2022年数学物理方程总结 .docx

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1、精品_精品资料_浙江理工高校数学系第一章:偏微分方程的基本概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偏微分方程的一般形式: F x, u,u ,u ,2u2 ,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1xnx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 xx1, x2,.,xn 就是自变量 , u xu x1, x2,., xn 就是未知函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偏微分方程的分类 :线性 PDE 与非线性 PDE, 其中非线性 PDE 又分为半线性 PDE, 拟线性 PDE与完全非线性PDE .二阶线性 PDE 的分类 两个自变量情形

2、:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2u2u2uuu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a112x2a12x ya222yabcu xy0 一般形式 记为 PDE1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_主部目的 :可以通过自变量的非奇特变换来化简方程的主部,从而据此分类可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x, y x, yxy非奇特0xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据复合求导公式最终可得到:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 u2u2uuu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1122 A12A

3、222ABCu0 其中 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Aa 22aa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxyy11111222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A12a11x xa12 xyxya22y y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Aa 22aa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxyy22111222z 2zzz 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考虑 a112 a12a22 0 假如能找到两个

4、相互独立的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxyyz x, yz x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么就做变换x, y x, y从而有A11A220可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在这里要用到下面两个引理:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_引理 1:假设 z x, y 就是方程 a z 22 azzaz201的特解 ,就关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111222111222xxyy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式 x, yC 就是常微分方程 : ady 22a dxdyadx 202

5、的一般积分.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_引理 2: 假设 x, yC 就是常微分方程 2 的一般积分 ,就函数 z x, y 就是 1 的特解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此可知 ,要求方程 1的解 ,只须求出常微分方程 2 的一般积分.常微分方程2为 PDE1的特点方程 ,1 的积分曲线为PDE1 的特点曲线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a dy 22 adxdya dx 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

6、dya 122a 12a 11 a 22记 x, ya 2a a就:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxa111211 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2u2u2u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x, y0（双曲型PDE）或22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x, y=0 x, y0（抛物型（椭圆形PDE） PDE）x yxy2 ux222uu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2u一维的波动方程 :2t2u2ax2f x, t 0xL ,t0可编辑资料

7、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一维的热传导方程2ua 2uf x,t 0xL,t0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_高维的情形只需要把2u 改为 laplace 的形式即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2数学物理方程 泛定方程 加上相应的定解条件就构成了定界问题.依据定解条件的不同,又可以把定解问题分为三类:初值问题 Dirichlet:定解条件仅有初值条件边值问题 Neumann :定解条件仅有边值条件混合问题 Rbin BC :定解条件有初值条件也

8、有边值条件数学物理方程的解 :假如一个函数在某一自变量的取值区域内有所需要的各界连续的导函数,并且带入数学物理方程使方程成为等式,称此函数为在该取值区域方程的解.定界问题的适定性 :假如一个定解为题的解存在,唯独且稳固 ,就称这个定界问题就是适定的;反之 ,如有一个性质不满意 ,就称这个定界问题就是不适定的.所谓界存在 ,就是指定解问题至少有一个解.假如一个定界问题的解不存在,这个问题就完全失去了意义 ,但定界问题反应的就是客观物理实际,在实际问题中说明存在的.如定解问 题的解不存在 ,说明所建立的定界问题就是错误的,可能就是在推导过程中有非次要因素被忽 略掉了 ,导致泛定方程错误,仍有可能定

9、解条件给错了等. 这就需要重新考虑定解问题的提法.解的唯独性从物理意义上讲就是明显的,假如解存在但不唯独 ,将无法确定所求解就是否就是所需要的 ,当然也无法求近似解.这说明问题的提法仍不够准确,需要进一步分析.所谓解的稳固性 ,就是指当定解问题有微小变动时,解就是否相应的有微小的变动,假如就是这样 ,该解就就是稳固的解 ; 否就所得的解就没有有用价值,由于定解条件通常就是利用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_试验方法所获得的 ,因而所得到的结果有肯定的误差,假如因此导致解的变动很大,那么这种解明显不符合客观实际的要求.而我们多学的定解问题都就是经典问题,她们的适定性都就是经过证明

10、白的.其次章: 分别变量法分别变量法的主要思想:1、将方程中含有各个变量的项分别开来,从而原方程拆分成多个更简洁的只含 1 个自变量的常微分方程;2、运用线性叠加原理,将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程 ;3、利用高数学问、级数求解学问、以及其她奇妙方法,求出各个方程的通解;4 、最终将这些通解“组装”起来.分别变量法就是求解偏微分方程最基本最常用的方法.主要依据的理论依据就是线性方程的叠加原理与 Sturm-Liouville理论.最核心的思想就是将偏微分方程的求解化为对常微分方 程的求解.下面就有界弦的自由振动的定解问题争论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22ua

11、 2ut 2x20,0xl可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u x 00,u x l0,t0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u t 0 x,ut t 0x,0xl可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_观看留意其特点就是 : 方程齐次 , 边界齐次、端点会引起波的反射 ,弦有限长 ,波在两端点之间来回反射.两列反向行进的同频率的波形成驻波.驻波的特点 : 1 没有波形的传播 ,即各点振动相位与位置无关,按同一方式随时间振动,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

12、精品资料_可统一表示为T t 2各点振幅随点而异,而与时间无关 ,用 Xx表示 ,所以驻波可用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_X xT t 表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 u x, tX xT t 且 u x, t不恒为零 ,带入方程与边界条件中得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2XTa X T0X xT t 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 u x,t 不恒为零 ,有:X xa2Tt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

13、_精品资料_X xX x02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T t a 2T t 0.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用边界条件 :X 0T t 0X l Tt04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） 成立X 00,X l 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_X X05可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_X 00, X l 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

14、参数成为特点值.函数X x成为特点函数下面分三种情形争论特点值问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxC1C20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12i0 方程的通解为X xC1eC2e由边值条件得C elC el0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C1 =C 2=0从而X x0,0无意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ii=0 方程的通解X xC1xC 2 同样的到X x0 ,=0无意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

15、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iii0 时,通解X xC1 cosxC2 sinx 由边值条件得C10得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C2sinl0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C20,X xC从而 sinsin nl0 ,故ln即n 222,nl1,2,3,而由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x,nl1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n再求 T: T t22a2 nl 2Tnt0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

16、迎下载精品_精品资料_其解为 : Tt A cosn atB sinnat可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnlnln atn atn x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 un x, tAn cos lBn sin lsin ln1,2,3,依据叠加原理可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以得到 : u x, t An atcosB sinn atn xsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nlnlln 1定解问题的解就是Fourier 正弦级数 ,这就是在 x0 与 x=l处的第

17、一类齐次边界条件打算的.nlA2 sindnnl0l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lBnna2nnalnl sind0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解的物理意义u x, t Acos na tB sinna t sin n x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnlnllN sintS sin n xnnnl可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u x, tn 1 un x, t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ux,t 就是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而

18、成.n 1 的驻波称为基波,n1 的驻波叫做 n 次谐波、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意 :分别变量法适用范畴 : 偏微分方程就是线性齐次的,并且边界条件也就是齐次的.其求解的关键步骤 :确定特点函数与运用叠加原理.对于不同类型的定解条件做了如下总结左端点右端点特点值特点函数取值范畴一一n22Bn sinl 2nlxn=1,2,3,.一二2n124l 222 n1B sinn2lx n=0,1,2,.二二n2l 22B cos nn=0,1,2,.nlx二一2n14l 222Bn cos2 n1n=0,1,2,.2lx齐次化原理 :Duhamel设 x, t, R : 0

19、3x, t0 上的函数 U x, t, 关于自变量 x,t 二次可微U x, t , 连同关于 x 与 t 的一阶与二阶偏导数都对x,t , 在 x, t, R3 : 0x, t0 上连续 ,且U x, t, 满意 :2U x,t,t2U x, t, xU x, , U x, t,ta 22U x, t,x2U x,t ,0,0x, t000, x0,00xx, tf x,0xtt就函数 ux,t 0U x,t,d就是下面方程的解 :2u x, t2t 2a2u x, t x2u x,t xf x, t,0x,tux, t,ux,0u x,t tx 000,0,00xx,t0,0xt 01、圆

20、域上的 laplace 方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定界问题2u00ra, 02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_边界条件ua,f 02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_想法就是把空间柱面坐标退化为二维的极坐标.挖掘边界条件 : r 的边界就是 0 与 a, j 的边界可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就是 0 与 2、自然边界条件u 0,有限值 ,周期边界条件 : ur ,0ur ,2 ,分别变量令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1u12u可编辑资料 - - -

21、欢迎下载精品_精品资料_uRr ,带入极坐标 Laplace 方程 :r220 得rrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_到:rdrdRm2 Rdrdr于就是可以化为下面两个常微分方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程:m20,021可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22rRrRm R02 、求解式 1的本征函数得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_到: Am cosm Bm sin m m0,1, 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

22、品资料_在求解 2式,形式上就是欧拉方程 ,因此可以通过 tln r 来进行代换 ,得:RdRdRdt1 dRdrdtdrr dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d1 dRddRdt1d 2RdR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Re tdrr dtdtdtdrr 2dt 2dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此式 2化简为 : Rt2m Rt0 它的通解就是 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m=0 时, R0 t C0D0 ln r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m0 时, Rt C r mD rm可编辑资料

23、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mmm由自然边界条件“ u0,j= 有限值“ 可知D0 =0 与Dm =0 、所以 ,原 Laplace 方程的通解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为: ur ,A A cosmBsin mr m再代入边界条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0mmm 1件: ua,f 02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f A A cos mBsin m am上式实际上就就是fj 的傅立叶级数绽开式 ,所可编辑资料 - - - 欢迎下

24、载精品_精品资料_0mmm 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以待定系数可以确定 :A12f02012Amam0df cosm d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Bm二维 Laplace 方程的一般解12am0f sin m d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为: ur ,C0D0 lnrC r mDmrAm cosmBm sin m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mmm 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1) 假如考虑圆内问题就其解为: u r ,Am cos mB

25、m sinm 0mr m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2) 假如考虑圆外问题就其解为: u r ,A cosmBsin mr m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mmm 03) 假如考虑就是圆环问题,就其解为一般解 ,其中的系数由边界条件确定.关于非齐次边界条件的问题可以转化为其次边界条件,因此在这里就不多说了,其求解原理与方法与求解其次边界条件问题就是一样的.第三章:行波法与积分变换行波法:1. 基本思想 :先求出偏微分方程的通解,然后用定界问题确定特解.2. 关键步骤 :通过变量代换 ,将波动方程化为便于积分的

26、其次二阶偏微分方程3. 适用范畴 :无界域内的波动方程等达朗贝尔公式 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ua2 t 22u2 ,xu x,0x,t0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ux,0x, x,x t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其解为 :u x, t1 xat xat 1x at d一味的达朗贝尔公式 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22ax at可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再次引入一个平均值函数ff xdx为了应用这种表达式在这里令可编辑资料 -

27、 - - 欢迎下载精品_精品资料_b a a1x at可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a=x+at;b=x-at就有 ff s ds就达朗贝尔公式可以表示如下形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2at_x at可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式: ux,t ttt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解的物理意义 :1a. 只有初始位移时 , ux, t xat xat 2, xat 代表以速度 a 沿 x 轴正向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_传播的波 , xat 代表以速度 a 沿 x 轴负向传播的波.1x at可编辑

28、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b. 只有初始速度时 : u x,t d,假使初始速度在区间上就是常数 ,而在此区可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ax at可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间外恒等于 0, u x, t1 xat 1 xat .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_结论就是 :达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a 波的叠加 ,故称为行波法.相关概念:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ua2当方程为非齐次时 :t22 u x x,2f x, t ,x, t0*u x,0ux,0t x,x由叠加原理

29、可知 ,假如 vx,t 就是初值问题 :2v t 2vx,0a 22vx2,x,t0 x,vx,0t的解. x,xwx,t 就是初值问题 :2w t 2w x,0a22wx2f x,t,x,t00,wx,0t0,x就 u=v+w 就是初值问题 * 的解 ,即可直接写出 * 的解 ux,t 为:u x,t 1 xatxat 1x atd1tx a tf, d22ax at2a 0x a t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d这个公式成为一维非齐次波动方程初值为题解的Kirchhoff公式半无界弦的振动问题 :1.端点固定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

30、 - - 欢迎下载精品_精品资料_22ua2ut2x2f x, t0x,t0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ux,0 x, u0,t 0u x,0 t x,0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求解的思想就是 ,把它转化为无界弦的振动问题,因此需要做一个奇延拓:x, x0x, x0 x x x, x0x, x0就问题转化为 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22ua2ut2x2f x, tx, t0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ux,0

31、x, u0,t 0u x,0 tx,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即解为:11x at1 tx a t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u x, t xat xat df,dd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22ax at2a0x a t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通过争论 t 的范畴 分为 xat, 与 0x=at 可以得到原先要求方程的解、2.端点自由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22ua2ut2x2f x, t0x,t0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ux,0 x,ut 0, t0u x,0 t x,0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路同上只不过就是把延拓改为偶延拓:x, x0x, x0 x x、x, x0 x, x0三维波动方程的初值问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222ua2uut 2x2y22u,t z20, x,