2022年高中数学北师大版必修《单位圆与诱导公式》导学案.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案第 4 课时单位圆与诱导公式1. 借助单位圆, 利用点的对称性推导出“- , + , - , + ”的诱导公式, 并会应用公式求任意角的三角函数值.2. 会应用公式进行简洁的三角函数的化简与求值.3. 通过公式的运用, 学会从未知到已知, 复杂到简洁的转化方法.我们已经学习了任意角的正弦、余弦函数的定义, 以及终边相同的角的正弦、余弦函数 值也相等 , 即 sin2 k + =sin kZ 与 cos2 k + =cos kZ, 公式表达了求任意角的正弦、余弦函数值转化为求0 360的角的

2、正弦、余弦函数值, 那么我们能否将 0 360间的角的正弦、余弦函数值转化为锐角的正弦、余弦函数值了.问题 1: 将任意角转化成0360间的角的几种情形由于任意角都可以通过终边相同的角转化成0 360间的角 , 对于任意0 360的角 , 只有四种可能 其中 为锐角 , 就有=问题 2:1角 与- 的正弦函数、余弦函数关系如图 , 在单位圆中对任意角MOP= , 作 MOP=- , 这两个角的终边与单位圆的交点分别为 P 和 P , 可知 OP与 OP关于轴对称 , 设 P 点的坐标为 a, b, 就点 P 的坐标为 a, -b , 所以 sin - =-b ,cos =a. 即 sin- =

3、,cos - =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 角 与 的正弦函数、余弦函数关系如图 , 在直角坐标系的单位圆中, 对任意角 MOP=, 其终边与单位圆的交点为P, 当点 P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_按 逆 顺 时 针 方向 旋转 至 点 P 时

4、 , 点 P 的 坐 标 为 :cos + ,sin + 或cos - ,sin - , 此时点 P 与点 P 关于原点对称 , 横、纵坐标都互为, 故sin + =,cos + =;sin - =,cos - =.(3) 角 与 - 的正弦函数、余弦函数关系如图 , 在单位圆中 , 当 MOP= 是锐角时 , 作 MOP= - , 不难看出 , 点 P和点 P 关于 y轴对称 , 就有 sin - =,cos - =.(4) 角 与 + 的正弦函数、余弦函数关系在单位圆中,仿照上面的方法,可以得出,sin + =,cos + =.问题 3: 任意角的正弦函数与余弦函数的诱导公式1sin2k

5、+ =;cos2 k + =;2sin- =;cos- =;3sin24sin - = - =;cos2 - =;cos - =;5sin + =;cos + =;6sin + =;cos+ =;7sin- =;cos- =.问题 4: 争论几组诱导公式的共同点与规律12 k , - , 的三角函数值等于 的三角函数值 , 前面加上一个把 看作角时原三角函数值的符号;2 的正弦 余弦 函数值分别等于 的 函数值 , 前面加上一个把 看作角时原三角函数值的符号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 9 页 - -

6、 - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案1. 以下等式不正确选项 .A. sin +180=- sin B . cos - + =-cos - C. sin - - 360=- sinD. cos - - =cos + 2. 函数 f x =cos xZ 的值域为 .A. - 1, - ,0,1B. - 1, - , ,1C. - 1, -,0,1D. - 1, -,13. 如 sin- =, 就 sin- =.4. 已知 sin + +sin- =-m, 求 si

7、n3 + +2sin2 - 的值 .利用诱导公式化简求特别角的三角函数值.1sin 1320;2cos- .诱导公式在三角函数中的综合运用 已知 f =.(1) 化简 f ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案(2) 如 sin- = , 求 f 的值 .利用诱导公式对三角函数式化简、求值或证明恒等式化简 :sin - +cos

8、 - nZ .求 sin - cos +cos - sin 的值 .已知 f x =, 求 f - 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案已知 cos + =- , 且 是第四象限角 , 运算 nZ 的值 .1. sin- 的值等于 .A.-B.-C.D.2. 已 知 sin - = , 就 cos+ 的值为 .A. B.

9、-C.D.-3. 5sin 90 +2cos 0 - 3sin 270 +10cos 180 =.4. 化简.20XX 年全国卷 sin 585的值为 .A.-B.C.-D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案考题变式 我来改编 :第 4 课时单位圆与诱导公式学问体系梳理问题 1: 一二三四问题2:1x- sincos2 相反数

10、- sin- cos - sin- cos(3) sin- cos4cos- sin问题3:1sincos2 - sincos3 - sincos 4sin- cos5 - sin- cos 6cos- sin7cossin问题 4:1同名锐2 余弦正弦锐基础学习沟通1. B由诱导公式可知,A 正确 ; 对于 B,cos - + =cos - - =cos - , 故 B不正确 ;对于C,sin- - 360=sin - =- sin ,故C正确;对于D,cos - - =cos - + =cos + , 故 D 正确 .2. B对 x 依次赋值0,1,2,3,4, 很简洁选出.3.-sin-

11、 =sin +- =- sin- =-.4.解: sin + +sin - =- sin - sin=- 2sin =-m, sin =,而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案sin3 + +2sin2 - =sin2 + + - 2sin =sin + - 2sin=- sin- 2sin=- 3sin , 故 sin3 +

12、+2sin2- =- m.重点难点探究探究一 : 【解析】 1sin 1320 =sin3360 +240=sin 240 =sin180 +60=- sin 60 =-.2cos- =cos - 10 - =cos - =cos = .【小结】 熟记正弦函数、 余弦函数的诱导公式, 将其转化为锐角的正弦或余弦值, 是解答此类题型的关键, 同时要牢记一些特别角的三角函数值.探究二 : 【解析】 1 f =- cos .2 sin- =- cos = ,f =- cos = .【 小 结 】 熟 记 诱 导 公 式 , 并 注 意 总 结 规 律 , 有 助 于 理 解 和 记 忆 , 如 涉

13、及2k , - , 的三角函数值, 其三角函数的名不变, 如涉及 , 就正弦变余弦、 余弦变正弦 , 另外 , 要留意符号的变化.探究三 : 【解析】原式=sin n - + +cos n + - =sin+ - cos- =sin- - - cos- =cos- - cos- =0. 问题 以上化简过程正确吗. 结论 不正确 , 在化简过程中未对n 加以争论而导致错误.于是 , 正确解答如下:原式 =sinn - + +cos n + - .当 n=2k+1 kZ 时 ,原式 =sin2k + - + +cos2 k + + - 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师

14、精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案=sin+ - cos- =cos- - cos- =0.当 n=2k kZ 时 ,原式 =sin2k - + +cos2 k+- =-sin+ +cos- =0.综上可得 , 原式 =0.【小结】 在对 sin +k ,cos +k 进行化简时 , 一般要分两种情形争论 : 当 k 为偶数 时 ,sin +k =sin ,cos +k =cos ; 当

15、 k 为 奇 数 时 ,sin +k =-sin ,cos +k =- cos .思维拓展应用应用一:原式=-sin6 +cos6 + +cos4 + sin4 + =- sin -cos + +cos2-sin2 - =sincos - cossin=- = .应用二 : f x =- sinx,f - =- sin- =sin=sin10 + =sin=.应用三 : cos + =- , - cos =- ,cos= ,=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可

16、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案=-=- 4.基础智能检测1. Csin - =sin- 4 + =sin =sin - =sin= , 应选 C.2. Dcos+ =sin- + =- sin - =- .3. 05sin 90 +2cos 0 - 3sin 270 +10cos 180 =51+21- 3 - 1 +10 - 1 =0.4. 解 : 原式 =-=- 1.全新视角拓展Asin 585 =sin360 +225=sin 225 =si n180 +45=-.思维导图构建sin- cos - cos cos - sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载