2022年高中数学向量总结归纳.docx

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1、精品_精品资料_平面对量的数量积及平面对量的应用1. 定义及运算律 .两个向量的内积 即数量积 ,其结果是一个实数,而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功” .设 a 及 b 是具有共同始点的两个非零向量 ,其夹角 满意:0 180,我们把|a| |b|cos叫做 a 与 b 的数量积,记作 ab 如 a=x1,y1,b=x2,y2,就 ab= x1 x 2y1 y 2 .其运算满意“交换律”“结合律” 以及“安排律” ,即:ab=ba,ab= ab, a bc=a cbc.2. 平面对量数量积的重要性质 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ |a|= 取等号.a a =|

2、a | a | cos| a |2;cos =a| a |b| b |;|ab|a| |b|,当且仅当 a,b 共线时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 设 a=x1,y1,b=x2,y2, 就 :|a|=x 2y 2;cos = x1 x2y1 y 2 ;|x1x2+y1y2| 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxy1122221122xyxy222211223. 两向量垂直的充要条件如 a,b 均为非零向量 ,就:abab=0.如 a=x1,y1 ,b=x2,y2,就 abx1x2+y1y2=0.4. 向量的模及三角不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

3、_精品资料_|a|2=aa 或|a|=a a ;|ab|a|b|;|a|2-|b|2=a+ba-b;|ab|=a 2b 22 | a | b|cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 a,b 夹角;|a|-|b| |ab| |a|+|b|.5. 三角不等式的推广形式|a1+a2+an |a1|+|a2|+|an |.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小练习一【例 1】运算以下各题 :(1) 已知等边三角形 ABC 边长为 1,且 BC =a, CA =b, AB =c,求 a b+bc+c a;(2) 已知 a、b、c 是空间中两两垂直的向量,且|a|=1,|b|

4、=2,|c|=3,求 r=a+b+c 的长度以及它和 a,b,c 的夹角 ;(3) 已知 a+3b与7a-5b垂直 ,且a-4b与 7a-2b垂直 ,求 a、b 的夹角 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 已知 |a|=2,|b|=5,a,b 的夹角是2 ,p=3a-b,q= a+17 b,问系数 取向值时, p q. 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解前点津】1 利用 x2=x x,通过对 a+b+c2 的运算得出结论 ;2 运用公式及运算律;3 利用两向量垂直的充要条件;4 利用两向量垂直的充要条件,运算律以及内积定义 .构造关于 的方程, 解之即得

5、.【规范解答】1 a+b+c2=a2+b2+c2-2 ab+b c+ca=3-2 a b+b c+ca=0a b+bc+c a= 3 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2cosr ,a=r| r |a| a |, |r|=r且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r2= a+b+c 2=a2+b2+c2-2a b+b c+c a=14-2 a b+b c+c a=14. |r|=14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ abcosr,a=c a| a |214;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14 | a |14 | a |14可编辑资

6、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosr,b= abc b2| b |14;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14 | b |14 | b |7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosr,c=ab 14c c|c | c | 1423.| c |14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 由条件 :a+3b 7a-5b=7|a|2-15|b|2 +16a b=0, a-4b 7a-2b=7|a|2+8|b|2-30 a b=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|a|2=|b|2=2a b|a| |b|2=4 ab 2a| a |b

7、1 .| b |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 cosa,b=1 得:a,b=;23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 cosa,b=-1 得:a,b= 2.23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 令 p q=0 得:3 a-b a+17b=03 |a |2-17|b|2+51- a b=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将|a|=2,|b|=5,a b=|a| |b| cos2代入得 3 4-17 25+51- -5=0 解之 : =40.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解后归纳】综合利用内积的定义及运

8、算律,内积运算形式与实数运算形式的相互转化,是运算的一项基本功 .【例 2】 在 ABC 中, AB =2,3, AC =1, k,且 ABC 的一个内角为直角,求k 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解前点津】因谁是直角,尚未确定,故必需分类争论.【规范解答】当 A=90时 ,由于 AB AC =0, 2 1+3 k=0, k=- 2 .3当 B=90时 , BC = AC - AB =1-2, k-3=-1, k-3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AB BC =0, 2 -1+3 k-3=0k=11 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

9、料_当 C=90时 , AC BC =0, -1+ k k-3=0, k2-3k-1=0k= 33 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ k 的取值为 :-2 , 11 或 33 .332可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4】 已知平行四边形以a=2,1, b=1,-3 为两邻边 .(1) 求它的边长和内角 ;(2) 求它的两对角线的长和夹角.【解前点津】利用内积的有关运算性质.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【规范解答】1|a|=22125 ,|b|=12 3 210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a b 21132可编辑资

10、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos=| a | b |51010,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ = -arccos2 .10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2|a+b|=ab 2a 2b 22ab5102 113 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|a-b|=a 2b 22ab5102 117 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos =1 a2b1 ab2a2b 25105221 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 ab21 ab213171317221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

11、资料_【解后归纳】此题综合运用了向量的有关运算性质,也可利用余弦定理求解.小练习二一、基础夯实1. 已知 |a|=1,|b|=2 ,且a-b与 a 垂直 ,就 a 与 b 的夹角是 A.60 B.30C.135 D.45 2. 已知 |a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为,就向量 m=a-4b 的模为3A.2B.23C.6D.12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. a,b 是两个非零向量 ,a+b2=a2+b2 是 a b 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件4.如 a=-4,3, b=5,6, 就3|a|2-4a b 等

12、于A.23B.57C.63D.835. 已知 a= ,2,b=-3,5 且 a 与 b 的夹角为钝角,就 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 10B. 310C. 310D. 1033可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知 a=4,3, 向量 b 是垂直 a 的单位向量,就 b 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.3 , 4或554 , 355B 4 , 3或553 ,455可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 3 ,4或4 , 3D 3 ,4或3 , 4可编辑资

13、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_555555557.已知 a=2,3, b=-4,7, 就 a 在 b 方向上的投影为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.5B.55C.565D.13513可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8.已知 A3,2,B-1,-1, 如点 P x,-1 在线段 AB 中垂线上 ,就 x 为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.-7 B.47C.2D.-24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

14、- 欢迎下载精品_精品资料_9.已知 a=3,0, b=k,5, 且 a 与 b 的夹角为3,就 k 的值为 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.-4B.4C.5D.-510.已知 a=3,-1, b=1,2, 求满意条件 :x a=9 与 x b=-4 的向量 x 为 A.2,3B.2,-3C.-2,3D.-2,-3二、思维激活11.已知向量 a、b 的夹角为,|a|=2,|b|=1,就|a+b| |a-b|=.312.已知 a b、c 与 a,b 的夹角均为 60 ,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,就a+2 b-c2 =. 13.已知 a=1,2, b=1,1, c

15、=b-ka,如 c a,就 c=.14.已知点 A1,0, B3,1, C2,0,且 a= BC ,b= CA ,就 a 与 b 的夹角为.三、才能提高15. 设 A、B、C、 D 是平面内任意四点,求 AB CD + BC AD + CA BD 值.16. 设 OA =3,1, OB =-1,2, OC OB , BC OA ,O 是原点,求满意 OD + OA = OC 时的 OD 坐标 .17. 已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120,如 c=2a-b,d=3b-a,试求 :c 与 d 的夹角 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_18.已知 a=3 ,-1, b=1

16、,322,且存在实数 k 和 t,使得 x=a+ t2-3 b, y=-ka+tb,且 xy,试求kt 2t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的最小值 .平面对量的数量积及平面对量的应用解答可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.Da a-b=a2-a b=0, a b=1=1 2 cos , cos =1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.B|m|=m 2 =a 216b28a b2 2168 21cos2016 cos323 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.C绽开得 :a2+

17、b2+2a b=a2+b2a b=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4.D原式=3422+3 -4 -20+18=83.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5.Aa b=10-3 ,|a|=42 ,|b|=34 ,由 cos =103344x3x2310 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.D设 b=x,y,就 x2+y2=1 且 4x+3y=0 解方程组得5或5 .y4y455可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7.Ca b=2 -4+3 7=13,|a|=13 ,|b|=65 ,

18、13=1365cos , |a| cos=136565.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8.C由条件知 AB 中点为 M1, 12,令 MP AB =0 得:x-1,-1 -4,-3=-4 x-1+-1 -3=0, x=2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9.D作内积 :a b=3k=3 k 225 cos3k0 且 k 2425 =-2 kk=-5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10.B设 x=m,n,就由条件得3mn9m2n4m2n3 ,故 x

19、=2,-3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11.由已知条件得 : a b=1, 故原式 =ab 2ab 2 412 41221 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12.由条件得 : ca=3 1 cos60 =3 ,c b=3 2 cos60 =3.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222原式 =a +4b +c +2 ac+4a b-4bc=1+16+9+3-12=17.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. c=1- k,1-2k

20、,由 c a=0 得 1 1- k+21-2 k=0 得 k=3c=2 ,1.555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14.由条件 a=-1,-1, b=-1,0|a|=2 ,|b|=1,由 a b=2 cos 得:-1 -1+-1 0=2 cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos =2 =45 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15. AB = AD - BD , BC = BD - CD , CA = CD - AD ,原式 = AD - BD CD + BD - CD AD + CD - AD BD= AD CD - BD CD + A

21、D BD - AD CD + BD CD - AD BD =0.16.设 OC =x,y,由 OC OB 得:-x+2y=0,又 BC = OC - OB =x+1,y-2, 而 BC OA3y-2- x+1=0 解关于 x,y 的方程组得 x=14,y=7. OC =14,7OD = OC - OA =11,6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17. a、 b 是两单位向量 , |a|=|b|=1,且 a,b 夹角为 120 . a b=|a| |b| cos120 =- 1 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ |c|2 =c c=2 a-b2 a-b=4

22、a a-4a b+b2b=4|a| -4a2b+|b|=7,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ |c|=7 . |d|2=d d=3b-a 3b-a=9b b-6a b+a a=13,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ |d|=13 . c d=2a-b 3b-a=6a b-3bb-2a a+ab=-17 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cos =-171791 为 c、d 夹角 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2713182可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ =

23、-arccos 1791 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_18218. |a|=3 1 2212 ,|b|=2231,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a b=3113220 ,故 a b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x y=0, a+t2-3 b -ka+tb =0 化简得 :k=t 33t.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kt 241 t 244t3kt 21 t42 277 - 7 .44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 t=-2 时,t有最

24、小值 -.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小练习三一挑选题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1已知 A 、B、C 为三个不共线的点,P 为 ABC 所在平面内一点,如 PAPBPCAB ,就点 P 与 ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的位置关系是（）A、点 P 在 ABC 内部B、点 P 在 ABC 外部C、点 P 在直线 AB 上D、点 P 在 AC 边上2已知三点 A （1, 2）, B（4,1）,C（ 0,-1 ）就 ABC 的外形为（）A、正三角形B、钝角三角形C、等腰直角三角形D、等腰锐角三角形 3当两人提起重量为 |G|的旅行包

25、时,夹角为,两人用力都为 |F|,如 |F|=|G|,就的值为（）0000A、30B、60C、90D、12030二、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶,船的实际航行方向与水流方向成km/h .0 角,就水流速度为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 两个粒子 a,b 从同一粒子源发射出来,在某一时刻,以粒子源为原点,它们的位移分别为Sa=（3,-4）,Sb=（ 4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3）,（1）此时粒子 b 相对于粒子 a 的位移.（ 2）求 S 在 Sa 方向上的投影.三、解答

26、题7. 如图,点 P 是线段 AB 上的一点,且APPB=m n ,点 O 是直线 AB 外一点,设 OAa , OBb ,试用m, n, a,b的运算式表示向量 OP AaPObB高三数学平面对量综合练习题一、挑选题1、设平面对量 a =2,1, b =,1,如 a 与b 的夹角为钝角,就的取值范畴是1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、 ,221 2,B、2, + 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C、, + D、,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、设 a =x 1, y1 , b =x2 , y2 ,就以下为 a 与b 共线的充要条件

27、的有存在一个实数 ,使 a = b 或 b = a . | a b |=| a | | b |.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1 x2y1 . a + b / a b y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个3、如函数 y=2sinx+ 的图象按向量 ,2 平移后,它的一条对称轴是x=,就 的一个可能的值是645可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、B、123C、D、612可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、ABC 中,如 ABACBA BC ,就ABC 必约可编辑资料 - - - 欢迎下载

28、精品_精品资料_A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、等腰三角形5、已知 ABC 的三个顶点 A 、B、C 及所在平面内一点 P 满意 PAPBPC系是A、P 在ABC 内部B、P 在ABC 外部AB ,就点 P 与ABC 的关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C、P 在直线 AB 上D、P 在ABC 的 AC 边的一个三等分点上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、在边长为 1 的正三角形 ABC 中, BCa , ABc, CAb,就 a bb cc a =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、1.5B 、 1.5C、0.5D、 0.5二、

29、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、已知 a =cos, sin , b =3 , 1,就 |2 a b |的最大值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 22、已知 Px, y 是椭圆4y 21上一点, F1、F2 是椭圆的两焦点,如 F1PF2 为钝角,就 x 的取值范畴为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、设 m =a,b , n=c,d ,规定两向量 m, n 之间的一个运算 “ ”为 m n =acbd,ad+bc,如已知 p =1,2 , p q =4, 3,就 q = 4、将圆 x2+y2=2 按 a =2,1 平移后,与直线

30、x+y+ =0 相切,就实数 的值为 三、解答题1、已知平面内三向量 a 、 b 、 c 的模为 1,它们相互之间的夹角为1200.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求证： abc .（2） |k abc |1 ,求 k 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、设两个向量e 、 e满意 | e |=2, | e|=1, e 与 e的夹角为600,如向量m2 e7e与向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12121212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ne1e2的夹角为钝角

31、,求实数的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、ABC 内接于以 o 为圆心,l 为半径的圆,且 3OAx 24OB5OCo ,求：OAOB ,OBOC ,OCOA .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、抛物线方程.y与过点 M1 , 0的直线 l 相交于 A 、B 两点, O 为坐标原点,如2OA OB =0 ,求直线 l 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、设 a =m, n, b =p , q,定义向量间运算“ *”为： a * b =mp nq, mq+np .（ 1）运算 | a

32、 |、| b | 及 | a * b |.（ 2）设 c =1,0 ,运算 cos及 cos.（ 3）依据（ 1）、（2）的结果,你能得到什么结论？6、已知 a =cos, sin , b =cos, sin , 0 .（ 1）求证： a + b 与 a b 垂直.（ 2）如 k a + b 与 a k b 的长度相等,求 的值（ k 为非零的常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、已知 A3 ,0,B0,3,Ccos ,sin.（1）如 ACBC且 0, ,求 OB 与 OC 的夹角.1,求 sin2的值.（2）如 |OAOC |13 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

33、_精品资料_8、已知 a =2, 2, b 与 a 的夹角为3,且 a b =2.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求向量 b .（2）如 t =1, 0,且 b t , c =cosA , 2cos2 C ,其中 A、C 是 ABC 的内角,如 A、B、2C 依次成等差数列,求 |b + c |的取值范畴.9、已知向量 a 、 b 、 c 、 d 及实数 x、y,且| a |=| b |=1, c = a +x 2 3 b , d = y a +x b , a b ,如 c d ,且| c | 10 .（ 1）求 y 关于 x 的函数关系 y=fx 及定义域.（ 2）

34、求函数 fx 的单调区间.10、平面对量 OA =1, 7, OB =5, 1, OP =2 ,1 ,点 M 为直线 OP 上一动点.（ 1）当 MA MB 取最小值时,求OM 的坐标.（ 2）当点 M 满意（ 1）中的条件和结论时,求AMB 的余弦.11、已知 Px, y, A 1,0,向量 PA 与 m =1 ,1共线.（ 1）求 y 是 x 的函数.（ 2）是否在直线 y=2x 和直线 y=3x 上分别存在一点 B、C,使得满意 BPC 为锐角时 x取值集合为 x| x7 ？如存在,求出这样的B、C 的坐标.如不存在,说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12、已知 ae1e2 , b4e13e2,其中e1 =1,0 , e2=0,1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）运算 a b , | a + b |的值.（ 2）假如存在 n 个不全为零的实数 k1 ,k2,kn,使 k1 a1k2 a2kn ano 成立,就称 n 个向量a1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2 ,an “线性相关” ,否就为“不线性相关” ,依此定义,三个向量a1 = 1,1 , a2=2, 1, a3=3, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是否为“线性相关”的,请说明你