2022年导数及其应用单调性教学设计.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -专题 019：导数的应用单调性 （教学设计）（师）考点要求：1利用导数争论函数的单调性,会求函数的单调区间2由函数单调性和导数的关系,求参数的范畴3 本讲复习时,应理顺导数与函数的关系,懂得导数的意义,体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用,重点解决利用导数来争论函数的单调性及求函数的单调区间学问结构：1导数的几何意义函数 yfx在 x x0 处的导数f x0是曲线y fx在点 x0, fx0 处切线 l 的斜率,切线l 的方程是y fx0 f x0 x x02 导数的物理意义如物体位移随时间变化的关系

2、为s ft ,就 f t0是物体运动在t t0 时刻的瞬时速度3 函数的单调性在a, b内可导函数fx, f x在 a,b任意子区间内都不恒等于0.f x0. 函数 fx在a, b上单调递增.f x0. 函数 fx在a, b上单调递减 4三点说明：（ 1）直线与曲线有且只有一个公共点,直线不肯定是曲线的切线.反之直线是曲线的切线,但直线不肯定与曲线有且只有一个公共点（ 2） f x 0 在 a,b上成立是f x在a, b上单调递增的充分条件（ 3）对于可导函数fx, f x0 0 是函数 f x在 xx0 处有极值的必要不充分条件5 求函数单调区间的步骤：1确定函数fx的定义域.2求导数 f

3、x.3由 f x 0f x 0解出相应的x 的范畴当 f x 0 时, fx在相应的区间上是增函数.当f x 0 时, fx在相应的区间上是减函数,仍可以列表,写出函数的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -基础自测：1 2022 山东 曲线 y x3 11 在点 P1,12 处的切线与y 轴交点的纵坐标是 A 9B 3C9D 15解析由

4、已知 y 3x2,就 y|x 1 3 切线方程为y 123 x 1,即 y 3x 9.答案C 2 2022 烟台模拟 函数 fx x2 2ln x 的递减区间是A 0,1B 1 , C , 1, 0,1D 1,0, 0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析函数的定义域为0, ,又 f x 2x 22xx 1x1x由 f x 0,解得 0x 1.答案A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3如点 P 是曲线 y x2 ln x 上任意一点,就点P 到直线 y x 2 的最小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1B .2C.22D.3可编辑资料 -

5、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由已知 y 2x 12x11,解得 x 1.曲线 y x2 ln x 在 x1 处的切线方程为y1 x 1,即 x y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x,令 x 0.两直线 x y 0, x y 20 之间的距离为d 2 2.2答案B4在高台跳水运动中,t s 时运动员相对水面的高度单位： m是 t1t 4.9t2 6.5t 10,高台跳水运动员在t 1 s时的瞬时速度为 答案 3.3 m/s5函数 fx x3 3x2 1 的递增区间是 解析f x 3x2 6x 3xx 2,由 f x 0 解

6、得 x 0,或 x 2.答案, 0, 2, 例题选讲：例 1：已知函数fx x3 4x2 5x 4.1求曲线 fx在 x 2 处的切线方程.2求经过点A2, 2的曲线 fx 的切线方程分析： 由导数几何意义先求斜率,再求方程,留意点是否在曲线上,是否为切点 解1f x 3x2 8x 5f 2 1,又 f2 2曲线 f x在 x 2 处的切线方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - -

7、- - - - - - - - - -y 2 x2,即 x y 4 0.2设切点坐标为x0,x3 4x2 5x0 4000f x0 3x2 8x0 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就切线方程为0y 2 3x2 8x0 5 x 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又切线过 x0, x3 4x2 5x 4点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 x3 4x2 5x 2 3x2 8x 5x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00000

8、0整理得 x0 22x0 1 0, 解得 x0 2,或 x0 1,因此经过 A2, 2的曲线 fx的切线方程为x y4 0,或 y 2 0.小结： 第一要分清是求曲线yf x在某处的切线仍是求过某点曲线的切线1求曲线 y fx在 xx0 处的切线方程可先求 f x0,利用点斜式写出所求切线方程.2求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标,求出切点坐标后再写切线方程 例 2：已知函数fx x3 ax2 3x.1如 fx在1 , 上是增函数,求实数a 的取值范畴.2如 x 3 是 fx的极值点,求fx 的单调区间分析：函数单调的充要条件是f x 0 或 f x 0 且不恒等于0.解1对 fx求导,得

9、f x 3x2 2ax3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 f x 0,得 a 321x x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记 tx 32x 1x,当 x 1 时, tx是增函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 1 0. txmin 32 a 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由题意,得f 3 0,即 27 6a 30, a 4. fx x3 4x23x, f x 3x2 8x 3.令 f x 0,得 x1 1, x2 3.3当 x 变化时, f x、f x的变化情形如

10、下表：x, 1133 1333, ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -f x极大值微小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 x , 13, 3 , 时, f x单调递增,当x 1,3 时, fx单调递减3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结：函数在指

11、定区间上单调递增减,函数在这个区间上的导数大于或等于0小于或等于0,只要不在一段连续 区间上恒等于0 即可,求函数的单调区间解f x 0或 f x 0即可例 3：设 a 为实数,函数fx ex 2x 2a, x R .1求 fx的单调区间与极值.2求证：当a ln 2 1 且 x 0 时, ex x2 2ax1.分析： 第2 问构造函数hx ex x2 2ax 1,利用函数的单调性解决1解由 fx ex 2x 2a, x R 知 f x ex 2, x R.令 f x 0,得 x ln 2,于是当x 变化时, f x, fx的变化情形如下表.x, ln 2ln 2ln 2 , f x0f x单

12、调递减21 ln 2 a单调递增故 fx 的单调递减区间是, ln 2 ,单调递增区间是ln 2 , ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_efx在 xln 2 处取得微小值,微小值为fln 2 2证明设 g x ex x2 2ax 1, x R,于是 g x ex 2x2a, x R.由1知当 aln 2 1 时, g x的最小值为g ln 2 21 ln 2 a 0.ln 2 2ln 2 2a 21 ln 2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是对任意xR ,都有 g x 0,所以 gx在 R 内单调递增于是当 a ln 2 1 时,对任意x 0, ,都有 g

13、x g0而 g0 0,从而对任意x 0, ,gx0.即 ex x2 2ax 1 0,故 ex x2 2ax 1.小结 利用导数证明不等式要考虑构造新的函数,利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题比如要证明对. x a, b 都有 f x gx,可设 hxf x gx只要利用导数说明hx在 a, b上的最小值为0 即可巩固作业： A 组：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、挑选题：个2个1A在0以下结论中,正确的结B论 有C 3 个 D 4 个（A）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - -

14、 - - - - - - -第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2A如b函数04 x33bx B 有b三个0单调区间,就bC的取b 值范0 围是D b（0A）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3如f x 是在l ,l内的可导的偶函数,且f x不恒为零,就关于fx 以下说法正确选项（D） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可

15、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（A）必定是l , l内的偶函数（ B）必定是l ,l内的奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（C）必定是l , l内的非奇非偶函数（ D）可能是奇函数,也可能是偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 fx 是f x 的导函数,f x 的图象如右图所示,就f x 的图象只可能是（D）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（A）（ B）（C）（ D）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5设fD.

16、x 是函数yf x的导函数,将yyf x 和 yfyx 的图象画在同一个直角坐标系中,不行能正确选项y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OxOxOxOxABCD二、填空题：5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6函数f xx3ax2bx1 ,当 x1 时,有极值1,就函数g xx3ax2bx 的单调减区间为1,3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7如函数f xmxn 是 R 上的单调函数,就m, n 应满意的条件是m0, nR.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下

17、载精品_精品资料_8函数f x2xex的单调递增区间是-,-2 与0,+.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 对于R 上可导的任意函数f （ x ）,如满意（x 1） f （ x） 0,比较f （ 0 ） f （ 2）与2f （ 1）的大小：f（ 0） f （ 2）2f （1）.解：由题意得：当x1 时, f （x ）0,所以函数f （ x ）在（ 1,）上是增函数.当 x1 时, f （ x） 0,所以 f （ x ）在（, 1）上是减函数,故 f （x）当 x 1 时取得最小值,即有f （ 0）f （1）, f （ 2）f （1）.f x1 x3a1 x2ax可编辑资料

18、- - - 欢迎下载精品_精品资料_10如函数32在 1,2 内是减函数,在2, 内是增函数,就a2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11设f x, g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x0 时,f xg xf xg x0 ,且g30,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

19、就不等式f x g x0 的解集为 ,30,3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、解答题：12.已知函数fx ex ax1. 1求 fx的单调增区间.2是否存在a,使 fx 在2,3上为减函数,如存在,求出a 的取值范畴,如不存在,说明理由解f x ex a,1如 a 0,就 f x ex a 0, 即 fx 在 R 上递增,如 a0, ex a 0, ex a, xln a.因此 fx的递增区间是ln a, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e2由 f xx a 0 在 2,3上恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a ex 在 x 2,3

20、上恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2又 2x3, ex3,只需 ae3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e e.当 ae3 时 f xex e3 在 x 2,3上, f x0 , 即 fx 在2,3上为减函数, a e3.故存在实数a e3,使 fx在 2,3上单调递减13函数 fx ax3 3x2, aR ,且 x 2 是 yfx的极值点,求函数gxex f x的单调区间解： f x 3ax2 6x3xax 2 由于 x 2 是函数 y fx的极值点所以 f 2 0,即 62a 2 0,因此 a1, 体会证,当a1 时, x2 是函数 fx的极值点,所以

21、 gx exx3 3x2 ,g x ex x3 3x2 3x2 6x ex x3 6x xx6x6ex .由于 ex 0,所以 y gx的单调增区间是6,0 和6, .单调减区间是,6和0,6 x14. 已知 mR ,函数 fx x2 mx mex 1如函数没有零点,求实数m 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 m 0 时,求证fx2 x3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1解由已知条件fx 0 无解,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 8 页 - - - - -

22、 - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -即 x2 mx m 0 无实根,就 m2 4m0,解得 0 m0 在 x = 1处取得极值3c ,其中a,b, c 为常数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）试确定a ,b 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）争论函数fx的单调区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）如对任意x0 ,不等式f x22c恒成立,求c 的取值范畴.可编辑资料

23、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ I ）由题意知f 13c ,因此 bc3c ,从而 b3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又对 fx求导得f x4ax3 ln xax 41 x4bx33x 4 a ln xa4b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（由题意f 10 ,因此 a4b0 ,解得 a12 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II ）由（

24、I ）知f x48 x3 ln xx0 ）,令f x0,解得 x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0x1时,f x0 ,此时f x 为减函数.当x1 时,f x0 ,此时f x 为增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此 fx 的单调递减区间为0,1 ,而f x的单调递增区间为1, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ III）由（ II ）知,f x 在 x1 处取得微小值f 13c ,此微小值也

25、是最小值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要使 fx 2c2x0 ）恒成立,只需3c2c2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（即 2c2c3 0 ,从而 2c3 c1 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c 3解得2 或 c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 c 的取值范畴为, 13,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载