2022年高等数学第章微分中值定理与导数的应用.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_章节第三章微分中值定理与导数的应用 1微分中值定理课时2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学把握三个中值定理的内容目的教学重点及中值定理的证明突出方法教学难点及利用中值定理证明的技巧.突破方法高等数学（第一册） （物理类）,文丽,吴良大编,北京高校相关出版社参考高校数学概念、方法与技巧（微积分部分）,刘坤林,谭泽资料光编, 清华高校出版社可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -

2、第 1 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -教学思路、主要环节、主要内容在给出微分学中值定理的数学定义之前,我们先从几何的角度看一个问题,如下： 设有连续函数,a 与 b 是它定义区间内的两点 a b,假定此函数在 a,b到处可导,也就是在 a,b内的函数图形上到处都由切线,那末我们从图形上简单看到,差商就是割线 AB的斜率,如我们把割线 AB作平行于自身的移动,那么至少有一次机会达到离割线最远的一点 Px=c 处成为曲线的切线,而曲线的斜率为,由于切线

3、与割线是平行的,教因此成立.注： 这个结果就称为微分学中值定理,也称为拉格朗日中值定理罗尔定理假如函数 fx在闭区间 a , b上连续,在开区间a,b内可导,且在区间端点的学函数值相等,即fa = fb,那么在 a,b内至少有一点,使得函数fx在该点的导数等于零：.过拉格朗日中值定理假如函数fx在区间 a,b上连续, 在开区间 a,b内可导, 那么 a,b内至少有一点,使等式1成立.柯西中值定理假如函数fx及 Fx 在闭区间 a,b上连续,在开区间a,b内可导,且程Fx 在 a,b内的每一点处均不为零,那么在a,b内至少有一点,使等式2成立.例题： 证明方程在 0 与 1 之间至少有一个实根证

4、明： 不难发觉方程左端是函数的导数：函数在0 , 1 上连续,在 0,1内可导,且,由罗尔定理可知,在 0 与 1 之间至少有一点c,使,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有一个实根也就是：方程在 0 与 1 之间至少可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢

5、迎下载精品_精品资料_章节第三章微分中值定理与导数的应用 2洛必达法就课时2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学把握利用洛必达法就法就求极限的方法目的教学重点及利用洛必达法就法就求极限突出方法教学难点及利用洛必达法就法就求极限突破方法相关高等数学（第一册） （物理类）,文丽,吴良大编,北京高校出版社参考高校数学概念、方法与技巧（微积分部分）,刘坤林,谭泽资料光编 , 清华高校出版社,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎

6、下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -教教学思路、主要环节、主要内容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -对于函数fx,gx来说,当xa 或 x 时,函数fx,gx都趋于零或无穷大,就学极限可能存在, 也可能不存在, 我们就把式子称为 未定式 .分别记为型.我们简单知道, 对于未定式的极限

7、求法,是不能应用 商的极限等于极限的商 这个法就来求解的,那么我们该如何求这类问题的极限了？下面的 洛必达 LHospital法就 ,它就是这过个问题的答案注： 它是依据柯西中值定理推出来的.洛必达 LHospital法就：当 xa 或 x 时,函数,都趋于零或无穷大,程在点 a 的某个去心邻域内 或当 x N时,与都存在,0,且存在就：=证明思路 :补充定义x=a 处 fx=gx=0就a,a+上=即 x时,x, 于是=这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法,就是所谓的 洛必达 LHospital法就注： 它是以前求极限的法就的补充,以前利用法就不好求的极限,可利用此法就求解.注：

8、罗彼塔法就只是说明：对未定式来说,当存在,就存在且二者的极限相同.而并不是不存在时,也不存在,此时只是说明白罗彼塔法就存在的条件马脚.定理推广 : 由证明过程明显定理条件x可推广到 x, x,x.所以对于待定型,可利用定理将分子、分母同时求导后再求极限.留意事项 :1. 对于同一算式的运算中, 定理可以重复多次使用.2. 当算式中显现Sin或 Cos形式时 , 应谨慎考虑是否符合洛必达法就条件中与的存在性.向其他待定型的推广.另外,如遇到、等型,通常是转化为型后,在利用法就求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页

9、,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第三章微分中值定理与导数的应用章节 3泰勒公式课时2教学把握泰勒公式目的教学重点及泰勒公式及函数单调性的判别法突出方法教学难点及泰勒公式的绽开突破方法高等数学（第一册） （物理类）,文丽,吴良大编,北京高校相关出版社参考高校数学概念、方法与技巧 （微积分部分）,刘坤林,谭泽资料光编, 清华高校出版社可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 1

10、5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -教学思路、主要环节、主要内容在 x=邻近关于点的泰勒公式：教学在 x=0 处的关于x 的泰勒绽开公式. 即:过（麦克劳林公式）程留意 : 虽然泰勒公式是在x= 邻近 绽开 , 但是事实上x 可以取 fx定义域内任意值, 只不过如|x-| 过大 即 x 离过远 时,相应变大 . 即使用代替 fx的误差变大 . 可是 ,无论如何泰勒公式总是成立的, 当固定后 , 不同的 x 将使发生变化 , 并使变化 , 从而影响对 fx的近似精度

11、 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_章节第三章微分中值定理与导数的应用 4 函数单调性与曲线的凸凹性课时2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学 把握函数单调性的判别法目 把握曲线的凹凸性判别法的教学重点函数的单调性的判别法及突出曲线的凹凸性判别法方法教学难点函数的单调性的判别

12、法及突破曲线的凹凸性判别法及拐点的求法方法高等数学（第一册） （物理类）,文丽,吴良大编,北京高校相关出版社参考高校数学概念、方法与技巧（微积分部分）,刘坤林,谭泽资料光编, 清华高校出版社,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -函数的单调性也就是函数的增减性,怎样才能判定函数的增减性了？我们知道如函数在某区间上单调增 或减 ,就在此区间内函数

13、图形上切线的斜率均为正 或负, 也就是函数的导数在此区间上均取正值 或负值 . 因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.判定方法：设函数在a,b上连续,在a,b内可导 .a) ：假如在 a,bb) ：假如在 a,b内内 0,那末函数 0,那末函数在a,b在a,b上单调增加.上单调削减例题： 确定函数的增减区间 .解答： 简单确定此函数的定义域为 , 其导数为：,因此可以判出：当 x 0 时, 0,故它的单调教增区间为 0, .当 x 0 时, 0,故它的单调减区间为- ,0 .注： 此判定方法如反过来讲,就是不正确的学通过前面的学习,我们知道由一阶导数的正负,可以判定出函数的单调区

14、间与极值,但是仍不能进一步争论曲线的性态,为此我们仍要明白曲线的凹性.过定义：对区间 I 的曲线 y=fx作切线,假如曲线弧在全部切线的下面,就称曲线在区间I下凹 ,假如曲线在切线的上面,称曲线在区间I 上凹 .程曲线凹向的判定定理定理一： 设函数 y=fx在区间 a,b上可导,它对应曲线是向上凹 或向下凹 的充分必要条件是：导数 f / x 在区间 a,b上是单调增 或单调减 .定理二： 设函数 y=fx在区间 a,b上可导,并且具有一阶导数和二阶导数.那末：如在/a,b内,fx 0,就 y=fx在a,b对应的曲线是下凹的. 如在 a,b内,fx 0,就 y=fx在a,b对应的曲线是上凹的.

15、拐点的定义 :连续函数上,上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.拐定的判定方法: 假如 y=fx在区间 a,b内具有二阶导数,我们可按以下步骤来判定y=fx的拐点.1 ：求. 2 ：令=0,解出此方程在区间a,b内实根.3 ：对于 2 中解出的每一个实根x0,检查在 x0 左、右两侧邻近的符号,如符号相反,就此点是拐点,如相同,就不是拐点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - -

16、- - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_章节第三章微分中值定理与导数的应用 5 函数的极值与最大值最小值课时2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学把握函数的极值及其求法,最大值最小值问题目的教学重点及函数的极值及其求法,最大值最小值问题突出方法教学难点及函数的极值及其求法突破方法高等数学（第一册） （物理类）,文丽,吴良大编,北京高校相关出版社参考高校数学概念、方法与技巧（微积分部分）,刘坤林,谭泽资料光编, 清华高校出版社,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第

17、 10 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -教学思路、主要环节、主要内容函数极值的定义：设函数 fx在区间 a,b内有定义, x 0 是a,b内一点 .如存在着x0 点的一个邻域,对于这个邻域内任何点xx 0 点除外 , fx fx 0 均成立,就说 fx 0 是函数fx的一个 极大值 .如存在着x 0 点的一个邻域, 对于这个邻域内任何点xx 0 点除外 ,fx fx 0 均成立,就说 fx 0 是函数 fx的一个 微小值 .函数的极大值与微小值统称为

18、函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.学习这个问题之前,我们再来学习一个教概念 驻点/凡是使 f x=0的 x 点,称为函数fx的驻点.判定极值点存在的方法有两种：如下/方法一：设函数 fx在 x0 点的邻域可导,且f x 0=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_情形一： 如当 x 取 x 00学左侧邻近值时,f / x 0,当 x 取 x右侧邻近值时,f / x 0,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 fx在 x0 点取 极大值 ./情形二： 如当 x 取 x 0 左侧邻近值时,f x 0,当 x 取 x0 右侧邻近值时,f x 0,就函数 fx在

19、x 0 点取 微小值 .注： 此判定方法也适用于导数在x 0 点不存在的情形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过用方法一求极值的一般步骤是：1 ：求 f / x .2 ：求 f / x/判定 f x 在驻点两侧的变化规律,即可判定出函数的极值.0 =0 的全部的解驻点.3 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_/方法二：设函数 fx在 x 0 点具有二阶导数,且f x 0=0 时 fx 0 0. 就： a ：当 fx 0/可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0,函数 fx在 x 0 点取极大值.b ：当 f程/x 0 0,函数 fx在 x 0 点取微小

20、值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c ：当 fx 0=0 ,其情形不肯定, 可由方法一来判定.在工农业生产、 工程技术及科学试验中,常会遇到这样一类问题：在肯定条件下, 怎样使 产品最多 、 用料最省 、 成本最低 等.这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值、最小值的问题.怎样求函数的最大值、最小值了？前面我们已经知道了,函数的极值是局部的.要求 fx在a,b上的最大值、最小值时,可求出开区间a,b内全部的极值点,加上端点fa,fb的值,从中取得最大值、最小值即为所求.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - -

21、-第 11 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_章节第三章中值定理与导数的应用 6 函数图形的描画 7 曲率8 方程的近似解课时2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学把握利用导数的性质绘制函数图形目把握求曲线在一点处的曲率的教学重点及函数图形的绘制.突出方法教学难点及函数图形的绘制.突破方法高等数学（第一册） （物理类）,文丽,吴良大编,北京高校相关出版社参考高校数学概念、方法与技巧 （微积

22、分部分）,刘坤林,谭泽资料光编, 清华高校出版社,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -教学思路、主要环节、主要内容定义 : 如就称 ax+b 为 fx的一条渐进线.定义 : 如就 称 x=c 为 fx的一条垂直渐进线.定理 : 如 fx的一条渐进线为ax+b 就,函数图象描述的基本步骤:1. 确定 y=fx的定义域并争论函数的基本性质, 如

23、奇偶性 , 对称性周期性等 .2. 求出与及与不存在的各点 .教3. 由 2 的结果函数的上升, 下降区间 , 及图形的上凸, 下凸区间以及各极值点.4. 定出函数的渐近线.5.描点作图 .学平均曲率,这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度.其中表示曲线段AB 上切线变化的角度,为 AB弧长.对于一个点,如A 点,为精确刻画此点处曲线的弯曲程度,可过令,即定义,为了便利使用,一般令曲率为正数,即：程.,即为曲率的运算公式一般称为曲线在某一点的曲率半径.3.10方程的近似解法应用前提： 方程 fx=0,就 fx应满意： （ 1）fx在a ,b 连续, fa与 fb不同号. （ 2） f / x

24、在（ a, b）内连续且不变号.（3） f / x 在（ a, b）内连续且不变号./应用步骤： 第一：判定方程是否满意应用前提,先对端点a, b 求 fa、fb,取与 fx同号的一点为起点.过起点做fx的切线,交x 轴于 x 1.然后：过（ x1,fx 1 做 fx的切线,交 x 轴与.以次类推,直到满意精度要求.迭代公式为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - -

25、 - - - - - -第三章中值定理与导数的应用章节课时2习题教学解决第三章的习题中存在的问题.目的教学重点中值定理的应用,洛必达法就求极限,函数的单调性,函数的极及突出值和最值,曲线的拐点.方法教学难点补充一些习题及历届考研题及陈文登复习资料的习题,开阔思及突破路.利用中值定理进行证明.方法相关数学复习指南 2022 版（理工）,陈文登,黄先开,世界图书参考出版社资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -老师授课思路、设问及讲解要点教学处理其次章习题中的各种问题,并补充历届考研题及陈文登复习资料的习题,开阔同学的解题思路.过分类讲解习题,供应解题方法及思路.程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 15 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载