高考化学资料6.doc
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1、化学资料 - 1 - 十字交叉法的用途及局限十字交叉法的用途及局限 十字交叉法是许多老师和学生熟悉和喜爱使用的一种方法。为什么这么好一种方法, 在高考的阅卷中却不予给分?为什么在一九九一年高考第 27 题中,不少学生用十字交叉 法解出的答案却是错的。因此,本文不着重讨论十字交叉法的具体应用,而主要谈谈十 字交叉法的来历,应用的范围和局限,让我们认识十字交叉法到底是什么? 我在研究三角正弦法时,使我对十字交叉法有了很深该的认识。如果你看了我的 三角正弦法解化学题这篇文章后,你也许也会明白这个道理。因为三角正弦法和十 字交叉法是十分相似的,但又存在不同。因此,本文将从比较的角度来讨论相关的问题。一
2、、十字交叉法的来历 十字交叉法与三角正弦法有着共同的祖先。它们都是由下面的二元一次方程组求和 公式推导的变式公式得出来的。 求和公式求和公式:AA11A22 121。 在高低求中类计算中,将 A2理解为两个纯量中的高量,2为高量所占的丰度(即物 质的量百分含量或气体的体积百分含量);把 A1理解为低量, 1为低量所占的丰度;且 A2A1; A 为高量及低量组成的混合物的中量。 求和公式有以下五个变式: AA1(A2A1)2 AA2(A2A1)1 1 2 122 A-AA-A121 A-AA-A21 12 A-AA-A以上变式是化学技巧计算的公式,尤以、用途最大。但由于记忆较难,故 改用下列三角
3、正弦图示法,使之变得更为明白、易记和易算。其推导过程如下: 若两个纯量(高量和低量)为一直角三角形的锐角顶点,由它们组成的中量为该直角三 角形的直角顶点,三角形的边长为边上两顶点数据之差,那么,可得如下关系:Sin A11aa1122 A-AA-ASin A22aa2121 A-AA-A 21 SinASinA21 aa12 A-AA-A21 由此可得出三角正弦法则:三角正弦法则: 高量的丰度就是高量的正弦,低量的丰度就是低量的正弦;高量与低量的比值就是高量的丰度就是高量的正弦,低量的丰度就是低量的正弦;高量与低量的比值就是 它们所对应的边之比。它们所对应的边之比。 若把中量放在十字的中心,高
4、量和低量放在左边的线 头上,而把它们的丰度放在右边的线头上,则得到十字交 叉法的图示方法。这种图示与求和公式变式吻合,可理 解为求和公式变式的图示法。 由上推导可知,三角正弦法是求和公式变式和的图示法。因而它将有两个用途: 求比值和丰度。而十字交叉法的用途是求比值,若要求丰度则需另外进行计算。 由此分析还可看出,凡是采用上述求和公式计算的数学和化学计算问题,皆可用十化学资料 - 2 -字交叉法和三角正弦法加以快速计算。十字交叉图示法和三角正弦图示法实际上是代替 求和公式的一种简捷算法,它特别适合于两总量、两关系的混合物的计算(即 22 型混合 物计算)。 二、十字交叉法的应用范围和局限 既然十
5、字交叉图示法和三角正弦图示法的实质一样,只不过一个是伸出去,另一个 是缩回来。那末,它们的应用范围和局限都应该一样。它们都可以用来解决以下的有关 高低求中的问题。 1 同位素(一般求原子数比或原子含量,也可求质量比或质量含量); 2 混合气体(一般求体积比和体积百分含量,或物质的量之比和物质的量百分含量; 也可求质量比或质量含量); 3 N2及氮氧化物的混合物; 4 气体混合物燃烧; 5 平衡混合物;(6) 反应热;(7) 固体混合物反应(既可求物质的量比或物质的量百分含量,也可以求质量比或质 量百分含量); 8 化肥混合物(只能求质量比或质量百分含量); 9 溶液混合(只能求质量比或质量百分
6、含量)。例 1:铜有两种天然同位素和,铜的相对原子质量为 63.5,估算的2963Cu 2965Cu 2963Cu百分含量约是(MCE86.二.5.) EA 20% B. 25% C. 50% D. 66.7% E. 75% 解析:这种题的常规解法有二: 解法一:设两个未知数,解二元一次方程组。设和的百分含量分别为 x%和 y%,可得:2963Cu 2965Cux%y%1 63x%65y%63.5 解得:x%75%, y%25%。故应选 E。 解法二:设一个未知数,解一元一次方程式。设的百分含量为 x%,则的百分含量为 1x%,可得:2963Cu 2965Cu63x%65(1x%) 63.5,
7、 x%75%。故应选 E。若用三解正弦图示如图一所示,的正弦即为其百分含量,即%2963Cu 2963Cu100%75%。若用十字交叉图示如图二所示,与原子个数比为25 . 12963Cu 2965Cu0515,%100%75%。2963Cu 5 . 05 . 1 5 . 1化学资料 - 3 -由上所述,好象十字交叉法和三角正弦法是一种解题方法,但其实它们只是解法一 中的二元一次方程组或解法二的一元一次方程式两者等效的一种图示简捷算法而已。这 可由下面例题的解法中看出。例 2:CH4在一定条件下催化氧化可以生成 C2H4、C2H6(水和其它产物忽略不计)。取 一定量 CH4经催化氧化后得到一种
8、混合气体,它在标准状况下的密度为 0.780 g / L。已知 反应中 CH4消耗了 20.0%,计算混合气体中 C2H4的体积百分含量。(本题计算过程中保持 3 位有效数字) (MCE95.)解法一:设反应前 CH4为 1 mol,其中有 x mol 转化成 C2H4,即生成 mol C2H4和2xmol C2H6。2200. 0x反应后混合气体的总物质的量 0.800 mol0.200 mol 0.900 mol 1 2 0.780 g / L1 -2x-0.200-1 2x-1-1Lmol4 .22mol900. 0molmol30gmolmol28gmol800. 0molg16解得
9、x 0.0800 mol C2H4的体积百分含量 100% 4.44% 900. 0mol20800. 0解法二:设反应后所得混合气体的相对平均摩尔质量为,反应生成的 C2H4和M C2H6两者C2Hx 的相对平均摩尔质量为,1M 0.780 g / L22.4 mol / L 17.472 g / molMCH4 C2Hx1 20.2 0.1160.80.117.472 1M 29.2481M 注:式可用十字交叉图示和三角正弦图示来计算,如图三和图四。化学资料 - 4 -, x 11.776, 29.24818 472. 1x 1M设 C2H4和 C2H6在 C2Hx中的物质的量分数分别为
10、y1和 y2, 则可得:28y130y229.248 6242 HCHC21 yy 53注:式可用十字交叉图示和三角正弦图示来计算,如图五和图六。 6242 HCHC 25. 175. 053CH4C2H4C2H6 0.853 645381 . 081 . 0C2H4% 100% 4.17%723由上述分析可知,凡是用以上两种方法能解的二元混合物(涉及高、中、低三种量)的 计算问题都可用十字交叉图示法和三角正弦图示法解出,因此,十字交叉法和三角正弦 法只是代替上述两种算法的一种图示简捷算法,是一种数学模式;它们只不过比具体解 二元一次方程组来得简捷方便而已。 因此,在正式考试解答这类题时,只须
11、在试卷上写出对应的二元一次方程组或一元 一次方程式,而在草稿上用十字交叉法或三角正弦法很快解出,将其结果写在答卷上。正如在应用三角正弦法一样,在应用十字交叉法时要注意的是,有些题既可以求物 质的量(或气体体积)比或物质的量(或气体体积)百分含量,又可以求质量比或质量百分含 量。对于这种情况,必须弄清怎样使用这两种图示法。通过下面例题的分析和求解能帮 助我们很好地认识这两种图示法的使用方法和局限。 (MCE91.27)实验测得乙烯与氧气混合气体的密度是氢气的 14.5 倍,可知其中乙烯的 质量百分比为 ( C ) A. 25.0%B. 26.6%C. 72.4%D. 75.0% 解析:由混合气体
12、对氢气的相对密度可求得其平均相对分子质量为 29,不少学生就 用十字交叉法来解此题:由此可得乙烯的质量百分比为:100%75%。显然,133 这是错的,因为本题的正确答案是 C 而不是 D。 为什么会出现这种结果,这是因为你实际上是假设了乙烯和氧气的分子数是 1 个分 子或物质的量是 1 mol,故乙烯和氧气采用的是相对分子质量或摩尔质量,画的是质 量(即相对分子质量)十字交叉,即本题的前提条件是两种纯量为等分子数或等物质的量化学资料 - 5 - ,只不过表现出来是摩尔质量的数字而已。由于假设的是等分子数或等物质的量,因 而求得的当然是分子数或物质的量的百分含量。当然,由分子个数百分含量也可找
13、到正 确答案,这是由于乙烯的相对分子质量比氧气稍小,故乙烯的质量分数稍小于 75%,故 应选 C。只不过不少的学生不知道这样算出来的结果不是质量百分含量,更不会意识到 用此结果来寻求正确答案。 对于这种问题,能不能直接用十字交叉法来求质量比或质量分数呢?通过以上分析 的思考,使我想到了假设等质量可能会得出正确的结果。这都可以从许多题中得到证实。 如果本题要用十字交叉法直接算乙烯的质量分数,则须假设三种量为等质量。若假设等 质量为 224 g,则氧气的物质的量为 7 mol,乙烯为 8 mol,混合气体为 7.724 mol,画出 三者物质的量的十字交叉如下:即可得出混合气中乙烯的质量分数是,故
14、应选 C。0724 1100%724%.由此得出的结论是:若要用十字交叉法来求物质的量的关系,须假设两纯量和中量若要用十字交叉法来求物质的量的关系,须假设两纯量和中量 为等物质的量为等物质的量(对于气体也可以设等体积对于气体也可以设等体积),找出对应的质量,找出对应的质量(若设若设 1 mol,则为各物质的摩,则为各物质的摩 尔质量,数值就是相对分子质量尔质量,数值就是相对分子质量),画质量关系的十字交叉图示求解;若要用十字交叉法,画质量关系的十字交叉图示求解;若要用十字交叉法 来求质量的关系,则须假设两纯量和中量为等质量,找出对应的物质的量来求质量的关系,则须假设两纯量和中量为等质量,找出对
15、应的物质的量(对于气体也可对于气体也可 以是体积以是体积),然后画物质的量,然后画物质的量(或体积或体积)十字交叉图示求解。十字交叉图示求解。化学资料 - 6 -矢量三角形解化学题矢量三角形解化学题摘要 中学化学的基本计算是根据分子式和化学方程式的计算,本文独创了矢量三 角形来表示其相关物质间量的关系式,并使之图示化,模型化;介绍了矢量三角形法则 解一类化学计算基础题的原理和计算方法,以及具体应用。矢量三角形是一种技巧解法。关键词 矢量三角形 矢量法则 矢量法矢量三角形是中学化学中关于百分含量计算的一种图示方法。矢量三角形可如下推出:一个分数的分子和分母同乘以一个数,其值不变,即: ,然后将每
16、一分数都带上百分符号即成为百分含量计算的矢量三角形法则的AC AB BC 公式:。矢量三角形如右图所示,箭号上的分数的分子为箭头所指的量,%AC%AB BC 分母为箭尾所指的量。两个箭头方向一致,一个箭头方向相反。 矢量三角形法则可描述为:箭头方向一致的两个百分率相乘一箭头方向一致的两个百分率相乘一 定等于箭头方向相反的一个百分率。定等于箭头方向相反的一个百分率。(若所画三个箭号方向一致, 则三个百分率的乘积为 1)这与物理学上的矢量关系相同,故叫 它为矢量三角形。在化学上,也存在这种三角形关系,如:不纯物中某元素 的百分含量 纯化合物中某元素的百分含量纯化合物在不 纯物中的百分含量(即纯度)
17、。即可用上述矢量三角形加以计算。 因此,用矢量三角形可解中学化学中一类计算题。另外,还可以将其衍变为多边形来解 有关计算题。化学中许多基础计算可以采用矢量三角形求解,其原因在于这类计算反映 的物质间的关系是一种包含关系或相当关系,化学反应中物质间的相互关系也是一种相 当关系,而矢量三角形的箭号正体现了这种关系,因而它相当于化学反应计算中的关系 式,只不过我把这种关系搞得更普遍、更广泛,且成链和环式了。因此,只要是完全转 化的化学反应,相当于根据分子式的计算;而部分转化的化学反应,则不能根据分子式 计算,而要弄清化学方程式中的系数关系,才能正确地加以计算。这就是矢量三角形计 算的依据和应注意的问
18、题。下面讨论矢量三角形的的具体应用。例 1:有一硫铵样品,经分析测得含硫酸铵 85%,试计算该样品中含有效成分的百分 含量。解析:氮肥中有效成分的百分含量是指含氮量。此题存在三个百分率,85%是硫铵样品的纯度,硫酸铵有一个含氮量(,这其实是已知量),样品有一个含 424SO)(NHN2 13228氮量,设为 x%,可画成右图的三角形,按照上述三角形的箭头关系,得出:85%x%,x%18%。即有效成分为 18%。28 132例 2:某产地磷灰石平均含有 30% P2O5,求该 磷灰石含磷酸钙的百分率。解析:磷灰石中含 Ca3(PO4)2,由于有效成分 是折算成 P2O5计的,故可看作 Ca3(P
19、O4)2中含 P2O5,则磷灰石中也含 P2O5。而 Ca3(PO4)2折算成P2O5是已知量()。如图,由矢量 24352 )(POCaOP 310142三角形法则知:30%x%,x%65.5%。即142 310磷灰石含磷酸钙为 65.5%。其实这种箭号方向是可以任意画的,只不过箭化学资料 - 7 -号反了,分数中的分子和分母也要打个颠倒;三种物质也可以任意摆放,只不过物质的 摆法不同,对应的百分率也要改变。但这些都不影响其计算结果。如右图所示,按照矢量法则可得:x%,其结果一样。100 30310 142例 3:把 1 g 钢铁样品中所含的碳全部氧化,得到 CO2 0.0185 g,这种样
20、品属于( C )A. 生铁 B. 高碳钢 C. 中碳钢 D. 低碳钢解析:把钢样、CO2和碳摆在三角形的三个顶点上, 构成三角形,再确定三个百分率,如图所示,钢样在箭尾,CO2在箭头,故该箭号上的分数应为,按矢量法则00185 1.计算:x%,x%0.50484%,应选 C。00185 1.12 44例 4:分析磁铁矿时,将铁沉淀为 Fe(OH)3,再灼烧为 Fe2O3,当灼烧的 Fe2O3的质量(g)在数值上等于试样中 Fe3O4的百分含量,应称取试样为 ( C )A. 0.69 g B. 0.73 g C. 0.97 g D. 1.45 g解析:设磁铁矿为 x,所含 Fe3O4为 G%,灼
21、烧的Fe2O3的质量为 G% g,由矢量三角形知:G%,x097 g,应选 C。31602232% xG 31602232 注意:3Fe2O3 2Fe3O4。例 5:取一种不纯的碳酸钠(含有少量杂质硫酸盐)27 g 跟足量的盐酸作用,放出 11 g 二氧化碳,计算这种碳 酸钠中 Na2CO3的纯度。解析:不纯碳酸钠、纯碳酸钠和 CO2可构成矢量三角形,按照矢量三角形法则可得:x%,x%98.1%。44 10611 27即碳酸钠的纯度为 98.1%。例 6:有一种不纯的 Na2SO4样品重 1.56 g,把这样品溶 解并让它与 BaCl2溶液起反应,生成的沉淀的质量是 2.50 g,计算 Na2
22、SO4在原样品中的百分含量。解析:设 Na2SO4在原样品中的百分含量为 x%,按照矢量三角形法则可得:x%,x% 97.67%。即样品中233 142250 156. .含 Na2SO4为 97.67%。三角形法则也可衍变为正四边形或菱形矢量法则。例 7:w t 赤铁矿(含氧化铁 a%),若利用率为 b%,最多可 炼出含铁 c%的生铁( A )化学资料 - 8 -A. B. C. D. 7 1000abw ct7 100abw ct3 1000abw ct3 100abw ct解析:铁矿石、氧化铁和生铁组成一个三角形, 铁、氧化铁和生铁组成一个三角形,即铁矿石、氧 化铁、生铁和铁可组成一个正
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