩阵： (4)除满足：（i）正互互反性：即而且还满满足：（ii）一致性性：即则称满足足上述条条件的正正互反对对称矩阵阵A为一一致性矩矩阵，简简称一致致阵。一致性矩矩阵（一一致阵）性质：性质1：的秩Rannk(AA)=11有唯一的的非0的的最大特特征根为为n性质2：的任一一列（行行）向量量都是对对应特征征根的特特征向量量：即有(特特征向量量、特征征值)：，则向量量

10、满足：即：启发与思思考：既既然一致致矩阵有有以上性性质，即即n个元素素W1, WW2, W3 , Wn 构成成的向量量是一致矩矩阵的特特征向量量，则对对一致矩矩阵来说说，可以以把一致致矩阵的的特征向向量求出出之后，再把一一致矩阵阵的特征征向量归归一化后后得到的的向量，看成是是诸元素素W1, WW2, W3 , Wn目标O的的权向量量。因此此，可以以用求一一致矩阵阵的特征征根和特特征向量量的办法法，求出出元素WW1, WW2, W3 , Wn相对于于目标OO的权向量。解释：一一致矩阵阵即：件件物体，它们重重量分别别为，将将他们两比较重重量，其其比值构构成一致致矩阵，若用重重量向量量右乘，则则：分

11、析：若重量向向量未知知时，则则可由决决策者对对物体之之间两两两相比关关系，主主观作出出比值的的判断，或用DDelpphi（调查法法）来确确定这些些比值，使矩阵阵（不一一定有一一致性）为已知知的，并并记此主主观判断断作出的的矩阵为为（主观观）判断断矩阵，并且此此（不一一致）在在不一致致的容许许范围内内，再依依据：的的特征根根或和特特征向量量连续地地依赖于于矩阵的的元素，即当离离一致性性的要求求不太远远时，的的特征根根和特征征值（向向量）与与一致矩矩阵的特特征根和和特征向向量也相相差不大大的道理理：由特特征向量量求权向向量的方方法即为为特征向向量法，并由此此引出一一致性检检查的方方法。问题：RRe

12、maark以上讨论论的用求求特征根根来求权权向量的的方法和和思路，在理论论上应解解决以下下问题：1 一致阵的的性质11是说：一致阵阵的最大大特征根根为（即即必要条条件），但用特特征根来来求特征征向量时时，应回回答充分分条件：即正互互反矩阵阵是否存存在正的的最大特特征根和和正的特特征向量量？且如如果正互互反矩阵阵的最大大特征根根时，是否否为一致致阵？2 用主观判判断矩阵阵的特征征根和特特征向量量连续逼逼近一致致阵的特特征根和和特征向向量时，即： 由得到：即：是否在理理论上有有依据。3一般般情况下下，主观观判断矩矩阵在逼逼近于一一致阵的的过程中中，用与与接近的的来代替替，即有有，这种种近似的的替代

13、一一致性矩矩阵的作作法，就就导致了了产生的的偏差估估计问题题，即一一致性检检验问题题，即要要确定一一种一致致性检验验判断指指标，由由此指标标来确定定在什么么样的允允许范围围内，主主观判断断矩阵是是可以接接受的，否则，要重新新两两比比较构造造主观判判断矩阵阵。此问问题即一一致性检检验问题题的内容容。以上三个个问题：前两个个问题由由数学严严格比较较可获得得（见教教材P3325，定理11、定理理2）。第3个个问题：Sattty给给出一致致性指标标（Thh1,TTh2介介绍如下下：）附：Th1：（教材材P3226，pperrronTTh 比隆19770）对于正正矩阵（的所有有元素为为正数）（1）的的最

14、大特特征根是是正单根根；（2）对对应正特特征向量量（的所有有分量为为正数）（3）其中中：为半半径向量量，是对对应的归归一化特特征向量量证明：（3）可可以通过过将化为为标准形形证明Th2：阶正互互反阵AA的最大大特征根根；当时，是是一致阵阵五、一致致性检验验一致致性指标标：1一致致性检验验指标的的定义和和确定的定定义：当人们对对复杂事事件的各各因素，采用两两两比较较时，所所得到的的主观判判断矩阵阵，一般般不可直直接保证证正互反反矩阵就就是一致致正互反反矩阵，因而存存在误差差（及误误差估计计问题）。这种种误差，必然导导致特征征值和特特征向量量之间的的误差。此时就就导致问问题与问问题之间间的差别别。

15、（上上述问题题中是主主观判断断矩阵的的特征值值，是带带有偏差差的相对对权向量量）。这这是由判判断矩阵阵不一致致性所引引起的。因此，为为了避免免误差太太大，就就要给出出衡量主主观判断断矩阵的的一致性性的判别别准则。因为：当主观观判断矩矩阵为一一致阵时时就有：为一致阵阵时有：此时存在在唯一的的非O特特征根（由一致致阵性质质1：RRarkk(4)=1，有唯一一非O最最大特征征根且）当主观观判断矩矩阵不是是一致矩矩阵时，此时一一般有：（Th22）此时，应应有：即： 所以，可可以取其其平均值值作为检检验主观观判断矩矩阵的准准则，一一致性的的指标，即： 显然：（1） 当时，有有：， 为完全全一致性性（2）

16、 值越大，主观判判断矩阵阵的完全全一致性性越差，即：偏偏离越远远(用特特征向量量作为权权向量引引起的误误差越大大)（3） 一般，认认为主观观判断矩矩阵的一一致性可可以接受受，否则则应重新新进行两两两比较较，构造造主观判判断矩阵阵。2随机机一致性性检验指指标问题：实实际操作作时发现现：主观观判断矩矩阵的维维数越大大，判断断的一致致性越差差，故应应放宽对对高维矩矩阵的一一致性要要求。于于是引入入修正值值来校正正一致性性检验指指标：即即定义的的修正值值表为：的维数1 22 33 4 5 6 7 88 990.000 0.000 0.58 00.966 1.112 1.24 11.322 1.441

17、1.45并定义新新的一致致性检验验指标为为：随机一致致性检验验指标的解解释：为确定的的不一致致程度的的容许范范围，需需要确定定衡量的的一致性性指示的的标准。于是SSattty又引引入所谓谓随机一一致性指指标，其其定义和和计算过过程为： 对固定的的，随机机构造正正互反阵阵，其元元素从119和和1中中随机取取值，且且满足与与的互反反性，即即：，且且. 然后再计计算的一一致性指指标，因因此是非非常不一一致的，此时，值相当当大. 如此构造造相当多多的，再再用它们们的平均均值作为为随机一一致性指指标。 Sattty对于于不同的的111)，用用10005000个样样本计算算出上表表所列出出的随机机一致性性

18、指标作作为修正正值表。3 一致性检检验指标标的定义义一致致性比率率。由随机性性检验指指标可知知：当时，这是因因为1, 2阶阶正互反反阵总是是一致阵阵。对于的成成对比较较阵，将将它的一一致性指指标与同同阶（指指相同）的随机机一致性性指标之之比称为为一致性性比率简称称一致性性指标，即有： 一致性性检验指指标的定定义一致性性比率定义： 当：时，认为主主观判断断矩阵的的不一致致程度在在容许范范围之内内，可用用其特征征向量作作为权向向量。否否则，对对主观判判断矩阵阵重新进进行成对对比较，构重新新的主观观判断矩矩阵。注：上式式的选取取是带有有一定主主观信度度的。六、标度度比较较尺度解解：在构造正正互反矩矩

19、阵时，当比较较两个可可能是有有不同性性质的因因素和对于上上层因素素O的影影响时，採用什什么样的的相对刻刻度较好好，即的的元素的的值在（199）或（1）或更多多的数字字，Saattyy提出用用199尺度最最好，即即取值为为199或其互互反数11，心心理学家家也提出出：人们们区分信信息等级级的极限限解能力力为2。可可见对阶阶矩阵，只需作作出个判判断值即即可标度定 义义135792，4，6，88，倒数1，因素与因因素相同同重要因素比因因素稍重重要因素比因因素较重重要因素比因因素非常常重要因素比因因素绝对对重要因素与因因素的重重要性的的比较值值介于上上述两个个相邻等等级之间间因素与因因素比较较得到判判

20、断值为为的互反反数，注：以上上比较的的标度SSattty曾用用过多种种标度比比较层，得到的的结论认认为：119尺尺度不仅仅在较简简单的尺尺度中最最好，而而且比较较的结果果并不劣劣于较为为复杂的的尺度。Sattty曾曾用的比比较尺度度为： 13, 115, 116，, 1111，以以及 ，其中中 ，其中中 等共277种比较较尺度，对放在在不同距距离处的的光源亮亮度进行行比较判判断，并并构造出出成对比比较矩阵阵，计算算出权向向量。同同时把计计算出来来的这些些权向量量与按照照物理学学中光强强度定律律和其他他物理知知识得到到的实际际权向量量进行对对比。结结果也发发现19的比比较标度度不仅简简单，而而效

21、果也也较好（至少不不比其他他更复杂杂的尺度度差）因而用119的的标度来来构造成成对比较较矩阵的的元素较较合适。七、组合合权向量量的计算算层次次总排序序的权向向量的计计算层次分析析法的基基本思想想：（1） 计算出下下一层每每个元素素对上一一层每个个元素的的权向量量def：层次总总排序，计算同同一层次次所有元元素对最最高层相相对重要要性的排排序权值值。当然要先先：构造下下一层每每个元素素对上一一次每个个元素的的成对比比较矩阵阵计算出出成对比比较矩阵阵的特征征向量（和法，根法，幂法）由特征征向量求求出最大大特征根根（由和和法，根根法，幂幂法求得得）用最大大特征根根用方式式 及及对成对对比较矩矩阵进行

22、行一致性性检，并并通过。（2） 并把下层层每个元元素对上上层每个个元素的的权向量量按列排排成以下下表格形形式：例例，假定定：上层层有个元素素，且且其层次次总排序序权向量量为，下下层有个元素素，则按按对 个元素素的单排排序权向向量的列列向量为为，即有有：层次层总是排排序权重重（权向向量、列列向量）计算出最最大特根根（方法法：和法法、根法法、幂法法）一致性检检验一致性检检验比率率检验否？注：若若下层元元素与上上层元素素无关系系时，取取总排序序权向量量各分量量的计算算公式：(3) 对层次次总排序序进行一一致性检检验：从从高层到到低层逐逐层进行行，如果果如果层次次某些元元素对单单的排序序的一致致性指标

23、标为，相相应的平平均随机机一致性性指标为为，则层总总排序随随机一致致性比率率为：当时，认认为层次次总排序序里有满满意的一一致性，否则应应重新调调整判断断矩阵的的元素取取值。八、层次次分析法法的基本本步骤：（S1）建立层层次结构构模型将有关因因素按照照属性自自上而下下地分解解成若干干层次：同一层各各因素从从属于上上一层因因素，或或对上层层因素有有影响，同时又又支配下下一层的的因素或或受到下下层因素素的影响响。最上层为为目标层层（一般般只有一一个因素素），最最下层为为方案层层或对象象层/决决策层，中间可可以有11个或几几个层次次，通常常为准则则层或指指标层。当准则层层元素过过多（例例如多于于9个）

24、时，应应进一步步分解出出子准则则层。（S2）构造成成对比较较矩阵，以层次次结构模模型的第第2层开开始，对对于从属属于（或或影响及及）上一一层每个个因素的的同一层层诸因素素，用成成对比较较法和119比比较尺度度构造成成对比较较矩阵，直到最最下层。（S3）计算（每个成成对比较较矩阵的的）权向向量并作作一致性性检验 对每一个个成对比比较矩阵阵计算最最大特征征根及对对应的特特征向量量（和法法、根法法、幂法法等） 利用一致致性指标标，随机机一致性性指标和和一致性性比率作作一致性性检验 若通过检检验（即即，或）则则将上层层出权向向量归一一化之后后作为（到）的权权向量（即单排排序权向向量） 若不成立立，则需

25、需重新构构造成对对比较矩矩阵（S4）计算组组合权向向量并作作组合一一致性检检验即层次次总排序序 利用单层层权向量量的权值值构组合合权向量量表：并并计算出出特征根根，组合合特征向向量，一一致性上单 层层 重权 量 向下层 量量层次计算组合合权向量量其中最大特征征根和法、根根法、幂幂法一致性检检验 ?一致性随随机检验验对照表 ？一致性比比率 若通过一一致性检检验，则则可按照照组合权权向量的的表示结结果进行行决策（中中最大大者的最最优），即： 若未能通通过检验验，则需需重新考考虑模型型或重新新构造那那些一致致性比率率，较大大的成对对比较矩矩阵九、特征征根的近近似求法法（实用用算法）层次分析析法的基基

26、本思路路是计算算上层每每个元素素对下一一层次各各元素的的权向量量（即最最大特征征根对应应的特征征向量），以及及组合权权向量及及一致性性检验问问题。计算判断断矩阵最最大特征征根和对对应阵向向量，并并不需要要追求较较高的精精确度，这是因因为判断断矩阵本本身有相相当的误误差范围围。而且且优先排排序的数数值也是是定性概概念的表表达，故故从应用用性来考考虑也希希望使用用较为简简单的近近似算法法。常用用的有以以下求特特征根的的近似求求法：“和法”、“根法”、“幂法”，具体体如下：1“和和法”求最大大特征根根和对应应特征向向量（近近似解）（S1）将矩阵阵的每一一列向量量的归一一化得：（S2）对按行行求和得得

27、：（S3）将归一一化，即即有：，则有特特征向量量：（S4）计算与与特征向向量对应应的最大大特征根根的近似似值：此方法：实际上上是将的的列向量量归一化化后取平平均值作作为的特特征向量量。解释：当当为一致致矩阵时时，它的的每一列列向量都都是特征征向量可以在的的不一致致性不严严重时，取的列列向量（归一化化后）的的平均值值作为近近似特征征向量是是合理的的（有依依据的）。2“根根法”求最大大特征根根特征向向量近似似值：步骤与“和法”相同，只是在在（S22）时：对归一一化后的的列向量量按行“求和”改为按按行“求积”再取次方方根，即即：。即有具体体步骤：(S1)将矩阵阵的每一一列向量量归一化化得：（S2）对

28、归一一化以后后的列向向量各元元素： 按行“求求和”并开次方方根得：（S3）再将归归一化得得：得到特征征向量近近似值：（S4）计算最最大特征征根：作为最最大特征征根的近近似值。注：“根根法”是将“和法”中求列列向量的的算术平平均值改改为求几几何平均均值。3“幂幂法”求最大大特征根根：（S1）任取维维归一化化初始向向量（S2）计算（S3）归一化化，即令令：（S4）对预先先给定的的，当时，即为所所求的特特征向量量；否则则返回（S2）（S5）计算最最大特征征根，以上用幂幂法求最最大特征征根对应应特征向向量的迭迭代方法法，其收收敛性由由TH11（教材材P3225）中中的3），其中中，是对应应的归一一化向

29、量量特征。（证明：可以将将化为标标准形证证明）保保证。任任意选取取，也可可以取由由“根法”、“和法”得到的的注：在以以上求特特征根和和特向量量的方法法中“和法”最简单单。例：在旅旅游问题题中，求求目标层层到准则则层的成成对比较较矩阵为为的特征征向量和和最大特特征根：选择旅游地居住旅途景色费用饮食准则层：P1P2P3方案层：利用“和和法”求的特征征向量和和特征根根（S1）将的元元素按列列归一化化得：（S2）将中元元素按行行求和得得各行元元素之和和：（S3）再将上上述矩阵阵向量归归一化得得到特征征向量近近似值， 特征征向量其中 （S4）计算与与特征向向量相对对应最大大特征根根（的近近似值）故有最大

30、大特征根根对一致性性检验指指标：故通过检检验。十、应用用实例对前面旅旅游问题题进行决决策选择旅游地点 目标层层： 00.2662 00.4774 0.0999 0.1102 00.0555旅途B5饮食B4居住B3费用B2景色B1准则层： 00.5995 0.1129 0.1299 00.2777P1P2P3决策层：已知：目标对准准则的权权重向量量为：（由前面面已算出出），并并已通过过一致性性检验。准则相相对于的的成对比比较矩阵阵为对作用的的成对比比较矩阵阵为：同样对作作用的成成对比较较矩阵为为：解：对以上每每个比较较矩阵都都可计算算出最大大特征根根及对象象的特征征向量（即权重重向量），并进进行

31、一致致性检验验：以为例用用“和法”求出的特特征根及及对立的的特征向向量（S1）对按列列归一化化得：（S2）对按列列归一化化反向量量再按行行求和：（S3）对按行行归一化化得到特特征向量量（S4）计算特特征根一致性检检验：故通过检检验，既既成对矩矩阵可以以接受。同样步骤骤对，对对的影响响用特征向向量表示示最大特征征根用：表示并分别计计算一致致性检验验指标：列表如下下：权 准则则层值决策层B1 B2 B33 BB4 BB5组合权向向量0.2662 0.4744 0.0055 00.0999 0.10220.5995 0.0822 0.4429 00.6333 0.16660.2777 0.2366 0.4429 00.1993 0.16660.1229 0.6822 0.1142 00.1775 0.66883.0007 3.0022 33 33.0009 330.00035 00.0001 00 00.0005 000.588 00.588 0.58 0.558 0.580.0006其中的计计算公式式为：因此层次次总排序序：组合合权向量量为：故最终决决策为首首选，次次之，最最后。组合一致致性检验验：由可知知：组合合一致性性检验结结果为层次次总排序序的一致致性检验验：故一致致性检验验通过。最层次总总排序为为最决策为为：首选选，次之之，最后后。24