2022年高中数学教案—点到直线的距离 .docx

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1、精品_精品资料_教 案课题：点到直线的距离教材：人教版全日制一般高级中学教科书（必修）数学其次册（上） 第七章第 3 节教案目标：(1) 至少把握点到直线的距离公式的一种推导方法,能用公式来求点到直线距离.(2) 培育同学探究才能和由特别到一般的争论问题的才能.(3) 熟悉事物（学问）之间相互联系、相互转化的辩证法思想,培育同学转化的思想和综合应用学问分析问题解决问题的才能.(4) 培育同学团队合作精神,培育同学个性品质,培育同学勇于探究的科学精神.教案重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用教案难点：点到直线的距离公式的推导教案方法：启示引导法、争论法学习方法：任务驱动下的争论性学习教案时间

2、： 45 分钟教案过程：1 .老师提出问题,引发认知冲突（约5 分钟）问题：假定在直角坐标系上,已知一个定点P（x0 ,y0）和一条定直线 l： Ax+By+C=0 ,那么如何求点 P 到直线 l 的距离 d？请同学摸索并回答.同学 1：先过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,就| PQ| 就是点 P 到直线 l的距离 d.然后用点斜式写出垂线方程,并与原直线方程联立方程组,此方程组的解就是点 Q 的坐标.最终利用两点间距离公式求出| PQ| .接着,老师用投影出示以下5 道题 尝试性题组 ,请 5 位同学上黑板练习（第（ 4）题请一位运算才能强的同学,其余同学在下面自己练习,每做完一题立

3、刻讲评）：(1) 求 P（1 ,2）到直线 l：x=3 的距离 d.（答案： d=2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 求 P（x0 ,y0）到直线 l：By+C=0（B 0）的距离 d.（答案：Cdy0）B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 求 P （ x0 ,y0 ） 到直 线 l ： Ax+C=0 （ A 0 ） 的距 离 d . （ 答 案 ：Cdx0）A4求 P（ 6 ,7）到直线 l：3x-4y+5=0 的距离 d.（答案： d=1）5求 P（ x0 ,y0）到直线 l： Ax+By+C=0 （AB0）的距离 d.第（ 1）简洁、（ 2）和

4、（ 3）题虽然含有字母参数,但由于直线的位置比较特别,同学不难得出正确结论.第（4）题虽然运算量较大,但依据刚才同学1 回答的方法与步骤,也能顺当解出正确答案.第（5）题虽然思路清楚,但由于字母参数过多、运算量太大行不通.同学们陷入了困境.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2老师启示引导,同学走出困境（约8 分钟）老师：依据以上 5 位同学的运算结果,你能得到什么启示？同学 2：当直线的位置比较特别（水平或竖直）时,点到直线的距离简洁求得,而当直线是倾斜位置时就较难.含有多个字母时虽然想起来思路很自 然,但详细操作起来因运算量很大而无法得出结果.老师：那么,练习（ 5）有没有运算

5、量小一点的推导方法了？我们能不能依据刚才的第（ 2）、（ 3）的启示,借助水平、竖直情形和平面几何学问来解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_倾斜即一般情形了？请同学们摸索.同学 3：能；如图 1,过点 P 作 x、y 轴的垂线分别交直线 l 于 S、R,就由三角形面积公式可得| PQ|= （ |PR| |PS| ）/|RS|老师： |PR| 怎么求？ |PS| 又怎么求？同学 3：设 R（x1 ,y0）,就由 Ax1+By0+C=0,得 x1= （ By0+C） A,|PR|=| x0- x1|=| Ax0+By0+C| | A| .同理： |PS|=| Ax0+By0+C|

6、| B| .老师： |RS| 怎么求？yPx0 ,y0RdOQxS图 1l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同学 3：|RS|=22PRPS=（A 2B 2/|AB| ）|Ax+By+C| .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00老师： | PQ| 结果是什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同学 3：| PQ|=Ax0ABy0C.22B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_老师：公式的这种推导方法是否需要作补充说明？同学 4：当 A=0 或 B=0 时, PRS 不存在,故应说明公式当 A=

7、0 或 B=0时是否适用？由（ 2）、（ 3）检验可知公式依旧成立,即公式对任意直线都适用.3 .老师提出问题,同学分组争论（约10 分钟）老师：推导点到直线的距离公式的方法不少.前面我们学了函数、三角函数、向量、不等式等数学学问,你能用所学过的学问从不同角度、采纳不同方 法来推导这个公式吗？请同学们先独立摸索,然后在小组上进行争论沟通,由 组长负责记录. 10 分钟后每组推选一名代表对本组找到的最好的一种推导方法通过实物投影进行“成果”沟通.同学们积极探讨.老师来回巡察,回答各争论小组的询问4. 同学沟通“成果”,老师点评小结（约16 分钟）经过约非常钟的研讨,各小组都找到了新的推导方法.于

8、是老师请4 名代表依次上讲台（让预备成熟的先讲）,借助实物投影介绍本组的“成果”.由于时间关系,每组只要求讲一种方法,用时不超过4 分钟,且各组的方法不能重复.同学 5：我们用的是“设而不求,整体代换”的数学思想.请看投影屏幕：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Q 的坐标为（ x1 ,y1）,就直线 PQ 的斜率 k1 = y1x1y0 ,又直线 l 的斜率x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k= -A ,于是由 PQ l 得, k1k= -1 即 Bx1- x0-Ay 1- y0=0 B可编辑资料 - - -

9、欢迎下载精品_精品资料_又由于 Ax1+By1+C=0, 即 Ax1+By1=-C两边同减 Ax0+By0 得 Ax1-x0+By1-y0= - Ax 0+By0+C 于是 2+2 得,A2+B2x1-x02+y1-y02= Ax0+By0+C2,即 A2+B2 d2= Ax0+By0+C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 d=Ax0ABy 0C.22B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_老师：“设而不求,整体代换”,真是奥妙无穷,这是解读几何削减运算量的有效途径,同时也表达了数学的内在美,妙不行言.同学 6：我们小组向大家介绍一种特殊的方法向量法,请看投影屏可

10、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_幕：如图 2,设 T （ x1 ,y1）为直线 l 上的任意一点,就Ax1+By1+C=0, PT =（ x1-x0, y1-y0） PQ直线 l ,l PQ 平行于直线 l 的法向量 n =（A, B）yPx 0,y0dQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另设 n 与 PT 的夹角为 ,就 n PT =n PTOxcos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即| Ax1-x0+By1-y0|=A 2B 2| PT |cos|图 2 Tx 1,y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22即| Ax0+By0+C

11、|=ABd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ d=Ax 0ABy0C.22B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_老师：向量是数量与图形的有机结合,解读几何是用代数的方法解决几何问题,两者都表达了数形结合的思想,第三小组的推导方法证明白这一点,也再次说明白向量具有很强的有用性与工具性,用向量法解解读几何题的确行之有效.同学 7：我们小组向大家介绍向量的另一y种方法,妙用向量数量积的性质请看投影屏M幕：l如图 3,设垂足是点 Hm,n ,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_HMx0m,y 0n与3 / 5dHAx+By+C=0OX图3可编辑资料 - - -

12、欢迎下载精品_精品资料_直线 l 的法向量 nA,B共线,HMnHMnx0m,y 0nA,BAX0By0AmBnAX0By0C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dHMHMnAXByC002.这是相当简洁的方法了.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nA2B老师：奇妙利用向量数量积的性质来求距离,简直是“巧夺天工”,与其他方法相比,这种方法有肯定优势,我们必需重视对向量工具性的争论和应 用.同学 8：刚才三个小组的证明方法的确出色,我们也发觉了一种奇妙的方法,把它称为“柯西不等式法”,请看投影屏幕：11我们知道, P 点到直线 l 的距离 ,实质上是点 P 与直线 l

13、上任意一点 T 的距离的最小值,于是我们设 T （ x1 ,y1 ）为直线 l 上的任一点（如图 2）,就Ax1+By1+C=0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 d=|PT| min,于是 |PT|= x0x 2 y0y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= x0x 2 y10y 2122A2B 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用柯西不等式,便有 |PT| A x0x1 B y02y1 = Ax0By0C,可编辑资料 - - - 欢迎下

14、载精品_精品资料_A 2B 2A2B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 d=Ax 0ABy 02BC,此时2B x0x1A y0y1 ,即 PT 垂直于直线 l.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_老师：这一证法果真非常奇妙,包含的数学思想非常丰富.由点到直线的距想到最小值,又由最小值想到不等式,在一步步“转化”中问题得到圆满解决.同时也表达了不等式的工具作用.5. 公式应用（同学练习,约 3 分钟）（ 1） 求 P（6 ,7）到直线 l ：3x-4y+5=0 的距离 d.（直接代公式得答案： d=1,检验尝试性题组第（ 4）的答案）（ 2）求 P（-1,1）到

15、直线 l： y2 x1 的距离 d.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（先化直线方程为一般式再代公式得答案：6. 老师小结并布置作业（约 1 分钟）d45 ）5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这节课我们学习了点到直线的距离公式,在公式的推导中学到了很多重要可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的数学思想和方法,感受到了数学的奥妙,也感受到了胜利的欢乐.其实这个公式的推导方法不下十种,由于课堂上时间紧,很多同学有制造性的推导方法不能进行展现、沟通,请同学们撰写一篇题为点到直线距离公式的多种推导方法的数学小论文,作为本节课的作业,答应三到四人合作完成.设计说

16、明：数学公式的教案应包含两个部分：公式的推导和公式的运用.由于受应试训练的影响,前者往往被“轻描淡写”,而后者却搞得“轰轰烈烈”,这明显与“重结论,但更重过程”的现代训练理念相违反.其实数学公式的推导都包蕴着丰富的数学思想和数学方法,谁忽视了这个“产生过程”,谁就忽视了数学的“精髓”,谁就忽视了同学探究性思维品质的培育.这节课把争论性学习引入公式的教案,让同学真正成为课堂的主人.在推导公式的过程中,同学通过克服困难的经受,以及获得胜利的体验,锤炼了意志,增强了信心.其实全部公式的教案、定理的教案都应向这个方向努力.数学教案,从根本上讲就是提高同学的数学素养,提高同学的数学素养的有效途径有二：其

17、一,使同学善于总结,使零乱的学问系统化、综合化.其 二,使同学善于联想,培育发散性思维.本节课使学会从不同的角度摸索问 题,加强学问间的联系,正是锻练、提高同学运用学问分析问题和解决问题的才能,从而提高数学素养.通过公式求点到直线的距离并不困难,但这个公式的推导方法不下十种, 且各种推导都包蕴着重要的数学思想、方法,由于课堂上时间紧,很多同学的有制造性的推导方法不能进行展现、沟通,故课外请同学们撰写一篇题为点到直线距离公式的多种推导方法的数学小论文作为本节课的作业.考虑到同学的个体差异,故答应三到四人合作完成.同时通过同学小论文的完成情形对这节课的教案成效作出评判.本课设计有肯定的弹性,实际教案中,同学想到的推导方法不肯定是上述几种,我将针对每一种方法的特点进行适当的点评.进行沟通的同学不肯定是四人,如时间不够,公式应用留到下节课,本节课只完成公式推导.可编辑资料 - - - 欢迎下载