2022年高一数学必修知识点总结6.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学必修1 学问点第一章集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义： 某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性.（ 2）元素的互异性.（3）元素的无序性说明： 1 对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.(2) 任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.(3) 集合中的元素是公平的,没有先后次序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的

2、元素是否一样,不需考查排列次序是否一样.(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.3、集合的表示： 如 我校的篮球队员 , 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 （1）用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法.（）列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.（）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 x R| x-32或x| x-32（3

3、）图示法（文氏图） ：4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N* 或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 aA ,相反, a 不属于集合 A 记作 aA 6、集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集 不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集对于两个集合 A 与 B,假如集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说两集合有包含关系,称集合A 为集合 B 的子集,记作 AB留意： 有两种可能（ 1）A

4、是 B 的一部分,.（ 2）A 与 B 是同一集合.反之:集合 A不包含于集合B, 或集合 B 不包含集合 A, 记作 AB 或 BAn集合 A 中有 n 个元素, 就集合 A 子集个数为 2 . 2“相等”关系 5 5,且 55,就 5=5实例：设A=x|x2-1=0B=-1,1“元素相同”结论：对于两个集合A 与 B,假如集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时 , 集合 B 的任何一个元素都是集合A 的元素,我们就说集合A 等于集合 B,即： A=BAB且BA 任何一个集合是它本身的子集.AA真子集 : 假如 AB, 且 AB 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作AB或 B

5、A假如 AB, BC , 那么 AC 假如 AB同时 BA 那么 A=B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3.不含任何元素的集合叫做空集,记为规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.三、集合的运算1 交集的定义 ：一般的,由全部属于A 且属于 B 的元素所组成的集合 , 叫做 A,B 的交集记作 A B读作” A 交 B”

6、,即 AB=x|x A,且 x B2、并集的定义 ：一般的,由全部属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的并集.记作： AB 读作” A 并 B” ,即 AB=x|x A,或 x B 3、交集与并集的性质： A A = A, A = , A B = BA,AA = A, A = A , A B = B A.4、全集与补集（1）全集：假如集合 S 含有我们所要争论的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用 U来表示.（2）补集：设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集（即AS）,由 SS 中全部不属于 A的元素组成的集合,叫做S 中子集 A 的补集（或余集

7、）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记作： CSA ,即 CSA =x | xS 且 xA（3）性质： CUCUA=A CUA A=CUA A=UACsA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4CUA CUB=C UA B5CUACUB=C UA B二、函数的有关概念1函数的概念： 设 A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应,那么就称 f ：AB 为从集合A 到集合 B 的一个函数记作： y=fx , x A其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域

8、.与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 fx| xA 叫做函数的值域留意： 1、假如只给出解析式 y=fx ,而没有指明它的定义域,就函数的定义域即是指能使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -这个式子有意义的实数的集合.2、函数的定义域、值域要写成集合或区间 的形式定义域补充：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域,

9、求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1 分式的分母不等于零.2偶次方根的被开方数不小于零.3对数式的真数必须大于零. 4 指数、对数式的底必需大于零且不等于1. 5假如函数是由一些基本函数通 过四就运算结合而成的 . 那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合 . （6）指数为零底不行以等于零7实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义. 留意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域留意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系打算的,所以,假如两个函数的定义域和对应关系完全一样,即称这两个函数相等

10、（或为同一函数）.（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样,而与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判定方法：定义域一样.表达式相同 两点必需同时具备 值域补充(1) 、函数的值域取决于定义域和对应法就,不论实行什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2) 、应熟识把握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础.3.函数图象学问归纳(1) 定义： 在平面直角坐标系中,以函数y=fx, x A 中的 x 为横坐标,函数值y 为纵坐标的点 Px ,y 的集合 C,叫做函数 y=fx,x A的图象C 上每一点的坐标 x ,y 均满意函数关系

11、y=fx,反过来,以满意 y=fx的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x ,y ,均在 C 上 .即记为 C= Px,y | y= fx , xA 图象 C一般的是一条光滑的连续曲线 或直线 , 也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的如干条曲线或离散点组成.(2) 画法：A、描点法： 依据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以x,y为坐标在坐标系内描出相应的点Px, y,最终用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法：常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换 、对称变换 :（1）将 y= fx在 x 轴下方的图象向上翻得到y=fx的图象如：书上P21

12、例 5x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） y= fx和 y= f-x的图象关于 y 轴对称.如ya x与ya x1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） y= fx和 y= -fx的图象关于 x 轴对称.如 ylog ax与ylog a xlog 1 xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、平移变换 :由 fx得到 fxa左加右减.由 fx得到 fxa上加下减(3) 作用： A、直观的看出函数的性质.B、利用数形结合的方法分析解题的思路.C、提高解题的速度.发觉解题中的错误.4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间.（ 2

13、）无穷区间.（3）区间的数轴表示 5映射定义：一般的,设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就f ,使对于集合 A中的任意一个元素x,在集合 B 中都有唯独确定的元素y 与之对应,那么就称对应f ：AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为从集合 A 到集合 B 的一个映射.记作

14、“ f ：AB”给定一个集合 A 到 B 的映射,假如 a A,b B. 且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象u=gxy=fuy=fgx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明: 函数是一种特殊的映射, 映射是一种特殊的对应,集合A、B 及对应法就 f 是确定的.对应法就有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的.对于映射 f ：AB 来说,就应满意：（）集合 A 中的每一个元素,在集合 B中都有象,并且象是唯独的.（）集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的

15、象可以是同一个. （）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象.6、函数的表示法：常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,留意判定一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点.2 解析法：必需注明函数的定义域.3 图象法：描点法作图要留意：确定函数的定义域.化简函数的解析式.观看函数的特点.4 列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特点留意：解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值补充一：分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.在不同的范畴里求函数

16、值时必需把自变量代入相应的表达式.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情形留意：（1）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数.（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集补充二：复合函数假如 y=fu,uM,u=gx,x A, 就 y=fgx=Fx,x A称为 f 是 g 的复合函数.7函数单调性（ 1）增函数设函数 y=fx的定义域为 I ,假如对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1,x2 ,当 x1x2 时,都有 fx 1fx2 ,那么就说 fx在区间 D上是增函

17、数 .区间 D 称为 y=fx的单调增区间.假如对于区间 D上的任意两个自变量的值x1 ,x2 ,当 x1x2 时,都有 fx 1 fx 2 ,那么就说fx在这个区间上是 减函数 . 区间 D 称为 y=fx的单调减区间 .留意： 1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质. 2、必需是对于区间D内的 任意两个自变量 x1, x2.当 x1x2 时,总有 fx 1fx2 （或 fx 1fx 2 ） .（ 2） 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的, 减函数

18、的图象从左到右是下降的 . 3. 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定 义 法 ： 1 任取 x1,x2D,且 x1 0 （C为常数）时,yf x 与yC gf x 的单调性相同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 C 0 且 a12、指数函数的图象和性质0a1图像定义域 R ,值域（ 0,+）（1）过定点（ 0,1）, 即 x=0 时, y=12 在 R上是减函数2 在 R 上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质（3）当 x0 时,0y1;当 x1（ 3）当 x0 时,y1; 当 x0 时,0y0 时,0y1;在其次象限内的图象纵坐标都大于1当 x

19、1图象上升趋势是越来越缓函数值开头减小极快,到了某一值后减小速度较慢.自左向右看,图象逐步上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1当 x0 时,y1;在其次象限内的图象纵坐标都小于图象上升趋势是越来越陡1当 x0 时,0y1函数值开头增长较慢,到了某一值后增长速度极快.0a1留意： 指数增长模型： y=N1+p x指数型函数： y=ka x3 考点：（ 1）ab=N,当 b0 时, a,N 在 1 的同侧.当 b0 且 a1.2.真数 N0 3.留意对数的书写格式2、两个重要对数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）常用对数：以10 为底的对数 ,log 10 N 记为lg

20、 N.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数,log e N 记为3、对数式与指数式的互化ln N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xlog aNa xN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对数式指数式 对数底数 a 幂底数对数 x 指数真数 N 幂结论：（1）负数和零没有对数（2）log aa=1,loga1=0特殊的, lg10=1, lg1=0 ,lne=1, ln1=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3对数恒等式：a loga NN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）对数

21、的运算性质假如 a 0,a1 , M 0 , N 0有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、log （a2 、 log aM . N ）Mlog aNlog aMMlog alog a N N两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n3 、 log a Mn log a M（ nR）一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8

22、页,共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -说明:1) 简易语言表达 : ”积的对数 =对数的和”2) 有时可逆向运用公式3) 真数的取值必需是 0, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4) 特殊留意：log a MN log a Mlog aNMlog alog aMNlog a N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：换底公式log a blog c b log c alg ba lg a0, a1,c0, c1,b0可编辑资料

23、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用换底公式推导下面的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_logb1 logb . logc. logdlogd logb nmnlogb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_alog b aabcaama可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）对数函数 1、对数函数的概念：函数y 的定义域是（ 0,+）log ax a0 ,且 a1叫