二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)(共8页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业二次函数的存在性问题（相似三角形）1、已知抛物线的顶点为 A(2，1)，且经过原点 O，与 x 轴的另一交点为 B。(1)求抛物线的解析式；(2)若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；(3)连接 OA、AB，如图，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得OBP 与OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。2、设抛物线与 x 轴交于两个不同的点 A(一 1，0)、B(m，0)，与 y 轴交于点 C.且22yaxbxAABBOOxxyy图图精选优质文

2、档-倾情为你奉上专心-专注-专业xyF-2-4-6ACEPDB521246GACB=90 (1)求 m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点 D(1，n )在抛物线上，过点 A 的直线交抛物线于另1yx一点 E若点 P 在 x 轴上，以点 P、B、D 为顶点的三角形与AEB 相似，求点 P 的坐标(3)在(2)的条件下，BDP 的外接圆半径等于_解：(1)令 x=0，得 y=2 C(0，一 2)ACB=90，COAB, AOC COB,OAOB=OC2；OB= m=422241OCOA3、已知抛物线经过点 A（5，0） 、B（6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式；2yaxbxc（2）若过

3、点B 的直线与抛物线相交于点C（2，m） ，请求出OBC 的面积S 的值.ykxb（3）过点 C 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 D，在抛物线对称轴右侧位于直线 DC 下方的抛物线上，任取一点 P，过点 P 作直线 PF 平行于 y 轴交 x 轴于点 F，交直线 DC 于点 E. 直线 PF 与直线 DC 及两坐标轴围成矩形 OFED（如图） ，是否存在点 P，使得OCD 与CPE 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业DxyNOMPACB2H解：（1）由题意得： 解得故抛物线的函数关系式为255036600abcabcc15

4、0abc 25yxx （2）在抛物线上， 点坐标为（2，6） ，、C 在直线C225 2,6mm CB上ykxb 解得直线 BC 的解析式为6266kbkb 3,12kb 312yx 设 BC 与 x 轴交于点 G，则 G 的坐标为（4，0）114 6462422OBCS （3）存在 P，使得 设 P， 故OCDCPE( , )m n90ODCE 2,6CEmEPn若要，则要或 即或OCDCPEODDCCEEPODDCEPCE6226mn6262nm解得或203mn123nm又在抛物线上，或( , )m n22035mnnmm 21235nmnmm 解得或 故 P 点坐标为和12211023,

5、6509mmnn121226,66mmnn 10 50()39，(6, 6)4、如图，抛物线与轴的交点为直线与轴交于，与(1)(5)ya xxxMN，ykxbx( 2 0)P ，轴交于若两点在直线上，且，为线段的中yCAB，ykxb2AOBOAOBODMN点，为斜边上的高OHRtOPC（1）的长度等于 ； ， OHk b （2）是否存在实数，使得抛物线上有一点，满足a(1)(5)ya xxE以为顶点的三角形与相似？若不存在，说明理由；DNE，AOB若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的点（简要说明理由） ；并进一步探索对符合条件的E每一个点，直线与直

6、线的交点是否总满足ENEABG，写出探索过程10 2PB PG 解：（1）；， （2）设存在实数，使抛物线上有一点，1OH 33k 2 33b a(1)(5)ya xxE精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业yxOAB满足以为顶点的三角形与等腰直角相似以为顶点的三角形为等腰直角DNE，AOBDNE，三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以为直角边的等腰直角三角形，另一类是以为斜边的等腰直角三角形DNDN若为等腰直角三角形的直角边，则由抛物线得：，DNEDDN(1)(5)ya xx( 10)M ，的坐标为把代入抛物线解析式，(5 0)N，(2 0)D，3EDDNE(2 3)，(2 3)E

7、，得13a 抛物线解析式为即1(1)(5)3yxx 2145333yxx 若为等腰直角三角形的斜边，则，DNDEENDEEN的坐标为把代入抛物线解析式，得E(3.51.5)，(3.51.5)E，29a 抛物线解析式为，即2(1)(5)9yxx 22810999yxx 当时，在抛物线上存在一点满足条件，如果此抛物线上还有满足条件13a 2145333yxx (2 3)E，的点，不妨设为点，那么只有可能是以为斜边的等腰直角三角形，由此得，EEDE NDN(3.51.5)E，显然不在抛物线上，故抛物线上没有符合条件的其他的E2145333yxx 2145333yxx 点E当时，同理可得抛物线上没有符

8、合条件的其他的点29a 22810999yxx E当的坐标为，对应的抛物线解析式为时，和都是等腰直E(2 3)，2145333yxx EDNABO角三角形，又，45GNPPBO NPGBPO NPGBPOPGPNPOPB，总满足当的坐标为，对应的抛物线2 714PB PGPO PN10 2PB PG E(3.51.5)，解析式为时，同理可证得：，总满足22810999yxx 2 714PB PGPO PN10 2PB PG 5、如图，抛物线的顶点为 A（2，1） ，且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B （1）求抛物线的解析式；精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（2）在抛物线上求

9、点 M，使MOB 的面积是AOB 面积的 3 倍；（3）连结 OA，AB，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 N，使OBN 与OAB 相似？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，说明理由解：（1）由题意可设抛物线的解析式为1)2(2xay 抛物线过原点 01)20(2a41a 抛物线的解析式为 即. 1)2(412xyxxy241（2）AOB 与MOB 同底不等高 又SMOB=3 SAOB MOB 的高是AOB 高的 3 倍 即点 M 的纵坐标是3 解得 ，xx241301242 xx61x22x)36(1，M)32(2 ，M（3）由抛物线的对称性可知：AO=ABABOAOB若OBN 与OAB

10、 相似， 必须有， 显然 BNOBOABON) 12( ，A 直线 ON 的解析式为， 由，得， xy21xxx2412101x62x)36(，N过 N 作 NEx 轴，垂足为 E. 在 RtBEN 中，BE=2，NE=3， 又 OB=4 133222NBNBOBBONBNO OBN 与OAB 不相似，同理说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 N 点.故在抛物线上不存在 N 点，使得OBN 与OAB 相似6、如图所示，将矩形 OABC 沿 AE 折叠，使点 O 恰好落在 BC 上 F 处，以 CF 为边作正方形 CFGH，延长 BC 至 M，使 CMCEEO，再以 CM、CO 为边作矩

11、形 CMNO.(1)试比较 EO、EC 的大小，并说明理由；(2)令，请问 m 是否为定值？CMNOCFGHSSm四边形四边形若是，请求出 m 的值；若不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若 CO1，CE，31Q 为 AE 上一点且 QF，抛物线 ymx2+bx+c 经过 C、Q 两点，请求出此抛物线的解析式.32(4)在(3)的条件下，若抛物线 ymx2+bx+c 与线段 AB 交于点 P，试问在直线 BC 上是否存在点 K，使得以 P、B、K 为顶点的三角形与AEF 相似?若存在，请求直线 KP 与 y 轴的交点 T 的坐标?若不存在，请说明理由。解（1）EOEC，理由如下：由折叠知

12、，EO=EF，在 RtEFC 中，EF 为斜边，EFEC， 故 EOEC （2）m 为定值。S四边形 CFGH=CF2=EF2EC2=EO2EC2=(EO+EC)(EOEC)=CO(EOEC)S四边形 CMNO=CMCO=|CEEO|CO=(EOEC) CO 1CMNOCFGHSSm四边形四边形（3）CO=1， EF=EO= cosFEC= FEC=60，3231QFCE，QF3231121yxOABENAA精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业yOxCNBPMA EFQ 为等边三角形， 3060260180EAOOEAFEA，32EQ作 QIEO 于 I，EI=，IQ= IO= Q 点坐

13、标为 3121EQ3323EQ313132)31,33(抛物线 y=mx2+bx+c 过点 C(0，1)， Q ，m=1，可求得，c=1 )31,33(3b抛物线解析式为 132xxy（4）由（3） ， 当时，AB 3323EOAO332x3113323)332(2yP 点坐标为 BP=AO )31,332(32311方法 1：若PBK 与AEF 相似，而AEFAEO，则分情况如下：时， K 点坐标为或；3323232BK932BK) 1 ,934() 1 ,938(时，K 点坐标为或 3232332BK332BK) 1 ,334() 1 , 0(故直线 KP 与 y 轴交点 T 的坐标为 )

14、 1 , 0()31, 0()37, 0()35, 0(或或或 方法 2：若BPK 与AEF 相似，由（3）得：BPK=30或 60，过 P 作 PRy 轴于 R，则RTP=60或 30当RTP=30时， 23332RT 当RTP=60时，323332RT ) 1 , 0()31, 0()35, 0()37, 0(4321TTTT，7、如图，二次函数2yaxbxc（0a ）的图象与x轴交于AB、两点，与y轴相交于点C连结ACBCAC、，、两点的坐标分别为( 3 0)A ，、(03)C，且当4x 和2x 时二次函数的函数值y相等 （1）求实数abc，的值；（2）若点MN、同时从B点出发，均以每秒

15、 1 个单位长度的速度分别沿BABC、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连结MN，将BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以BNQ，为项点的三角形与ABC相似？精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业yxOCBAD图 2yxOCBADyxOCBADMP1EP2如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由8、已知：在平面直角坐标系中，抛物线32xaxy（0a）交x轴于 A、B 两点，交y轴于点C，且对称轴为直线2x （1）求该抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；

16、（2）若点 P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图 1，设PAD 的面积为 S，令 WtS，当 0t4 时，W 是否有最大值？如果有，求出 W的最大值和此时 t 的值；如果没有，说明理由；探究二：如图 2，是否存在以 P、A、D 为顶点的三角形与 RtAOC 相似？如果存在，求点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）抛物线23yaxx（0a ）的对称轴为直线2x 122a ，14a ，2134yxx ( 2 4)D ，（2）探究一：当04t 时，W有最大值抛物线2134yxx 交x轴于AB、两点，交y轴于点C，( 6 0)A ，(2 0)B ，(0 3)C，63O

17、AOC，当04t 时，作DMy轴于M，则24DMOM，(0)Pt，4OPtMPOMOPt，PADAOPDMPOADMSSSS梯形 111()222DMOA OMOA OPDM MP 111(26) 462 (4)222tt 122t2(122 )2(3)18Wttt 当3t 时，W有最大值，18W最大值探究二：存在分三种情况：当190PDA时，作DEx轴于E，则2490OEDEDEA，624AEOAOEDE45DAEADE ，24 2ADDE，11904545PDEPDAADE DMy轴，OAy轴，图 1yxOCBADMP精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业yO3CDB6Ax34yx D

18、MOA，90MDEDEA ，11904545MDPMDEPDE 12PMDM，122 2PDDM此时13 24OCOAPDAD，又因为190AOCPDA ， 1RtRtADPAOC，11422OPOMPM，1(0 2)P，当190PDA时，存在点1P，使1RtRtADPAOC，此时1P点的坐标为（0，2） 当290P AD时，则245P AO，26 2cos45OAP A ，26 226P AOA4 23ADOC，2P AADOCOA2P AD与AOC不相似，此时点2P不存在当390APD时，以AD为直径作1O，则1O的半径2 22ADr ，圆心1O到y轴的距离4d dr，1O与y轴相离不存在

19、点3P，使390APD综上所述，只存在一点(0 2)P ，使RtADP与RtAOC相似9、矩形在平面直角坐标系中位置如图 13 所示，两点的坐标分别为，OABCAC、(6 0)A ，(03)C，直线与边相交于点34yx BCD（1）求点的坐标；D（2）若抛物线经过点，试确定此抛物线的表达式；294yaxxA（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线交于点，点为对称轴上一动点，ODMP以为顶点的三角形与相似，求符合条件的点的坐标POM、OCDP解：（1）点的坐标为D(43)，（2）抛物线的表达式为23984yxx（3）抛物线的对称轴与轴的交点符合条件x1P， ，OACB1POMCDO 190OPMDCO 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业yO3CDB6Ax34yx AMP1P2抛物线的对称轴，点的坐标为1RtRtPOMCDO3x 1P1(3 0)P，过点作的垂线交抛物线的对称轴于点对称轴平行于轴，OOD2Py2PMODOC ，290POMDCO 21RtRtPM ODOC点也符合条件，2P2OPMODC 121390POCOP PODCO ，点在第一象限，点的坐标为，21RtRtP PODCO124PPCD2P2P2P (3 4)，符合条件的点有两个，分别是，P1(3 0)P，2P (3 4)，